微专题04 二元一次方程组与新定义、规律探究、阅读理解类问题（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题04 二元一次方程组与新定义、规律探究、阅读理解类问题 题型一 二元一次方程组与新定义问题 先认真读懂题目给出的新运算、新符号或新概念，严格按照定义把陌生的表达式转化成我们熟悉的等式。再根据题目条件，把对应的数值或代数式代入新定义中，列出二元一次方程组。接着用代入消元法或加减消元法解出未知数，最后把解代回原定义进行检验，确保结果符合新定义的要求。 1．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)有两个算式：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，新定义，解答的关键是对相应的运算法则及解方程的方法的掌握． （1）根据所给的规定进行运算即可； （2）结合所给的规定，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， 解得． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 【答案】(1)2027 (2)点是“燕南点” 【分析】（1）将整体代入该代数式进行计算求解； （2）根据题目定义，先求得对应的m，n的值，再计算的值，再判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得， 解得， ∴， ∴点是“燕南点”． 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）列方程组，用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得：； （2）解：， ∴ 解得：， ∵， ∴， 解得：． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 8．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 9．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴求的值为或； （3）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 10．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是___________； (2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为：； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 11．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 12．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【阅读】如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：与．当任取一个数时，如，，这两个多项式的值都是相等的．因此，多项式与是恒等的． 【探究】 （1）若关于的多项式与恒等（其中是常数），则___________，___________． （2）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值； 【拓展】 （3）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到，的值； （2）根据对应系数相等列方程求解即可； （3）根据对应系数相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的多项式与恒等， ∴，， 故答案为：； （2）关于的多项式与恒等， 所以，解得． （3）关于的多项式与恒等， 所以，解得． 13．规定：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）求方程的共轭二元一次方程是　　　　； （2）若关于的方程组为共轭方程组，则a=　　　　，b=　　　　； （3）若方程x+ky=b中x、y的值满足下列表格： x 0 y 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是　　　　； （4）解下列方程组(直接写出方程组的解即可) 的解为　　　　；的解为　　　　；的解为　　　　． 结论：若共轭方程组的解是，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）x+3y=5；（2）1，1；（3）－0.5x+y=－1；（4），，，m=n． 【分析】（1）根据定义解答； （2）由题意得1-a=2a-2，b+2=4-b，解方程即可得到答案； （3）将x与y的对应值代入x+ky=b中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （4）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中x与y的关系即可得到答案. 【详解】（1）根据定义得方程的共轭二元一次方程是x+3y=5， 故答案为：x+3y=5； （2）由题意得1-a=2a-2，b+2=4-b， 解得a=1，b=1， 故答案为：1，1； （3）由题意得， 解得， ∴原方程为：x-0.5y=-1， ∴这个方程的共轭二元一次方程是－0.5x+y=－1， 故答案为：－0.5x+y=－1； （4）解方程组， 由①得x=3-2y③， 将③代入②得，2（3-2y）+y=3， 解得y=1， 将y=1代入③得x=3-2=1， ∴原方程组的解为； 解方程组， ①-②得x-y=0， ∴x=y， 将x=y代入①得x=-2， ∴y=-2， ∴原方程组的解是； 解方程组， 由①得y=2x-4③， 将③代入②得-x+2（2x-4）=4， 解得x=4， 将x=4代入③得y=4， ∴原方程组的解是， ∴解方程组的解是中与的数量关系是m=n， 故答案为：，，，m=n. 【点睛】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键. 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不妨约定：关于的二元一次方程，若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 【答案】(1)①不是；②是；③不是； (2)有． (3)． 【分析】本题主要考查二元一次方程组： （1）根据“开心”方程的定义求解即可； （2）解方程组得，代入原方程组得，求出； （3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由求得，得到代入原方程可求解， 【详解】（1）解：对于方程，， ∵, ∴方程不是开心方程； 对于方程，， ∵ ∴方程是开心方程； 对于方程，，所以，方程不是开心方程； 故答案为：不是，是，不是 （2）解：由题意可知：， 解得：， 将代回原方程组得： 由①＋②得：， ∵， ∴有． （3）解：由题可知： 化简可得：． 解得， ∵， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴或2 根据新定义，所以舍去1，则 ∴， 代入原方程得：， 消去y化简可得； ∵， 所以：“开心方程组”的解为． 16．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 【答案】（1）； （2）；； （3）①；②；③； （4）； （5）． 【分析】（1）根据题中的对称二元一次方程定义即可得解； （2）根据题中的对称二元一次方程定义得出后即可得解； （3）①根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ②根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ③根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； （4）由（3）总结出规律：关于、的“对称二元一次方程组”的解为，从而可以判断得解； （5）根据题意，方程可以化为，结合关于、的方程组的解是，即可得解． 【详解】解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：． （2） 为“对称二元一次方程组”， ， 解得． 故答案为：；． （3）①， 两式相加得，， 则， ，， 即的解为； ②，同理可得； ③，同理可得； 故答案为：①；②；③． （4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为， 方程组的解为． 故答案为：． （5）， ， 又关于、的方程组的解是， ， 即， 方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解三元一次方程组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题关键是理解题意． 题型二 二元一次方程组与规律探究问题 先观察给出的前几个方程组，分别找出x 的系数、y 的系数、常数项随序号变化的规律，一般是依次增加或成倍变化。再对应看每组解里 x、y 的值和序号之间的关系，分别用含序号 n 的式子表示出 x 和 y。接着按照找到的规律，写出第 n 个方程组的一般形式，最后把通项解代入第 n 个方程组进行验证，确保左右两边相等即可。 17.下面反映了按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系： 序号 1 2 3 …… n 方程组 方程组解 按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）． 【答案】 【分析】分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从开始的连续负奇数，再根据得到的规律求解即可；发现方程和解的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第n个方程组为，它的解为（n为正整数）． 故答案为：，． 18.．如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图：将方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……、方程组n. ①                          ②                        ③                     ……                                   ……            （1）将方程组2、方程组3的解填入上图对应位置； （2）请根据方程组和与它对应的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入上图中； （3）若方程组的解是,求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 【答案】（1）-1,3，见解析；（2）x-ny=n2,n,1-n；（3）m=3，不符合. 【分析】（1）将方程组2、方程组3中已知未知数的值代入方程组中的任意一个方程即可求出另一未知数的值； （2）根据方程组和与它对应的解的变化找出规律即可； （3）把方程组的解代入方程x-my=25即可求的m的值，再根据规律进行判断． 【详解】解：（1）   把x=2代入①得  y=-1； ③     把y=-2代入①得  x=3； （2） 根据方程组和与它对应的解的变化规律，，得 方程组n为：                                   方程组的解为： ； （3）由题意，得7+6m=25， 解得m=3， 该方程组为 ，它不符合（2）中的规律． 故答案为（1）-1，3，见解析；（2）x-ny=n2，n，1-n；（3）m=3，不符合. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，找到方程组和与它对应的解的变化规律是解题的关键． 19．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 20．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 【答案】(1) (2) (3)，，方程组属于上述集合． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）由前面方程组的解发现未知数x的值为一列自然数，对应的未知数y的值为x的相反数与1的和，从而可总结出规律得答案； （3）将代入原方程组求解，的值，再观察方程组的结构从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 把两个方程相加可得：， 解得：， 把代入上面一个方程可得：， 方程组1的解为； （2）根据方程组的解的变化规律可得： 方程组n为，解为； （3）∵， 将代入①得：， 解得， 把，代入②，得，解得， ∴该方程组及方程组的解属于上述集合． 【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的含义，方程组的解的规律探究与运用，理解题意，正确的归纳与总结规律是解本题的关键． 题型三 二元一次方程组与阅读理解类问题 先仔细阅读题目材料，理解例题中介绍的解题思路和方法，比如整体代入、换元、消常数等特殊解法。然后提取材料里的关键步骤和等量关系，模仿例题的解题格式，把要求解的方程组转化为符合该方法的形式。再按照同样的步骤列出方程或方程组，规范计算出结果，最后结合题意写出完整答案，注意步骤要和材料保持一致，不要随意改用常规解法。 21．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步： 可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （）根据变形后的方程代入方程组的另一个方程，即可得出选项； （）得出，求出，再把 代入求出即可． 【详解】（1）解：∵③是由①变形得来， ∴不能将③代入①，应将③代入， ∴第二步出现错误． 故选：B． （2）解： ，得， 解得： ，代入， 解得： ， 所以方程组的解是． 22．阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）先移项，然后根据矩阵的定义即可得出答案． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：二元一次方程组即写成矩阵形式为 ∴ （3）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． 23．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)B (3)，0， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键． （1）根据二元一次方程的解得定义求出即可； （2）根据题意得出或3或2或1，求出即可； （3）先求出的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程的正整数解为， 故答案为：； （2）解：∵为自然数， ∴或3或2或1， ∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个， 故选：B； （3）解：， 得：， 解得：， ，是正整数，是整数， ，2，4，8， ，2，0，， 但时，不是正整数，故，0，． 24．（23-24七年级下·河南南阳·期末）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或． 问题：已知关于x，y的方程组 (1)请你直接写出方程的一组正整数解： ； (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 ． A．3个                    B．4个                   C．5个 (3)若方程组的解满足，求a的值． 【答案】(1)或（任意一组） (2)B (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的解以及解二元一次方程组 （1）由，可得出，再结合，均为正整数，即可得出方程的各组正整数解； （2）由为自然数，可得出可以为1，2，3，6，解之可得出的值，进而可得出满足条件的正整数的值有4个（由，亦可得出满足条件的正整数的值有4个）； （3）由方程组的解满足，可得出方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ． 又，均为正整数， 或． 故答案为：或； （2）解： 为自然数， 可以为1，2，3，6， 可以为4，5，6，9， 满足条件的正整数的值有4个． 故答案为：B； （3）解：根据题意得：， ①②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 将代入得：， 解得：． 答：的值为． 25．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________； (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________； A．3个    B．4个    C．5个    D．6个 (3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)B (3)或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键． （1）先仿照题意得到，再根据x、y是正整数求解即可； （2）根据题意得出的值为6或3或2或1，据此求解即可； （3）利用加减消元法消去x，用含k的式子表示出y，根据y为正整数求出k的值，再带回验证x的值是否为正整数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴x必须是2的倍数， ∴当时，， ∴方程的正整数解为； （2）解：解：∵为自然数， ∴的值为6或3或2或1， ∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个， 故选：B； （3）解：解：， 得：， 解得：， ，是正整数，是整数， ∴的值为1或3， 或， 当时，此时,则，解得，符合题意； 当时，此时,则，解得，符合题意； ∴或。 26．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：设，则方程化为：， 即， 解得； （3）解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． 27．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ，，，都是方程 的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：由，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为 ，． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个． (2)直接写出满足方程的正整数解 ． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)4 (2) (3)2种截法，截法1：截成7段，3段的绳子；截法2：截成3段，6段的绳子． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，正确求出二元一次方程的正整理数解是解题的关键． （1）由为非负整数，可得出可以为1，2， 5，10，进而可得出的值； （2）由，可得出，结合，均为正整数，即可得出二元一次方程的正整数解； （3）设可以截成段，段的绳子，根据绳子的总长为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，求出方程的正整理数解，即可得出各截法． 【详解】（1）解：若为非负整数，且， 可以为1，2， 5，10， 可以为4，5， 8，13， 满足条件的整数的值有4个． 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， 又，均为正整数， ， 方程的正整数解为． （3）解：设可以截成段，段的绳子， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 共有2种截法， 截法1：截成7段，3段的绳子； 截法2：截成3段，6段的绳子． 28．【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，后面的数是等号右边的常数项，且一个短竖算筹表示1，一个短横算筹表示10”，短竖算筹和短横算筹构成的数，短横算筹表示5，一个短竖算筹表示1，它们的和就是该数，解得即可； （2）用加减消元法和数表法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一个方程中，x的系数为1，y的系数为5，常数项是17，第二个方程中，x的系数为1，y的系数为2，常数项是14， 故方程组为：； （2）解：常规方法： ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 数表： 所以原方程组的解为 29．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ①－②，得：；①＋②×2，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 【问题解决】 (1)已知二元一次方程组，则＝____；＝____． (2)某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需_____元． (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是_____． 【答案】(1)4；2 (2)60 (3)－11 【分析】（1）根据整体思想①-②可求得，根据①＋②可得，即可求解； （2）设购买1只铅笔、1块橡皮、1本笔记本分别需要元，根据题意列出方程组，根据整体思想解方程组即可求解． （3）根据题意，列出方程组，根据整体思想解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， ①-②得，， ①＋②得，， ， 故答案为：4，2； （2）解：设购买1只铅笔、1块橡皮、1本笔记本分别需要元，根据题意得， ， ①×2-②得：， ， 即购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需60元， 故答案为：60； （3）解：∵，， ∴， ①×3-②×2得， ， 故答案为：-11 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，整体代入是解题的关键． 30．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法解方程组：； (2)方程组的解是______； (3)猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2) (3)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤 （1）（2）小题均根据验证条件中的解题方法解方程组，求出方程组的解即可； （3）根据（1）（2）两个小题的方程，直接写出方程组的解，再代入每个方程进行验证即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解是； （2）解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：方程组的解是， 证明：把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， 把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴原方程组的解是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 二元一次方程组与新定义、规律探究、阅读理解类问题 题型一 二元一次方程组与新定义问题 先认真读懂题目给出的新运算、新符号或新概念，严格按照定义把陌生的表达式转化成我们熟悉的等式。再根据题目条件，把对应的数值或代数式代入新定义中，列出二元一次方程组。接着用代入消元法或加减消元法解出未知数，最后把解代回原定义进行检验，确保结果符合新定义的要求。 1．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)有两个算式：，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如，求的值．我们不妨将作为一个整体代入，则． 素材二：已知，其中有理数m，n满足，就称点P为“燕南点”．例如要判断点是否为“燕南点”，令，解得，因为，所以不是“燕南点”；再如是否为“燕南点”，令，解得．因为，所以是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； (1)若，求的值； (2)请通过计算去判断点是不是“燕南点”． 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 8．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 9．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 10．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是___________； (2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值． 11．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 12．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【阅读】如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：与．当任取一个数时，如，，这两个多项式的值都是相等的．因此，多项式与是恒等的． 【探究】 （1）若关于的多项式与恒等（其中是常数），则___________，___________． （2）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值； 【拓展】 （3）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值． 13．规定：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）求方程的共轭二元一次方程是　　　　； （2）若关于的方程组为共轭方程组，则a=　　　　，b=　　　　； （3）若方程x+ky=b中x、y的值满足下列表格： x 0 y 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是　　　　； （4）解下列方程组(直接写出方程组的解即可) 的解为　　　　；的解为　　　　；的解为　　　　． 结论：若共轭方程组的解是，请直接写出与的数量关系． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不妨约定：关于的二元一次方程，若系数满足，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程，其中，满足，且，则方程是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； ① ；②______．③______； (2)若关于的“开心”方程组的解为，求的值． (3)关于的“开心”方程组满足，其中为整数，为常数且，求的值，并求此“开心方程组”的解． 16．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 题型二 二元一次方程组与规律探究问题 先观察给出的前几个方程组，分别找出x 的系数、y 的系数、常数项随序号变化的规律，一般是依次增加或成倍变化。再对应看每组解里 x、y 的值和序号之间的关系，分别用含序号 n 的式子表示出 x 和 y。接着按照找到的规律，写出第 n 个方程组的一般形式，最后把通项解代入第 n 个方程组进行验证，确保左右两边相等即可。 17.下面反映了按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系： 序号 1 2 3 …… n 方程组 方程组解 按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）． 18.．如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图：将方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……、方程组n. ①                          ②                        ③                     ……                                   ……            （1）将方程组2、方程组3的解填入上图对应位置； （2）请根据方程组和与它对应的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入上图中； （3）若方程组的解是,求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 19．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 20．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 题型三 二元一次方程组与阅读理解类问题 先仔细阅读题目材料，理解例题中介绍的解题思路和方法，比如整体代入、换元、消常数等特殊解法。然后提取材料里的关键步骤和等量关系，模仿例题的解题格式，把要求解的方程组转化为符合该方法的形式。再按照同样的步骤列出方程或方程组，规范计算出结果，最后结合题意写出完整答案，注意步骤要和材料保持一致，不要随意改用常规解法。 21．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步： 可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 22．阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 23．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 24．（23-24七年级下·河南南阳·期末）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或． 问题：已知关于x，y的方程组 (1)请你直接写出方程的一组正整数解： ； (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 ． A．3个                    B．4个                   C．5个 (3)若方程组的解满足，求a的值． 25．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________； (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________； A．3个    B．4个    C．5个    D．6个 (3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 26．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求的值． 27．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ，，，都是方程 的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：由，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为 ，． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个． (2)直接写出满足方程的正整数解 ． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 28．【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 29．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ①－②，得：；①＋②×2，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 【问题解决】 (1)已知二元一次方程组，则＝____；＝____． (2)某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需_____元． (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是_____． 30．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法解方程组：； (2)方程组的解是______； (3)猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $