6.1平行四边形性质定理（1）-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

6.1平行四边形性质定理（1）-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。 2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。 3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。 学习重点： 平行四边形性质的探索和证明 学习难点： 平行四边形的性质的论证及应用。 观察图片思考问题 1.这些多边形是几边形？ 2.请根据四边形对边的位置关系对它们进行分类 一、概念引入 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 如图：四边形ABCD是平行四边形 记作：ABCD读作：平行四边形ABCD 定义包括两重意思：（1）如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形； （2）如果一个四边形是 平行四边形，那么它的两组对边就分别平行. 交流与思考： （1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出对称中心并验证你的结论吗？ （2）你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴交流。 二、探究平行四边形的性质 1、将两个全等的平行四边形完全重叠，把上面一个平行四边形绕AC,BD的交点旋转180°后，能和下面的图形重合吗？你发现了什么？ 结论：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 【强调】平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。 2、平行四边形的性质（1);对边相等 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,求证： AB=CD，BC=DA 证明：连接AC ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，BC∥DA（ )填判断根据 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵AC=CA ∴△ABC≌△CDA（ ）填判断根据 ∴ AB=CD，BC=DA 3、平行四边形的性质（2):对角相等 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证:∠A=∠C，∠B=∠D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，BC∥DA（ )填判断根据 ∴∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180° ∴∠B=∠D. 同理可证∠A=∠C 例题1 1．已知：如图，在ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：BE=DF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD（ ）填判断根据 AB∥CD（ )填判断根据 ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF ∴△ABE≌△CDF（ )填判断根据 ∴BE=CF 例题2 2．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60°，BE=4，DF=6，求平行四边形ABCD的周长和面积。 解：∵ABCD是平行四边形，AD∥BC，AE⊥BC ∴AE⊥AD， 又∵∠EAF=60°，∴∠DAF=30° 在Rt△ADF中∠DAF=30°∴AD=2DF=12.（ ）填判断根据 ∠B=∠D=90-∠DAF=60° ∠BAE=90°-∠B=30° 在Rt△ABE中∠BAE=30° ∴AB=2BE=8.（ ）填判断根据 ∴平行四边形ABCD的周长=2（8+12)=40 在Rt△ADF中AD=12，DF=6， CD=AB=8 平行四边形ABCD面积 一、基础达标1： 3．在 □ABCD 中，AD=40，CD=30 ， ∠B=60°，则BC=　 　；AB=　 　 ；∠A=　 　 ， ∠C= 　 　 ， ∠D= 　 　 ． 4．已知□ABCD的周长是38cm，则AB+BC=　 　. 5． 在平行四边形ABCD 中，AB：BC=2：3，周长是40cm ，则 AB=　 　. 6．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=　 　． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是　 　． 8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是 　 　． 二、能力提升1： 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F． （1）求证：BC＝CD+ED； （2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长． 三、拓展迁移1： 10．如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN． ： 11．如图（单位cm)，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O，BD⊥AD，求OB的长度及▱ABCD的面积。 1.平行四边形的概念： 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2.平行四边形的性质： 不稳定性 对称性：平行四边形的是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 边：平行四边形的对边平行且相等。 角：平行四边形的对角相等，邻角互补。 四、基础达标2： 12．在 □ ABCD 中，∠A与∠B 的度数之比为5：4，则∠A= 　 　，∠B= 　 　 ， ∠C= 　 　 ，∠D= 　 　． 13．已知： □ABCD的周长等于20 cm，BD=7 cm，则△ABC的周长是 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2） 15．如图，点E为▱ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　） A．80° B．81° C．82° D．83° 16．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为（　　） A．136° B．144° C．108° D．114° 17．如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为　 　． 五、能力提升2： 18．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）当∠BAF=90°，CD=3，AD=2.5时，求AF的长； （3）在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积． 六、拓展迁移2： 19．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF . 答案解析部分 1．【答案】解： 2．【答案】解： 3．【答案】40；30；20；120；60 4．【答案】19cm 5．【答案】8cm 6．【答案】80° 【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°， ∵∠B+∠D=200°， ∴∠B=∠D=100°， ∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°， 故答案为：80°． 【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案． 7．【答案】（3，4)或（-3，4）或（3，-4） 8．【答案】4 9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=CD， BC==AD=AE+ED=CD+ED； ∴BC=CD+ED （2）解：过点F作FG⊥BC，那么 ∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3， ∴GF =AF=3，AB=BG 又∵AC＝8， ∴FC=AC=AF=8-3=5， 在Rt△CFG中，GC===4， 由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x， 在Rt中， AB2+AC2=BC2， 即x2+82=（x+4)2， 解得：x=6， 即AE的长为6． 10．【答案】证明：∵DM⊥AC，BN⊥AC， ∴∠AMD=∠CNB=90∘， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD=BC 且 AD∥BC， ∴∠DAM=∠BCN． 在 △ADM 与 △CBN 中， ∠AMD=∠CNB，∠DAM=∠BCN，AD=BC， ∴△ADM≌△CBN（AAS）， ∴DM=BN． 11．【答案】解：在Rt△ABD中，AD=8，AB=10 BD= 在Rt△ADO和Rt△CBO中 AD=BC，∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO=90° ∴Rt△ADO≌Rt△CBO（AAS) OB=OD=BD=3 12．【答案】100；80；100；60 13．【答案】17cm 14．【答案】D 15．【答案】B 16．【答案】D 17．【答案】7 18．【答案】（1）证明：证明：∵E是边CD的中点，∴CE=DE ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BF，∠DAE=∠F 在△ADE与△FCE中 ∴△ADE≌△FCE（AAS) （2） 解：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD=AB=3，AD=BC=2.5 △ADE≌△FCE ∴AD=FC=2.5 BF=BC+FC=5 ∠BAF=90° 在直角△ABF中， （3）解：如图：连接BE ∵∠BAF=90°，∴BA⊥AF BA是△BEF的边EF上的高 ∵△ADE≌△FCE ∴AE=FE 19．【答案】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠ADC， ∴ ∠BAE=∠DCF， 又∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线， ∴ ∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC， ∴ ∠ABE=∠CDF， ∴ △ABE≌△CDF（SAS） 学科网（北京）股份有限公司 $