精品解析：江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年5月 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以. 又因为直线b（集合）在平面（集合）内，所以. 所以.故选项B正确. 2. 在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（ ） A. 一定在直线上 B. 一定在直线上 C. 在直线或上 D. 不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面的基本性质，先由点在两条直线上推出点分别在两个平面内，再根据两个平面的交线确定点一定在这条交线上. 【详解】如图所示， 因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（     ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由的坐标求出，进而求得，再由得. 【详解】由得，则， 所以，则. 4. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项. 【详解】由正弦定理，又已知， 所以，所以， 因为，所以，， 又，所以，同理可得， 所以是等腰直角三角形. 5. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的除法运算将复数化简为的形式，据此写出共轭复数，利用复数的乘法运算计算结果即可． 【详解】因为，则； 因为，故； 则；故． 6. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 7. 已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 8. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的实部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列出方程组可判断B；由复数乘除法运算，共轭复数及虚部概念可判断C；利用复数的几何意义可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，若，则， 所以实部为，故C正确； 对于D，因为，所以点的轨迹为圆心为，半径分别为3和2围成的圆环， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 10. 已知平面向量，则下列说法错误的是（） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由向量平行坐标公式求出时有两解，判定A错误；代入算出夹角余弦值为，知B错误；把代入，利用投影向量公式求得结果为，C正确；由夹角为钝角需数量积小于0且不共线，解不等式并剔除共线情况判断D错误. 【详解】已知，，,逐一分析选项. 选项A：若，则， 整理得，解得或，A错误. 选项B：当时，，， 则，,， 所以，B错误. 选项C：当时，，， 则，， 则投影向量为，C正确. 选项D：夹角为钝角，则且不反向共线. 由得， 当时，，，两向量反向共线，夹角为平角不是钝角， 故正确范围为，D错误. 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（     ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为15 C. 角平分线的长为 D. 若为的外心，则 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用正弦定理设出三边长，结合余弦定理和面积公式求出边长与内角；再利用三角形内角和验证选项A，计算周长验证选项B，通过面积法求角平分线长度验证选项C，利用外心的向量性质计算向量数量积验证选项D. 【详解】由正弦定理，设，，（）. ，故， 则，，A正确. 由，得， 解得，故，，. 的周长为，B错误. 设角平分线交于，由， 得，解得，C正确. 设是三角形外接圆的圆心，设是的中点，连接， 则，且，，所以， 设是的中点，连接， 则，且，，所以， 故，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，， 由正弦定理，得， 而，则，所以或. 故答案为：或 13. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 14. 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取平面内一点 作为共同起点，分别作 ，，，把向量条件转化为点 ，， 的位置关系．由 ，可得，从而确定，的位置；由可得．再利用定弦所对圆周角确定点所在圆弧，并求的最大值． 【详解】取平面内一点 作为共同起点，分别作 ，，． 因为 ，，所以 所以．又，所以是边长为的等边三角形，故． 如图以O为原点建立平面直角坐标系，则，，． 由可知，向量与的夹角为，即． 设点所在圆的半径为． 因为弦 ，且对应圆周角为 ，所以该弦对应的圆心角为 ，于是， 所以 设为的中点，则 满足条件的两个圆的圆心都在的垂直平分线上，且到的距离为 由坐标计算可得两个圆心分别为 对于以为圆心的圆，有 对于以为圆心的圆，有 当，，三点共线，且在远离的一侧时，取到上式等号． 此时，并且 所以的最大值为． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）2或4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的实部为0，虚部不为0求解即可； （2）根据复数的实部小于0，虚部大于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 所以且， 解得或； 所以实数的值为2或4； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第二象限， 所以， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 已知，，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． （3）若 与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解； （2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解； （3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 所以， 因为，所以可得，解得． 【小问2详解】 因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以， 设，即， 得到，解得，即点的坐标为． 【小问3详解】 ， 由于与垂直，∴，∴． 17. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到， 利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【小问1详解】 连接，分别是棱的中点， ， 在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 18. 在中，角的对边分别为．且满足，． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）点D在边上，，E为中点，且，求角C的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解; （2）利用余弦定理和三角形面积公式求解; （3）由已知可得，用直角三角形性质表示,在中，，结合正弦定理可得，通过三角恒等变换化简求解即可. 【小问1详解】 因为，由余弦定理，得， 又，故. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 即， ， 求得或（不合要求，舍去），即， 所以． 【小问3详解】 因为，为中点，所以，， 在中，由正弦定理，得， 又，即， 又，所以， 因为，所以，故，故， 其中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、（，），利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以． 【小问2详解】 由，，得，，且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以， 解得． 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年5月 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ） A. B. C. D. 2. 在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（ ） A. 一定在直线上 B. 一定在直线上 C. 在直线或上 D. 不在直线上，也不在直线上 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（     ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 6. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（     ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（     ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的实部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知平面向量，则下列说法错误的是（） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（     ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为15 C. 角平分线的长为 D. 若为的外心，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则________． 13. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 14. 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知，，，设，，． （1）若，求实数，的值； （2）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． （3）若 与垂直，求的值． 17. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别为．且满足，． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）点D在边上，，E为中点，且，求角C的大小． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $