精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年第二学期高一年级期中调研数学试卷

江苏省常州高级中学 2025-2026学年第二学期高一年级期中调研 数学试卷 2026.4 说明： 1.本卷总分150分，考试时间120分钟. 2.请将答案填写在答卷纸上，作答在试卷上的答案无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体中不是旋转体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据旋转体的定义选D 2. 在中，内角的对边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以，， 由正弦定理， 可得， 又因为， 所以. 3. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. -18 B. -12 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量投影可得； 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且， 所以，且， 所以. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ，则， 即. 5. 已知为平面向量，则“不共线”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的性质，结合充分、必要条件的定义，分析判断，即可得答案. 【详解】充分性：若不共线，根据三角形的性质，可得，故充分性成立； 必要性：若同向且，则， 此时，则成立，但此时共线，故必要性不成立， 则“不共线”是“”的充分不必要条件. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等､方向相反.图1给出了部分风力等级､名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：） 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 图1 图2 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象，求出视风风速对应的向量与船速对应的向量，即可得船行风风速对应的向量，由题意，可求出真风风速对应的向量，根据求模公式，求出大小，对照表格，即可得答案. 【详解】视风风速对应的向量，起点为，终点为，则向量为， 船速对应的向量，起点为，终点为，则向量为， 因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等､方向相反， 所以船行风风速对应的向量为， 由视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和， 设真风风速对应的向量为，则，解得， 即真风风速对应的向量为，则真风风速大小， 因为，，， 所以，则该时刻的真风为：微风. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系及条件，可得的值，根据两角和的余弦公式，展开计算，即可得答案. 【详解】由题意， 因为，所以，即， 所以， 则. 8. 记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式及条件，结合余弦定理，可得，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】由面积公式得，则， 由余弦定理得， 两式联立得， 由，即， 又，则， 整理得，解得或（舍）. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，且，则（ ） A. 可能为0 B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，可判断A的正误；设，根据复数的运算性质，分别求出和，可判断B的正误；根据运算性质及求模公式，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：若，则，不符合题意，故A错误； 选项B：设，则， 则， 又，则，故B正确； 选项C：， ， 所以，故C错误； 选项D：若，则，所以，即， 所以，故D正确. 10. 已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（ ） A. 是锐角三角形 B. 的面积为 C. 外接圆半径为 D. 若是最大角，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出三角形的边长，根据题意列出方程求出边长，再根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】设三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理，化简分子得， 化简得.因此三边长为. 选项A.最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，错误. 选项B.​，则​， 三角形面积，正确. 选项C.由正弦定理，外接圆半径，​，则，， ，正确. 选项D.由二倍角公式，正确. 11. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 的面积为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据辅助角公式，可得，根据条件，分析可得，根据同角三角函数的关系，结合角的范围，可得的值，根据二倍角公式，可得的值，即可判断A、B的正误；根据诱导公式及两角和的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，求出各个长度，可判断C的正误；代入面积公式，可判断D的正误. 【详解】由辅助角公式得，其中， 则的最大值为5，当且仅当时取得最大值， 同时的最大值也为5， 因为，所以， 由，结合，， 解得，且， 由，得，且，解得， 由，得，则， 所以，即，则， 又，则，故B错误； ，则，可得， 则， 又，且，所以，故A正确； ， 由及正弦定理得， 则，即， 所以，故C正确； 的面积，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则的最小值是_______. 【答案】1 【解析】 【分析】由可得，则，根据可得的最小值. 【详解】设，， ，，则， ， 当时，. 故答案为：1. 13. 已知平面向量是单位向量，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算性质，可得，令，则所求变为，根据向量模长的三角不等式，分析计算，即可得答案. 【详解】因为是单位向量，且， 所以，则， 令，即，则， 由向量模长的三角不等式得，则， 当反向共线时，，当同向共线时，， 则的取值范围是. 14. 在中，，边上的中线长为1，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理及条件，计算可得，根据求根公式，可得c值，代入求解，利用换元法，可得的表达式，根据三角函数的性质，即可得答案. 【详解】设， 在中，，则， 在中，，则， 两式联立得， 由，则为关于c的二次方程， 则， 要使最大，需要c取较小根，故， 代入可得， 令，则 ， 当，即时， 取得最大值， 则的最大值为 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，已知复数对应的点的坐标为. （1）若为纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得, 是纯虚数，，解得 . 【小问2详解】 , , 在复平面内对应的点在第一象限， , 的取值范围为. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 17. 定义：非零向量，函数，称为的“相伴函数”，为的“相伴向量”（其中为坐标原点）. （1）若向量为函数的“相伴向量”，求； （2）若函数为向量的“相伴函数”.在中，若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式、诱导公式，可得解析式，即可得坐标，代入求模公式，即可得答案. （2）根据条件，可得解析式，根据条件及角A的范围，可得角A，进而可得，根据两角和的余弦公式及同角三角函数的关系，可得、的值，代入公式，即可得答案. 【小问1详解】 ， 则“相伴向量”，则. 【小问2详解】 由题意得， 由，得，则， 因为，所以，则，解得， 则，则， 则， 又，则， 联立解得， 所以 18. 如图，已知的内角所对的边分别为的角平分线交于. （1）若，求的值； （2）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）2 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件及面积公式，整理计算，即可得答案. （2）若选①②为条件，根据内角和为及正弦定理，可得的表达式，结合条件，可得的值，进而可得、、的值，求出各个边长，结合余弦定理，即可得证；若选①③为条件，根据正弦定理，可得的值，即可得BD、AD的值，求出，检验即可得证；若选②③为条件，由条件得的长，根据余弦定理，可的值，即可得的值，根据余弦定理，求出a，b的关系，分析求解，即可得证. 【小问1详解】 因为，且CD为的平分线，即， 所以， 设AB边长的高为h，则，解得. 【小问2详解】 若选①②为条件：因为，所以， 由正弦定理得，R为外接圆半径， 因为 ，， 所以，，， 因为， 所以， 则 ，而，故 ， 由，得，则， 所以，则， 所以，则， 又， 所以 ， 又，且，所以，则， 在中， ， 则，即③成立； 若选①③为条件：在中，，， 由正弦定理得，即， 因为， 所以，则 ， 整理得 ，解得或， 由，得，所以， 则，即，解得 ， 在中，， 所以 ，则 ， 又 ，即②成立； 若选②③为条件：由 ， 得 ， 在中，由余弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得， 整理得 ，解得或， 当时，则，则 ，矛盾，故舍去， 则，则 ，所以， 则 ，即①成立. 19. 若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形.容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形.图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子.如图③，在平面凸四边形中，，设. （1）求和的取值范围； （2）求的取值范围； （3）试用表示的面积，并指出取何值时的面积最大. 【答案】（1）；； （2）； （3），当时，的面积最大. 【解析】 【分析】（1）根据为直角三角形，，，可得，再由凸四边形的定义可求得的范围；根据三角形三边关系及余弦定理可求得的取值范围； （2）结合（1）利用余弦定理求解即可； （3）在中，利用正弦和余弦定理，分别求得，，利用三角形的面积公式、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可知为直角三角形，且，，则， 由凸四边形的定义可知，即，即， 所以； 在中，因为， 由三角形的三边关系可得，即，即； 设，在中，由余弦定理，， 由，可得， 即，解得， 即， 【小问2详解】 在中，由余弦定理，可得， 因为，所以， 即 【小问3详解】 因为为直角三角形，且，所以， 又因为，所以 ， 在中，由余弦定理，可得 ，即 ， 所以； 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 所以 ， 所以 ， 又因，则当，即时，， 此时，满足题意， 所以，当时，的面积最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2025-2026学年第二学期高一年级期中调研 数学试卷 2026.4 说明： 1.本卷总分150分，考试时间120分钟. 2.请将答案填写在答卷纸上，作答在试卷上的答案无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体中不是旋转体的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角的对边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. -18 B. -12 C. 6 D. 12 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为平面向量，则“不共线”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等､方向相反.图1给出了部分风力等级､名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：） 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 图1 图2 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，且，则（ ） A. 可能为0 B. C. D. 若，则 10. 已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（ ） A. 是锐角三角形 B. 的面积为 C. 外接圆半径为 D. 若是最大角，则 11. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 的面积为3 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，则的最小值是_______. 13. 已知平面向量是单位向量，且，则的取值范围是__________. 14. 在中，，边上的中线长为1，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，已知复数对应的点的坐标为. （1）若为纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 17. 定义：非零向量，函数，称为的“相伴函数”，为的“相伴向量”（其中为坐标原点）. （1）若向量为函数的“相伴向量”，求； （2）若函数为向量的“相伴函数”.在中，若，且，求的值. 18. 如图，已知的内角所对的边分别为的角平分线交于. （1）若，求的值； （2）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①；②；③. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19. 若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形.容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形.图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子.如图③，在平面凸四边形中，，设. （1）求和的取值范围； （2）求的取值范围； （3）试用表示的面积，并指出取何值时的面积最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $