精品解析：河北沧州市南皮县第一中学2026届高三下学期考前预测数学试题

数学 注意事项： 1．答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即可. 【详解】已知 ，所以 . 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，又， 所以 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直求出，再用模长公式计算结果. 【详解】 ， 所以， 因为，则，即： . 解得：. 所以 . 4. 已知双曲线的焦距为4，右焦点到渐近线的距离等于1，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由双曲线的焦距为4，得，所以， 所以右焦点的坐标为，又双曲线的渐近线方程为，即。 又右焦点到渐近线的距离等于1，所以，即，所以 又因为，所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 5. 已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设逆时针旋转后的角为，由终边过点求出，得、，再把变形为，用诱导公式化为，最后由二倍角公式算出，即得. 【详解】设角，由题意知终边过点. 则，，. 由得，故. 所以 . 由二倍角公式：. 因此. 6. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 14 C. D. 21 【答案】B 【解析】 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. 7. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得平面PAD C. 对于任意点，成立 D. 对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【解析】 【分析】利用反证法可判断A；当移动到点时，可得，进而可判断B；利用反证法可得，进而可判断C；利用线线垂直可证得底面，进而可证平面平面成立，可判断D. 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导可得，可得，令，利用导数可得，进而判断. 【详解】令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令，所以，所以， 因为，所以，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 令，则可得， 所以，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再逐一验证选项. 【详解】已知，方差.，其中， 代入得：. 故 ，即. 选项A：，， A正确. 选项B： ， B错误. 选项C：， ，则 ， C正确. 选项D： ， D错误. 10. 函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调，则 B. C. 方程在内的解有16个 D. 若在上有且仅有两个极值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式化简得，利用最小正周期求得函数解析式.利用整体法求解可判断AD；直接计算可判断B；解三角方程可判断C. 【详解】 ， 因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以. 当，所以， 因为在上单调，所以，解得，故A正确； ，故B错误； 由，可得， 所以或， 解得或， 又，所以有8个解， 有8个解，故共16个解，故C正确； ， 因为，所以， 因为在上有且仅有两个极值点， 所以，解得，所以，故D正确. 11. 抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线的焦点为F，直线l过点且与抛物线T交于，两点，T在A，B处的切线交于点P，则（ ） A. B. C. D. 点P在直线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线l的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系可得可判断B，求得抛物线在，两点的切线方程，联立方程组求得点的坐标可判断D，利用向量的数量积计算可判断A；利用平面几何知识计算判断C. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设直线l过点，所以设直线l的方程为， 与抛物线方程联立，可得， 所以，故B正确； 对两边求导得，所以， 所以抛物线在的切线方程为，又， 所以，整理得， 同理得抛物线在处的切线方程为， 联立两切线方程可得，解得， 因为是两个不同的点，所以，所以， 所以，所以点P在直线上，故D正确. 所以， 所以，所以，， 所以 ， 所以不垂直于，故A错误； 设直线在抛物线上的反射线分别为，则轴， 设G，H分别为线段延长线上的点， 结合光的反射定律可知，，， 由几何关系可知，设交x轴于， 则，所以，故C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知分段函数，且. 结合分段函数性质可得或. 当时： 若，则，解得； 若，则，解得. 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为，，. 13. 某沙漏由上、下两个完全对称的圆锥组成，即上圆锥和下圆锥，将体积为上（下）圆锥一半的沙子从上圆锥落下，刚好形成了与下圆锥同底面的新圆锥，则沙子在上圆锥构成的圆锥的高与在下圆锥构成的圆锥的高的比值为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥底面半径为，高为，由题意可得沙子形成的圆锥的体积， 设沙子在上圆锥构成的圆锥的底面半径为，高为，则，所以， 所以，所以，所以 沙子在下圆锥构成的圆锥的高为， 所以沙子在上圆锥构成的圆锥的高与在下圆锥构成的圆锥的高的比值为. 14. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”：，，，…，（），其中（）表示数列中最小的项．已知数列满足（），若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，可得是等比数列，进而求得的通项公式，利用“次生数列”的定义求得的值，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，即，所以是等比数列， 又，，所以，， 设等比数列的公比为，则，所以， 所以，所以， 所以的前7项为2，，，，，，， 由“次生数列”的定义可得，，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，AC边上的中线，求的平分线BN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与正弦定理可得，结合余弦定理可求得，进而可求角B的大小； （2）由已知得，结合向量的数量积可得，结合余弦定理可求得，，利用面积法可求得的平分线BN的长． 【小问1详解】 由，得， 所以，可得，所以， 所以，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 若M为边上的中点，则， 所以， 所以，又，所以， 所以，，所以，所以 又，且是的平分线， 所以， 所以， 所以，所以，所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （1）证明：； （2）设三棱锥外接球的球心为E，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证得，四边形为正方形，从而可得，进而利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可证结论； （2）由题意可得为的中点，建立空间直角坐标系，利用向量可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，所以，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在中，，，所以， 所以，又因为为的中点，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以四边形是矩形，又，所以为正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又因为平面，所以； 【小问2详解】 因为为正方形，又平面， 所以为四棱锥的外接球的直径， 又四棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 所以为的中点， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以 ， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又为平面的一个法向量， 所以. 所以二面角的余弦值为． 17. 已知． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在( 上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性； （2）由（1）可得 ，即可将问题转化为 ，构造函数，求导确定函数单调性，即可利用最值求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，. ①当时，因为，所以，则恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，解得(舍去). 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由(1)知，当时，在处取得最大值. . 要证 ，即证 . 整理得： . 令，其中. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以 . 即 恒成立. 故 得证. 18. 2025年11月5日，第八届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，某企业参展的产品有甲、乙两款机器人，为调查消费者喜爱程度与产品的类型是否有关，在展览期间设置投票箱，随机抽取了部分观众进行现场投票，得到如下列联表： 类型 是否喜爱 合计 喜爱 不喜爱 甲 2m 4m 6m 乙 9m 3m 12m 合计 11m 7m 18m 并根据小概率值的独立性检验，得出了“消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （1）求正整数m的最小值． （2）为感谢现场参与的观众，主办方设置了一个挑战机器人对抗赛活动．每人挑战局，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，若每局比赛参与者战胜机器人的概率为，胜者记3分，负者记1分．每局胜负不受其他因素的影响． （ⅰ）若参与者甲与机器人共对抗4局，求其得分不少于10分的概率． （ⅱ）记参与者的得分恰好比对抗的局数n多4分的概率为，若，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据公式计算结合临界表值进行解不等式即可得出结果； （2）（ⅰ）将“得分不少于10分”转化为“胜利局数 ”利用二项分布的概率公式计算 即可；（ⅱ）将“得分比局数多4分”转化为“胜利局数”，利用二项分布写出（），化简 ，用错位相减法求和，即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可知，， 已知时，，且得出有关的结论，故： ，解得： . 因为为正整数，故 . 【小问2详解】 （ⅰ）设4局中胜利局，则失败 局，得分为 . 得分不少于10分，即： ，， 故：. 所以得分不少于10分的概率为. （ⅱ）设局比赛中获胜局，则总得分为 . 得分恰好比局数多4分，即： ，解得：， ，（） （） 所以， 设 则 两式相减得： . 所以. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）M，A，B三点共线,证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率和三角形面积建立方程，求解椭圆参数； （2）（i）面积比转化为线段比，用向量关系表示坐标，联立椭圆方程求解；（ii）设直线方程，联立椭圆，利用中点坐标和直线方程验证共线. 【小问1详解】 由，得，代入，得，即. 的顶点坐标：，，， ，即. 将 代入上式： 解得：，故，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，与共顶点，底边在直线上， 所以， 因为共线，则，设，则. 设直线，代入椭圆方程，整理得： 将 ，代入韦达定理消元，化简得二次方程 ， 解得：或. 所以直线方程为：或. （ⅱ）在直线上， 证明：直线的方程：过、，斜率为， 方程为：，作轴垂线， 交于.为中点，故： 、所在直线方程为： 验证在直线上，即证： ， 即： 代入 ， ， 左边= 化简可得左边， 右边 化简可得右边，所以，左边右边，等式成立.即 . 这说明 满足直线的方程，因此在直线上，即三点共线 因此，三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知双曲线的焦距为4，右焦点到渐近线的距离等于1，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 14 C. D. 21 7. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得平面PAD C. 对于任意点，成立 D. 对于任意点，平面平面成立 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调，则 B. C. 方程在内的解有16个 D. 若在上有且仅有两个极值点，则 11. 抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线的焦点为F，直线l过点且与抛物线T交于，两点，T在A，B处的切线交于点P，则（ ） A. B. C. D. 点P在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数若 ，则________． 13. 某沙漏由上、下两个完全对称的圆锥组成，即上圆锥和下圆锥，将体积为上（下）圆锥一半的沙子从上圆锥落下，刚好形成了与下圆锥同底面的新圆锥，则沙子在上圆锥构成的圆锥的高与在下圆锥构成的圆锥的高的比值为________． 14. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”：，，，…，（），其中（）表示数列中最小的项．已知数列满足（），若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，AC边上的中线，求的平分线BN的长． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （1）证明：； （2）设三棱锥外接球的球心为E，求二面角的余弦值． 17. 已知． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 18. 2025年11月5日，第八届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，某企业参展的产品有甲、乙两款机器人，为调查消费者喜爱程度与产品的类型是否有关，在展览期间设置投票箱，随机抽取了部分观众进行现场投票，得到如下列联表： 类型 是否喜爱 合计 喜爱 不喜爱 甲 2m 4m 6m 乙 9m 3m 12m 合计 11m 7m 18m 并根据小概率值的独立性检验，得出了“消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （1）求正整数m的最小值． （2）为感谢现场参与的观众，主办方设置了一个挑战机器人对抗赛活动．每人挑战局，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，若每局比赛参与者战胜机器人的概率为，胜者记3分，负者记1分．每局胜负不受其他因素的影响． （ⅰ）若参与者甲与机器人共对抗4局，求其得分不少于10分的概率． （ⅱ）记参与者的得分恰好比对抗的局数n多4分的概率为，若，求． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，的面积为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线l交椭圆于C，D两点． （ⅰ）若的面积等于的面积的，求直线l的方程． （ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证明你的结论；若不共线，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $