第六单元《平行四边形》回顾与思考-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

第六单元《平行四边形》回顾与思考-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。 2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。 3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。 学习重点： 熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。 学习难点： 学会对证明方法的总结，通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。 ​​​ ​ 一、平行四边形的性质（1）平行四边形是中心对称图形. （2）对边平行； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC. （3）对边相等， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC ，AB=DC. （4）对角相等，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D. （5）对角线互相平分，∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC 2．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC． 3．如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　　） A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm 二、平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行（定义） ∵ AD∥BC ，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形. （2）、两组对边相等 ∵ AD=BC ，AB=DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形. （3）一组对边平行且相等 ∵ AB=DC，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形. （4）、对角线互相平分 ∵ OA=OC，OB=OD,∴ 四边形ABCD是平行四边形. 5．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO 6．如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF， （1）求证：AB=EF． （2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由． 三、三角形的中位线（1）三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （2）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC, 7．已知：三角形的各边分别为6cm，8cm， 12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为　 　cm. 8．已知：三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为　 　 cm. 9．如图，△ABC的周长为a，D、E、F分别为△ABC各边中点， （1） △DEF的周长为　 　. （2）G、H、I分别为△DEF各边中点，△GHI的周长为 . （3）像这样下去，第3个三角形的周长为 . （4）第n个三角形的周长为 　 　. 10．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？ 11．若三角形的三条中位线之比为 6 ： 5 ： 4 ，三角形的周长为 60 cm，那么该三角形中最长边的边长为　 　cm； 12． 如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形 13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由． 一、基础达标1： 14． 在平行四边形 ABCD 中，∠B=80∘，则 ∠A=　 　，∠D= 　 　 。 15． 在 Rt△ABC 中，若斜边上的中线长为 5，则斜边的长为　 　． 16．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm 17．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数　 　 . 18．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF． 19．如图，AB，CD相交于点O，AC ∥DB，AO=BO， E，F分别为OC，OD的中点，连接AE，AF，BE，BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形. 20．在四边形ABCD中，若分别给出六个条件： ①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD 现在，以其中的两个为一组，能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是：　 　（只填序号) 21．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE， BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形 二、能力提升1： 22．在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6 cm，BF＝12 cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　 　s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 三、拓展迁移1： 23．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD之外），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形． （2）若DE＝OD，BF＝OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？ （3）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AECF的周长． 1、平行四边形的定义： 。 2、平行四边形的性质定理： ①是中心对称图形， ②容易变形（不稳定性） ③边 . ④角 . ⑤对角线 . 3、平行四边形的判定定理： ①边 .（定义） ②角 . ③边角 . ④对角线 . 1、 三角形中位线定理： . 5、数学思想：归类、类比、转化 四、基础达标2： 24．如图，▱ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为（　　) A．6 cm B．12 cm C．4 cm D．8 cm 25．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ____（把所有正确结论的序号都填在横线上） （1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF； （3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF 26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 （　　) A．1 B．2 C． D．1＋ 27．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是（　 　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 28．如图所示，小明为了测量学校里一池塘AB的宽度，选取可以直接到达A，B两点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘AB的宽度为　 　m. MN与AB的位置关系　 　 . 29．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F. （1）求证：AD＝BF； （2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积． 五、能力提升2： 30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm 的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止)，在运动以后，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有　 　次． 31．已知： ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点.连接AN，DN，BM，CM.且AN与BM交于点P，CM与DN交于点Q. （1）图中有　 　 个平行四边形. （2）求证：PM=NQ 六、拓展迁移2： 32．如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形. 33．两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图①所示，AB＝6 cm，AC＝10 cm，∠ABC＝90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移（如图②)． （1）求证：四边形ACFD是平行四边形． （2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半？ （3）将Rt△ABC向左平移4 cm，求四边形DHCF的面积． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等） ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD， ∴∠EAB= ∠FCD， 在△ABE和△CDF中 ∠B＝∠D AB＝CD ∠EAB＝∠FCD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF． ∵AD=BC ∴AF=EC． 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】（1）证明：∵AC∥DE， ∴∠ACD=∠EDF， ∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC， 即BC=DF， 又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴AB=EF； （2）解：猜想：四边形ABEF为平行四边形， 理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD， ∴∠B=∠F，∴AB∥EF， 又∵AB=EF， 四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 7．【答案】13 8．【答案】32 9．【答案】（1） （2） （3） （4） 10．【答案】解：S△DEF= S△ABC. 理由如下：由题意得DE，DF，EF是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， DF∥AC，EF∥AB， ∴四边ADFE，BDEF，DECF都是平行四边形， ∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF， ∴S△DEF= S△ABC. 11．【答案】24 12．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等） ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 13．【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形， ∴OA=OC，OE=OF， （平行四边形的对角线互相平分） ∵E、F分别是BO、OD的中点， ∴2OE=2OF，即OB=OD， ∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形. （对角线互相平分的四边形是平行四边形） 14．【答案】100°；80° 15．【答案】10 16．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误； B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误； C、4+6=10，不能构成三角形，故此选项错误； D、10+10＞15，能够成三角形，故此选项正确； 故选：D． 【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形． 17．【答案】18° 18．【答案】证明：∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在 △AOE 和 △COF 中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF． 19．【答案】证明：∵AC ∥DB ∴∠C=∠D 在△AOC和△BOD中 ∠C=∠D ；∠AOC=∠BOD；AO=BO ∴△AOC≌△BOD（AAS） ∴OC=OD ∵ E，F分别为OC，OD的中点∴OE=OF ∵AO=BO ∴四边形AEBF是平行四边形 20．【答案】①④；①⑤；②④；②⑤；③⑥ 21．【答案】（1）证明：先证BC=EF，再根据SSS证△ABC≌△DFE； （2）证明：由（1）得AB∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 22．【答案】3或5 23．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵DE＝OD，BF＝OB， ∴DE＝BF ∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． （2）解：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB， ∴DE＝BF. ∴OE＝OF. 又∵OA=OC，∴四边形AFCE为平行四边形． 所以上述结论成立，由此可得出结论：若DE＝OD，BF＝OB（n≥3，且n是整数），四边形AFCE为平行四边形． （3）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∠DAC＝∠BCA． 又∵CA平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA. ∠DCA＝∠DAC. AD＝CD． 因为OA＝OC，所以OE⊥AC. 所以OE是AC的垂直平分线，所以AE＝CE． 因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形. 所以AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm. 所以C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40 （cm）． 24．【答案】D 25．【答案】（1）（2）（4） 26．【答案】A 27．【答案】A 28．【答案】40；平行 29．【答案】（1）证明：∵E是AB边上的中点， ∴AE＝BE. ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠F. 在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE. ∴AD＝BF （2）解：过点D作DM⊥AB与M， 则DM同时也是平行四边形ABCD的高 ∴S△AED＝ ×AB·DM=8 ∴S四边形EBCD＝S▱ABCD－S△ADE＝32－8＝24 30．【答案】4 31．【答案】（1）四 （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥BC AD=BC ∵ M，N是AD，BC的中点 ∴AM=MD BN=NC ∴AM=NC MD=BN ∵ AD ∥BC AM=NC ∴四边形ANCM是平行四边形 ∴AN ∥MC ∵ AD ∥BC MD=BN∴四边形MDNB是平行四边形 ∴BM ∥ND∴四边形PNQM是平行四边形 ∴PM=NQ 32．【答案】证明：∵D， G是AB，AC的中点 ∴DG是△ABC的中位线 ∴DG ∥BC，DG=BC ∵E， F是OB，OC的中点 ∴EF是△OBC的中位线 ∴EF ∥BC， EF=BC ∴ DG ∥ EF， DG = EF ∴四边形DEFG是平行四边形 33．【答案】（1）证明：∵四边形ACFD是由Rt△ABC平移形成的， ∴AD∥CF，AC∥DF. ∴四边形ACFD为平行四边形． （2）解：由题易得BC=8（cm)， △ABC的面积＝24 cm2. 要使得四边形ACFD的 面积等于△ABC的面积的一半，即6×CF＝24÷2， 解得CF＝2 cm， ∴将Rt△ABC向左（或右)平移2 cm，可使四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半． （3）解：将Rt△ABC向左平移4 cm， 则BE＝AD=CF＝4 cm. 又∵BC＝8 cm， ∴CE＝4 cm＝AD. 由（1）知四边形ACFD是平行四边形， ∴AD∥BF.∴∠HAD＝∠HCE. 又∵∠DHA＝∠EHC， ∴△DHA≌△EHC（AAS)． ∴DH＝HE＝3 cm. ∴S△ADH＝6cm. ∴四边形DHCF的面积为－S△HEC＝24－6＝18（cm2)． 学科网（北京）股份有限公司 $