精品解析：江苏省江都中学等三校2025-2026学年下学期高一年级5月阶段测试数学试题

高一年级5月阶段测试 数学试题 命题人：何思源 审核人：黄俊 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（　　） A. B. C. D. 3. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对应边分别为且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 10. 下列各式结果为1的有（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角的对应边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 面积的最大值为 C. 的平分线长度的取值范围是 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时满足下列条件①，②的的值__________. ①；② 13. 在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 14. 在中，内角的对应边分别为，满足且的面积为，则的值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知向量，设函数. （1）求函数的周期及单调递增区间； （2）在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 18. 如图半圆的直径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.设. （1）当时，求； （2）求四边形面积的最大值； （3）求面积的最大值. 19. 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. （1）若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； （2）若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级5月阶段测试 数学试题 命题人：何思源 审核人：黄俊 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示得到三角关系式，化弦为切，即可得到的值； 【详解】因为，，， 所以，所以. 故选：A. 2. 在中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用余弦定理计算可得． 【详解】在中，， 所以，又， 所以． 故选：A． 3. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由投影向量的公式求解即可. 【详解】在方向上投影向量的坐标为. 故选：B. 4. 如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，，三根绳子所受的力分别为，则， 因为的合力，所以， 如图，在平行四边形中，， 因为，所以， 所以绳子受力的大小为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解的值. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 6. 已知，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式转化为二次函数问题求解最值即可. 【详解】解：由 设， ， ， ， ，， 即的值域为，. 故选：B． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解． 【详解】因为 ， 所以， 故选：D 8. 在中，内角的对应边分别为且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦定理化边为角，结合和角公式与同角三角函数关系推得，由展开代入后，利用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】由可得，由余弦定理，， 又由正弦定理，，因， 代入整理得，因，， 两边同除以，可得， 于是， 又因，则角为钝角，则角必为锐角，则， 则，当且仅当，即时取等， 故的最大值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的运算法则计算各个选项可判断. 【详解】， 故选项A正确； 在上的投影向量为： ， ， 故选项B错误； 因为为边的中点， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故选项C正确； 因为为等边三角形，且为边的中点， 所以，，，， 所以：. 故选项D正确. 故选：ACD 10. 下列各式结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式及余弦二倍角公式计算判断A，C；应用两角和与差正弦及正切公式化简判断B，D. 【详解】，A选项错； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确； 故选：BD. 11. 在中，内角的对应边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 面积的最大值为 C. 的平分线长度的取值范围是 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正、余弦定理与三角恒等变换，结合基本不等式与函数的单调性，以及三角形的面积公式计算逐一判断即可. 【详解】对于A，因角为锐角，且，故角为锐角，即有唯一解，故A错误； 对于B，由余弦定理，，即， 因，即，当且仅当时取等， 此时面积，故B正确； 对于C，设的平分线，由面积相等可得， 化简得，由可得，因，解得， 设，则， 因函数在上单调递增，故，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，，则， 于是 ，其中为锐角，且满足， 故当时，的最大值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时满足下列条件①，②的的值__________. ①；② 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由以及化简可以得到，再由两角差的余弦公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，即， 所以，即，所以的值可以为. 13. 在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，先利用中点与共线条件，将点的位置用参数表示，并通过向量共线建立方程解出与，从而确定与，设，，再结合平面向量的数量积的运算律可得，根据基本不等式得到，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，设，，因为 是 中点， 是 AE 中点， 所以， 则. 设，则. 由共线，则存在唯一非零实数，使得， 即，则，解得，，故， 又， 设，，则， 由，得， 则，即， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 则， 即，当且仅当时等号成立， 则平行四边形面积， 即平行四边形面积的最大值为. 14. 在中，内角的对应边分别为，满足且的面积为，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理根据已知的三边关系式建立与的关系，再通过三角形面积公式建立与的关系，通过同角的平方关系得到的关系，代入即可计算． 【详解】因为，根据余弦定理； 又因为，解得：； 因为，故， 化简得：，即， 即，解得或（舍去）； 代入可得，因为，故． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （2）根据平面向量夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 已知，与的夹角为， 则， 由，得 则， 即，解得. 【小问2详解】 由， ， ， 则， 又，所以与的夹角为. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系得到，最后根据即可求解； （2）由平方关系得到，最后根据即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，故， 由，得， . 【小问2详解】 由，且，故，从而， 则. 17. 已知向量，设函数. （1）求函数的周期及单调递增区间； （2）在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由平面向量的坐标运算求解，由二倍角公式以及辅助角公式化简，即可求解函数的周期及单调递增区间； （2）由求解，方法一：由正弦定理求解，再由三角形的面积公式求解即可；方法二：由余弦定理求解，再由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 所以函数的周期； 解得， 函数的单调递增区间为 【小问2详解】 由得.因为，解得或. 若，由正弦定理得，无解，舍去， （方法1）若，由正弦定理得， 因为，所以有两解：或， 当时，， 当时，， 因此三角形的面积为或. （方法2）若，由余弦定理得 解得：或 当时， 当时， 因此三角形的面积为或. 18. 如图半圆的直径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.设. （1）当时，求； （2）求四边形面积的最大值； （3）求面积的最大值. 【答案】（1）4 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，继而得到，然后利用数量积公式求解即可. （2）利用余弦定理和等边三角形的性质，将线段的长度用含的式子表示，再将四边形的面积表示成和面积和，然后转化成正弦型函数，求出其最大值. （3）将的面积用含的三角函数式表示，然后转化成正弦型函数，求出其最大值. 【小问1详解】 当时 在中，. 由余弦定理得. 由正弦定理得， 故（锐角），则，即. 因此. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 四边形面积 ，所以当时，取得最大值为. 【小问3详解】 在中，. 在中，由余弦定理. 在中，由正弦定理， 所以 因为， 代入得 ， ，所以当时，取得最大值为. 19. 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. （1）若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； （2）若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）过点分别作垂直于为垂足，即可得，根据相似三角形的性质计算可得；（ii）利用基本不等式结合（i）的结论即可求解； （2）延长分别交于点，设，根据锐角三角形推导出，通过令，得到新函数，利用新函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 如图，过点分别作垂直于为垂足， （i）因为，所以，所以， 因为， 所以，即. （ii）由得，于是， 由基本不等式，当时取等号， 所以.即的最小值为. 【小问2详解】 如图，延长分别交于点， 设，则， 因为在直角三角形中，，所以， 同理，在中，， 所以， 因为，得， 设，令， 因为，所以，所以， 所以，且， 令， 因为函数在上单调递增， 所以当，即时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $