精品解析：河南省叶县高级中学2026届高三5月第二次高考模拟数学试卷

2026年5月第二次高考模拟试卷 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 函数图象的对称中心可能是( ) A. B. C. D. 5. 若函数满足，且当时，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 C. 若线段的中点为，则一定平行于平面 D. 四面体的体积为 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 的最小值为10 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在处的切线方程为_______． 13. 记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则_____． 14. 已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. （1）任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； （2）任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 16. 设数列满足且. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数的值. 17. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，的中点分别为，且. （1）证明：平面平面. （2）若为的中点，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值． 19. 已知函数． （1）求在上的最值； （2）若关于x的不等式恒成立，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月第二次高考模拟试卷 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数的乘法运算和实部的定义可构造方程求得结果. 【详解】且实部为，，解得：， 故选：C. 【点睛】本题考查根据复数实部的定义求解参数值的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义可求得结果. 【详解】因为集合，，则. 故选：C. 3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点在x轴上和渐近线方程，求出，从而求出离心率. 【详解】因为焦点在x轴上，所以， 故离心率. 故选：C 4. 函数图象的对称中心可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解． 【详解】由，得， 当时，． 故选：C． 5. 若函数满足，且当时，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先可得，即可推出为周期函数，再根据周期性计算可得. 【详解】因为，所以， 则， 所以4是的一个周期， 又当时，，则， 所以. 故选：A 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由垂直得到方程，求出答案. 【详解】由题意得， 故，解得. 故选：A 7. 已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径. 若圆的切线关于直线对称，则， 结合直线的斜率， 可知直线的方程为， 由，解得， 所以， ， 由对称性可知， 故， 故选：B. 8. 若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，从而解得到，再利用对数的运算法则及换底公式化简，令，将等价为，求得其最小值，即为的最小值. 【详解】令，则可化为，即，解得， 故，由的单调性易求得，即， 又因为， 令，则因为，由的单调性可得， 而开口向下，对称轴为， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以的最小值为，即的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 C. 若线段的中点为，则一定平行于平面 D. 四面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求点到面的距离；对于B：利用空间向量求线面夹角；对于C：利用空间向量证明线面平行；对于D：结合锥体体积公式求结论. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 对于选项A：点到平面的距离为，故A正确； 对于选项B：设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为， 所以直线与平面所成角的余弦的取值范围为，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，则， 可得，可知， 且平面，所以一定平行于平面，故C正确； 对于选项D：由题意知，所以四面体的体积为，故D错误； 故选：AC. 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 的最小值为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据抛物线的准线理解运算；选项B：由题设，，直线，利用韦达定理可得，结合图形分析运算；选项：根据数量积的坐标运算结合韦达定理分析运算；选项D：根据，，结合基本不等式分析运算. 【详解】选项A：由题意知，所以，故选项A正确； 选项B：由选项A可得：抛物线，焦点为， 设，，直线， 联立方程，整理得， 则，， 所以， 因为，所以，故选项B错误； 选项：因为，在抛物线上，则， 故， 又因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 可得，所以，故选项C正确； 选项D：， 因为，，所以当且仅当，时，等号成立， 所以，故选项D正确． 故选：ACD. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由正弦定理，得，。 由可得，故A正确； 对于B， 在锐角三角形中，由，可得，即， 由于正弦函数在上单调递增，故，故B正确； 对于C， 过作边射线的垂线，垂足为，如图， 若，且有两解，则，即，故C正确； 对于D，将不等式变形为，则 化简得，由正弦定理，可得， 再由余弦定理，，可知角为锐角， 但仅此不等式不能保证该三角形为锐角三角形，例如，取，， 由，，可知不等式成立，但三角形为钝角三角形，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导得，代入则可解出，则得到函数方程，则求出切点坐标，即可得到直线方程. 【详解】，令，，解得， 则，则，则在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列及题干条件，可求得的值，代入公式即可求得结果. 【详解】由可得，解得， 所以，，故． 故答案为：． 14. 已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】设甲､乙两人抽取的子集分别为，法一：确定的所有可能取值，分析对应概率，即可得分布列，进而求期望；法二：对于中的每个元素，定义，从而得到，结合求期望. 【详解】方法一：的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为， 因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种， 要得到，先从5个元素中选个公共元素，有种方式， 对于剩余的个元素，每个元素有3种状态： （1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式， 所以，的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为. 对于中的每个元素，定义，则，所以， 对每个有一半子集中含有，另一半子集不含，即， 所以，所以，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. （1）任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； （2）任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 【答案】（1）甲猜对概率为，乙猜对概率为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案. （2）利用对立事件的知识求得正确答案. 【小问1详解】 甲猜对的概率为，乙猜对的概率为. 【小问2详解】 甲乙都没有猜对的概率为， 所以甲和乙至少一人猜对的概率为. 16. 设数列满足且. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数的值. 【答案】（1）证明见解析， （2）. 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以. 【小问2详解】 由 解得，因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，解得. 17. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，的中点分别为，且. （1）证明：平面平面. （2）若为的中点，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）利用等体积法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 因为为等边三角形，分别是的中点， 且，所以， 所以. 又，所以，即. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连接，由于为等边三角形，是的中点，所以， 又由（1）可知平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 在直角中，可知， 在直角中，可知， 因为是的中位线，所以， 的面积， 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积. 又的面积，点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出的方程组，即得； （2）由题可设直线方程，与椭圆的方程联立，利用判别式可得，根据直线和圆的位置关系可得，结合根据题设条件可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】（1）由题设得， 解得：， 故椭圆的标准方程为． （2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为， 由直线与圆相切，得， 即， 由，可得， 所以， 得， 所以， 由，可得 ， 由上可得， ∴， 当且仅当 所以，即的最大值为． 19. 已知函数． （1）求在上的最值； （2）若关于x的不等式恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1），无最小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由函数的单调性判断在上的单调性作答. （2）把给定不等式作等价变形，利用导数分段判断函数在，上值的符号即可作答. 【小问1详解】 由求导得：， 令，有在上单调递减，且， 当时，，即，则在上单调递增， 所以，无最小值. 【小问2详解】 依题意，，且， 令，，有， ，令，， 当时，由，得，则在上单调递增， 又，则当时，，，不合题意， 当时，在二次函数中，，当，即时，图象对称轴， 图象与x轴正半轴有两个公共点，即有两个零点，且，，， 不妨设，则时，，有，在上单调递增， 当时，，，不合题意， 当，即时，，有，则在上单调递减， 当时，，，则，当时，，，则， 综上得，当时，恒成立， 所以k的取值范围是. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $