精品解析：2025年四川省成都高新区九年级数学中考二诊试题

2024-2025学年度下期九年级模拟考试 数学 注意事项： 1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2.考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 3.在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D 2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，据此可得该几何体是三棱柱． 【详解】解：由由展开图可得，改几何体由三个面长方形，两个面是三角形， 所以该几何体是三棱柱 故选：B． 【点睛】本题考查几何体的展开图，从实物出发，结合具体问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图象的转化，建立空间观念，是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法运算以及合并同类项，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别根据完全平方公式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法运算以及合并同类项运算法则判断即可． 详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 4. 一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（ ）个 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知概率求数量，频率估计概率，根据红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球，得出袋子的红球概率为，进行列式计算，即可作答． 详解】解：∵红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球， ∴袋子的红球概率为， ∴（个）， 故选：A． 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 6. 光从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图，液面与水槽下沿平行，光线从空气中斜射入某液体，折射光线为，点是射线与水槽下沿的交点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意得，所以，再根据外角的定义得，即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 又， ， 故选：B． 7. 我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据慢马先走12天，得出慢马的路程，快马每天走240里，快马天可以追上慢马，得快马的路程，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，设快马天可以追上慢马， ∴， 故选：A． 8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 对称轴为直线 C. 关于的方程有两个不相等的实数根 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据图形得：抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图象与轴相交于，两点， ∴对称轴为直线，故B选项错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上，且顶点坐标位于y轴的下方， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故C选项错误，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知为整数，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用完全平方数即可估算解答． 【详解】解：，为整数， ， 故答案为：． 10. 若点，，都在反比例函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数在每一项限内，y随x的增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 11. 4月23日是世界读书日，某班计划开展“书香校园，阅启未来”读书活动，为了解学生的阅读时间，随机调查了10名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的中位数是_____小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 人数（人） 1 3 4 2 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键． 根据中位数的定义解答，即可． 【详解】解：根据题意得：从小到大排列位于第5位和第6位均为1.5， ∴学生每天的平均阅读时间的中位数是小时． 故答案为：1.5 12. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，交AC于点E，若，的周长为8，则的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，，再根据三角形的周长即可解答． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的周长，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，．当点恰好在线段上时，线段的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，根据勾股定理求得，设，则，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，即， 解得； ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的混合运算和解一元一次不等式组，正确求解是解答的关键． （1）先计算二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再计算加减即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 15. 2025年8月，成都将举办第12届世界运动会．某校为了让学生了解更多的比赛项目，利用自主选学时间开设了航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂．每位学生必须且只能选某个项目的科普课堂进行学习．该校随机调查了部分学生的学习意愿，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次被调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“浮士德球”对应的圆心角度数； （3）在学校组织学生科普学习后，校园小记者随机采访了两位同学，请利用画树状图或列表的方法，求出被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率． 【答案】（1）150人，图形见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由选地掷球的人数和所占百分比求出本次调查的学生总人数，即可解决问题； （2）由360度乘以选择“浮士德球”的学生所占的比例即可； （3）列出表格，得出所有等可能的结果数和满足条件的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即本次被调查的学生总人数为150人， 选地掷球的学生总人数为人， 补全条形统计图，如下： 【小问2详解】 解： “浮士德球”对应的圆心角度数； 【小问3详解】 解：设航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 一共有16种等可能结果，其中恰好在同一科普课堂学习有4种， 所以被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率为． 16. 为切实保障学生睡眠质量，某校使用了一批如图1所示的可躺式课桌椅．该套课桌椅在某种躺睡模式下的侧面（材料厚度忽略不计）如图2所示，椅子的椅面与地面平行，桌腿及椅腿都垂直于地面，，，椅背，此时椅背最高点刚好落在桌面上，椅面与椅背构成的夹角，桌面与桌腿构成的夹角，求此时点到地面的距离及点到点的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】此时点到地面的距离为；点到点的距离为． 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，过点E作于点H，过点P作于S点，在中，求出长，从而得到的长，结合已知条件，得到的长，在中，利用解直角三角形，得到的长，即可作答． 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图，过点E作于点H，过点P作于S点，延长交于T点， ∵ ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 同理，得四边形是矩形， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 则在中，， ∴， ∴此时点到地面的距离为；点到点的距离为． 17. 如图，锐角为的内接三角形，，将沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合翻折的性质可得出，根据圆周角定理得出，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线性质并结合（1）中，可得出，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，则可求，设，则，，证明，根据相似三角形的性质得出，可求，即可求出． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用相似三角形求解是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． （1）求反比例函数表达式及点的坐标； （2）如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． 【答案】（1）， （2）点N的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先由一次函数表达式求出A坐标，进而得到k值，再联立两个函数表达式求B点坐标即可； （2）先求出D点坐标和直线解析式，进而求得M坐标，可知，所以只需讨论是以为腰的等腰三角形即可得解； （3）过作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N，则，进而求出最大值即可得解． 【小问1详解】 解：由题可知点A在上， ∴， ∴， 把代入， ∴，即反比例函数表达式为； 依题意，得， 则， 整理得 解得或， 经检验：或是原分式方程的解， ∵， ∴把代入，得 ∴； 【小问2详解】 解：∵点B和点D关于点O对称，且， ∴， 依题意，设直线表达式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， 令得，解得， ∵连接交轴于点 ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令，则，解得， ∴， ∵， 则， ， ∴； ∵以点，，为顶点的三角形与相似， ∴①若时， 则， 设 ∵， 则， 解得或（舍去）； ∴， ②时，此时， 设， 则， ∴， 解得， ∴， 综上，点N的坐标为或 【小问3详解】 解：如图，过D作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N， ∵过D作轴，交延长线于点M，且 ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ 要使的值最小，则求最大值即可， 设 则， ∴， ∵ ∴ ∴ 则， 当且仅当时取等， ∴当（负值舍去）时，最大， ∵， 此时 ， ∴ ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数综合，涉及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简和代数式求值，熟练掌握分式化简方法和整体法求代数式值是解题的关键． 先化简分式得，再将变形，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：3 20. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则_____． 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值．根据题意可得，从而得到，再由，可得，然后根据，可得，即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵，即 ∴， ∵，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48 21. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将个大写英文字母，，，...，依次对应，，，...，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明码“”译成密码是_____．（填写由个大写字母组成的密码） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据明码与密码的对应关系，分别求出、、三个字母所对应的密码字母，即可得解． 【详解】解：对应序号，为奇数，密码对应的序号为，对应， 对应序号，为偶数，密码对应的序号为，对应， 对应序号，为奇数，密码对应的序号为，对应， 所以，将明码“”译成密码是， 故答案为：． 22. 如图，在中，，，，点在边上，在射线上取点，使．若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 过点A作于点N，过点B作于点M，在中，根据勾股定理以及，可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点N，过点B作于点M， 在中，，，， ∴可设， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴； 当时，， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， 综上所述，线段的长为或． 故答案为：或 23. 平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画图得出， P在A时， 线段 对应线段，P在B时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段，P在时， 线段 对应线段，要证与其对应线段有交有点，则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内，P在正方形内，可得当过点A时，r取得最大值，当与相切时，r取得最小值，记切点为，结合切线性质，解直角三角形等知识求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图可得， ⸪线段关于点“逆垂相关”， ⸫ P在A时， 线段 对应线段， P在B时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段， P在时， 线段 对应线段， 要证与其对应线段有交有点， 则A在以为边的左侧正方形内，B在以为边的右侧正方形内， P在正方形内， 则当过点A时，r取得最大值，连接， ∵，， ∴， 此时， 当与相切时，r取得最小值，记切点为，交于点，作于点， ，． ，， ，即， 由正方形性质可知，即为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要查了正方形性质，旋转旋转，坐标与图形．解直角三角形，勾股定理，解题的关键在于根据题意准确找出最大最小值的情况． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】（1）每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； （3）当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】（1） （2）2或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． 【小问3详解】 解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 26. 菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． （1）如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； （2）如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【小问1详解】 ①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． 【小问2详解】 解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下期九年级模拟考试 数学 注意事项： 1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2.考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 3.在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A 6 B. C. D. 2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（ ）个 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 光从一种介质斜射入另一种介质时会发生折射．如图，液面与水槽下沿平行，光线从空气中斜射入某液体，折射光线为，点是射线与水槽下沿的交点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 对称轴为直线 C. 关于的方程有两个不相等的实数根 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知为整数，且，则的值为_____． 10. 若点，，都在反比例函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 11. 4月23日是世界读书日，某班计划开展“书香校园，阅启未来”读书活动，为了解学生的阅读时间，随机调查了10名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的中位数是_____小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 人数（人） 1 3 4 2 12. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，交AC于点E，若，的周长为8，则的周长为____________． 13. 如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，对应点分别为点，．当点恰好在线段上时，线段的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 2025年8月，成都将举办第12届世界运动会．某校为了让学生了解更多的比赛项目，利用自主选学时间开设了航空运动、浮士德球、地掷球及体育舞蹈四个比赛项目的科普课堂．每位学生必须且只能选某个项目的科普课堂进行学习．该校随机调查了部分学生的学习意愿，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）求本次被调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“浮士德球”对应的圆心角度数； （3）在学校组织学生科普学习后，校园小记者随机采访了两位同学，请利用画树状图或列表的方法，求出被采访的两位同学恰好在同一科普课堂学习的概率． 16. 为切实保障学生睡眠质量，某校使用了一批如图1所示可躺式课桌椅．该套课桌椅在某种躺睡模式下的侧面（材料厚度忽略不计）如图2所示，椅子的椅面与地面平行，桌腿及椅腿都垂直于地面，，，椅背，此时椅背最高点刚好落在桌面上，椅面与椅背构成的夹角，桌面与桌腿构成的夹角，求此时点到地面的距离及点到点的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 17. 如图，锐角为的内接三角形，，将沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 18. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． （1）求反比例函数表达式及点的坐标； （2）如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为_____． 20. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则_____． 21. 在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将个大写英文字母，，，...，依次对应，，，...，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明码“”译成密码是_____．（填写由个大写字母组成的密码） 22. 如图，在中，，，，点在边上，在射线上取点，使．若是以为腰等腰三角形，则线段的长为_____． 23. 平面内，对于图形与点，给出如下定义：图形绕点逆时针旋转得到图形，若图形与图形有重叠，则称图形关于点“逆垂相关”．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点分别是，．若以为圆心，为半径的上存在点，使线段关于点“逆垂相关”，则的取值范围是_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； （3）当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 26. 菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． （1）如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； （2）如图2，点在边上，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $