二元一次方程组阶段练习2025-2026学年七年级下册数学苏科版

**基本信息** 七年级下册苏科版二元一次方程组阶段练习，通过基础概念辨析、解法优化及明代饮酒诗、租车方案等情境题，全面覆盖方程组概念、解法与应用，培养抽象能力、模型意识及创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|二元一次方程组概念、解的判定、解法选择|结合明代《算法统宗》饮酒诗考查建模，如第6题| |填空题|10题20分|参数问题、整数解、代数式表示|通过“钢笔橡皮购买方案”考查非负整数解，如第7题| |解答题|7小题56分|解法探究、几何应用、租车方案设计|大长方形中小长方形面积计算（第24题）融合几何直观与方程思想|

七年级下册数学苏科版阶段练习（二元一次方程组） 一、选择题（24分） 1． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A. B. C. D. 2． 在下面四个方程组中，以为解的方程组是（　　） A. B. C. D. 3． 解二元一次方程组最好的做法首先采用（　　） A. 代入法 B. 加减法 C. 都可以 D. 无法确定 4． 如果方程组的解为，则被 “” 和 “” 遮挡的两个数分别是（　　） A. 7，9 B. 9，7 C. 1，-1 D. -1，1 5． 若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（　　） A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 6． 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九，三十三客醉颜生。试问高明能算士，几多醨酒几多醇？” 设有醇酒瓶，薄酒瓶。根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7． 甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果让乙先跑 2 秒，那么甲跑 4 秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑米，米，下列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 8． 已知关于，的方程组，以下结论其中不成立的是（　　） A. 不论取什么实数，的值始终不变 B. 存在实数，使得 C. 当时， D. 当，方程组的解也是方程的解 二、填空题（20分） 9． 已知，，表示未知数，下列方程组是二元一次方程组的是________（填序号）。 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 10． 在方程中，用含的代数式表示，则________。 11． 若是二元一次方程的一组解，则________。 12． 若方程是关于，的二元一次方程，则________。 13． 已知二元一次方程组，那么的值为________。 14． 若方程组的解与相等，则________。 15． 小明到文具店购买钢笔和橡皮共用 40 元（两种物品都要买），已知钢笔每支 10 元，橡皮每块 2 元，则小明的购买方案共有________种。 16． 对于任意有理数、、、，我们规定，已知，同时满足，，则，。 17． 为负整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为________。 18． 已知方程组的解是，则方程组的解是________。 三、解答题（共 7 小题，满分 56 分） 19． 解方程组： (1) (2) (3) (4) 20． 阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题。 解方程组，我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举。 ①②，得，即 ③ ③，得 ④ ②④得，从而 所以原方程组的解是 (1) 请你用上述方法解方程组； (2) 试猜测关于、的二元一次方程组（）的解是什么？并加以验证。 21． 小东将一张长方形纸的一角折过来，该角顶点落在处，为折痕，如图所示，若平分，比小，分别求出和的度数。 22． 如图，在大长方形中放入六个形状大小相同的小长方形，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：cm） 23． 某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐。现欲将一批洋葱运往外地销售，若用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满洋葱一次可运走 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满洋葱一次可运走 11 吨。现有洋葱 31 吨，计划同时租用 A 型车辆，B 型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱。根据以上信息，解答问题： (1) 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2) 请你帮该物流公司设计租车方案； (3) 若 1 辆 A 型车需租金 100 元 / 次，1 辆 B 型车需租金 120 元 / 次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下册数学苏科版阶段练习（二元一次方程组）答案和解析 一、选择题（24分） 1． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A. B. C. D. 答案：B 解析：二元一次方程组需满足：①含2 个未知数；②未知数项次数为 1；③是整式方程。 A：含 a,b,c 三个未知数→错 B：含 a,b 两个未知数，次数均为 1→正确 C： 是二次项→错 D：不是整式→错 2． 在下面四个方程组中，以为解的方程组是（　　） A. B. C. D. 答案：B 解析：把 代入各方程组验证： A：→错 B：，→全对 C：→错 D：，但 →错 3． 解二元一次方程组最好的做法首先采用（　　） A. 代入法 B. 加减法 C. 都可以 D. 无法确定 答案：B 解析：方程组 中， 的系数互为相反数，直接相加消元（加减法）最简便。 4． 如果方程组的解为，则被 “” 和 “” 遮挡的两个数分别是（　　） A. 7，9 B. 9，7 C. 1，-1 D. -1，1 答案：A 解析：以“” 和 “” 为未知数，解方程组 ，得。 5． 若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（　　） A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 答案：C 解析：两方程组同解，先解 ，得 。 代入另一组：，解得 。 所以，选 C。 6． 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人。共同饮了一十九，三十三客醉颜生。试问高明能算士，几多醨酒几多醇？” 设有醇酒瓶，薄酒瓶。根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 答案：A 解析：设醇酒 瓶、薄酒 瓶： 总瓶数： 总人数：醇酒 1 瓶醉 3 人，薄酒 3 瓶醉 1 人→ 对应选项 A。 7． 甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果让乙先跑 2 秒，那么甲跑 4 秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑米，米，下列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 答案：C 解析：设甲速 m/s、乙速 m/s： 乙先跑 10 米，甲 5 秒追上：→ 乙先跑 2 秒，甲 4 秒追上：甲跑 4 秒 = 乙跑 6 秒→→ 对应选项 C。 8． 已知关于，的方程组，以下结论其中不成立的是（　　） A. 不论取什么实数，的值始终不变 B. 存在实数，使得 C. 当时， D. 当，方程组的解也是方程的解 答案：D 解析：解方程组 ，得 。 A：（定值）→成立 B：（存在）→成立 C：→成立 D： 时，，代入 ：→不成立 二、填空题（20分） 9． 已知，，表示未知数，下列方程组是二元一次方程组的是________（填序号）。 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 答案：③④ 解析： ①：3 个未知数→错 ②： 二次项→错 ③：2 个未知数，次数 1→对 ④：2 个未知数，次数 1→对 ⑤：非整式→错 10． 在方程中，用含的代数式表示，则________。 答案： 解析： 11． 若是二元一次方程的一组解，则________。 答案： 解析：代入 ： 12． 若方程是关于，的二元一次方程，则________。 答案： 解析：二元一次方程要求：未知数次数为 1，且系数不为 0。 且 13． 已知二元一次方程组，那么的值为________。 答案： 解析： ①+②×2：，代入②得 。 。 14． 若方程组的解与相等，则________。 答案： 解析：，代入 。 代入 ： 15． 小明到文具店购买钢笔和橡皮共用 40 元（两种物品都要买），已知钢笔每支 10 元，橡皮每块 2 元，则小明的购买方案共有________种。 答案： 解析：设钢笔 支、橡皮 块：（ 正整数） （舍去），共 3 种。 16． 对于任意有理数、、、，我们规定，已知，同时满足，，则，。 答案： 解析：按定义 ： ， 解得 17． 为负整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为________。 答案： 解析：，①−②：。 为负整数， 为整数→ 是 10 的负因数： （非负，舍） （非负，舍） ，，（整数） ，，（非整数，舍） 唯一符合：。 18． 已知方程组的解是，则方程组的解是________。 答案： 解析：换元法：令 ，则新方程组为 ，解为 。 三、解答题（共 7 小题，满分 56 分） 19． 解方程组： (1) (2) （1）答案： 解析：①+②：，代入①得 。 （2）答案： 解析：化简得 ①×4+②×3：，代入①得 。 (3) (4) （3）答案： 解析：②×3+①：，代入②得 。 （4）答案： 解析：化简得 ①−②：，代入②得 。 20． 阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题。 解方程组，我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举。 ①②，得，即 ③ ③，得 ④ ②④得，从而 所以原方程组的解是 (1) 请你用上述方法解方程组； (2) 试猜测关于、的二元一次方程组（）的解是什么？并加以验证。 (1)答案： 解析：②−①： ③ ③×11： ④ ①−④：，代入③得 。 (2)答案： 猜测 的解为 解析：①−②：， ③ ③×： ④ ①−④：，代入③得 。 验证：代入原组成立。 21． 小东将一张长方形纸的一角折过来，该角顶点落在处，为折痕，如图所示，若平分，比小，分别求出和的度数。 答案： 解析：设 ，。 折叠性质： 平分 ： 平角： 题意： 解得 。 22． 如图，在大长方形中放入六个形状大小相同的小长方形，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：cm） 答案： 解析：设小长方形长 、宽 ： ，解得 。 大长方形：长，宽，面积。 阴影面积：。 23． 某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐。现欲将一批洋葱运往外地销售，若用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满洋葱一次可运走 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满洋葱一次可运走 11 吨。现有洋葱 31 吨，计划同时租用 A 型车辆，B 型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱。根据以上信息，解答问题： (1) 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2) 请你帮该物流公司设计租车方案； (3) 若 1 辆 A 型车需租金 100 元 / 次，1 辆 B 型车需租金 120 元 / 次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费。 答案：(1) A 型 3 吨，B 型 4 吨；(2)见解析；(3)A 型 1 辆，B 型 7 辆，最少租车费940元。 解析： (1)设 A 型运吨、B 型运吨： ，解得 。 (2) 租车方案（，非负整数） 方案：(9,1)、(5,4)、(1,7)。 (3) 方案 1：元 方案 2：元 方案 3：元 最少：940 元（A 型 1 辆，B 型 7 辆） 1 学科网（北京）股份有限公司 $