专练：用样本估计总体-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专练：用样本估计总体-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、单项选择题 1．下列数据一般需要通过试验获取的是 （ ） A．某子弹的射程 B．某学校的男女生比例 C．某品牌手机的市场占有率 D．期中考试的班级数学成绩 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 （ ） A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 3．在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加测试，经过评估，这500名学生的得分(单位：分)都在[40，90]内，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[40，60)内的学生人数为 （ ） A．150 B．200 C．250 D．300 4．某地自2019年起实行湖长制，境内湖泊水质不断提升．为了了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法不正确的是 （ ） A．该地水质差的湖泊总量逐年递减 B．该地水质好的湖泊总量逐年递增 C．该地平均每年新增10个湖泊 D．该地平均每年新增至少45个水质好湖泊 5．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宣汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为 （ ） A．23年 B．22年 C．21年 D．20年 6．小温记录了近6周的周慢走里程(单位：km)数据，从小到大依次为：11，12，m，n，20，27，其中中位数为16，若要使标准差最小，则m＝ （ ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、多项选择题 7．已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的标准差s≠0，其平均数＝x3，则下列数据的标准差与s不相等的是 （ ） A．2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6 B．x1－，x2－，x3－，x4－，x5－，x6－ C．x1，x2，x4，x5，x6 D．2x1－，2x2－，2x3－，2x4－，2x5－，2x6－ 8．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：h)进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法中正确的有 （ ） A.众数大约为2.5 B.中位数大约为4 C.平均数大约为3.95 D.第80百分位数大约为5.2 三、填空题 9．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，采用简单随机抽样的方法从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为，则n＝________． 10．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________． 四、解答题 11．某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表所示． 第一车间 第二车间 第三车间 女工人 170 120 y 男工人 180 x z 已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.13.该厂第三车间的男、女比例为3∶2. （1）求x，y，z的值． （2）现用分层随机抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则应在第三车间抽取多少名男工人？ 12．为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A.1.5小时以上；B.1～1.5小时；C.0.5～1小时；D.0.5小时以下．图①，②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）本次一共调查了多少名学生？ （2）在图①中将B对应的部分补充完整． （3）若该校有3000名学生，请估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？ 13．某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，以便做出合理的促销方案．现从果园内随机采摘200个蜜桔进行测重，其质量分别在[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85](单位：克)中，其频率分布直方图如图所示． （1）求m的值； （2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；(同一组的数据以该组区间的中点值为代表) （3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，试问该果园的收益是否会更高？ 14．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件). 记这组样本的质量指标值的平均数为，方差为s2. （1）估计和s2(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)； （2）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s为标准差(精确到个位)，an＝5×{}，bn＝5×，n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1)内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 专练：用样本估计总体-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 一、单项选择题 1．下列数据一般需要通过试验获取的是 （ ） A．某子弹的射程 B．某学校的男女生比例 C．某品牌手机的市场占有率 D．期中考试的班级数学成绩 解析：选项A：某子弹的射程没有现存数据可以查询，因而需要通过试验获取；选项B：某学校的男女生比例可以通过查询获取，不需要通过试验获取；选项C：某品牌手机的市场占有率可以通过调查获取，不需要通过试验获取；选项D：期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取，不需要通过试验获取．故选A. 答案：A 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 （ ） A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 解析：因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，所以评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差． 答案：B 3．在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加测试，经过评估，这500名学生的得分(单位：分)都在[40，90]内，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[40，60)内的学生人数为 （ ） A．150 B．200 C．250 D．300 解析：由频率分布直方图，知(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，所以得分在[40，60)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4，故得分在[40，60)内的学生人数为500×0.4＝200.故选B. 答案：B 4．某地自2019年起实行湖长制，境内湖泊水质不断提升．为了了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法不正确的是 （ ） A．该地水质差的湖泊总量逐年递减 B．该地水质好的湖泊总量逐年递增 C．该地平均每年新增10个湖泊 D．该地平均每年新增至少45个水质好湖泊 解析：根据图中湖泊总量折线图可得从2019年到2023年，该地平均每年新增的湖泊个数为＝10，故C正确．根据图中水质差的湖泊数的折线图可得该地水质差的湖泊总量数前3年分别为：×160＝150，×172＝86，×190＝≈90，故A错误．根据图中水质好的湖泊数的折线图可得该地水质好的湖泊总量数分别为：×160＝10，×172＝86，×190≈100，×193≈140，×200＝200，该地水质好湖泊总量数逐年递增，故B正确．从2019年到2023年，该地平均每年新增水质好湖泊数量为＝47.5>45，故D正确．故选A. 答案：A 5．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宣汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为 （ ） A．23年 B．22年 C．21年 D．20年 解析：设“一代”为x年，由题意得企业寿命的频率分布表为： 家族企业寿命 [0，x) [x，2x) [2x，3x) [3x，4x] 频率 54% 28% 14% 4% 所以家族企业的平均寿命为0.54×0.5x＋0.28×1.5x＋0.14×2.5x＋0.04×3.5x＝26，解得x≈22. 答案：B 6．小温记录了近6周的周慢走里程(单位：km)数据，从小到大依次为：11，12，m，n，20，27，其中中位数为16，若要使标准差最小，则m＝ （ ） A．14 B．15 C．16 D．17 解析：由中位数为16，可得＝16，所以m＋n＝32，所以这6周的周慢走里程的平均数为(11＋12＋m＋n＋20＋27)＝17.要使这6周的周慢走里程的标准差最小，需要(m－17)2＋(n－17)2最小，又(m－17)2＋(n－17)2＝(m－17)2＋(32－m－17)2＝2m2－64m＋172＋152所以当标准差最小时，m＝－＝16. 答案：C 二、多项选择题 7．已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的标准差s≠0，其平均数＝x3，则下列数据的标准差与s不相等的是 （ ） A．2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6 B．x1－，x2－，x3－，x4－，x5－，x6－ C．x1，x2，x4，x5，x6 D．2x1－，2x2－，2x3－，2x4－，2x5－，2x6－ 解析：因为x1，x2，x3，x4，x5，x6的标准差s≠0，其平均数＝x3，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝6＝6x3.对于A，数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6的标准差为2s，故A符合题意．对于B，数据x1－，x2－，x3－，x4－，x5－，x6－的标准差为s，故B不符合题意．对于C，s2＝＝，数据x1，x2，x4，x5，x6的平均数为＝＝x3＝.设数据x1，x2，x4，x5，x6的标准差为s1，则x1，x2，x4，x5，x6的方差s＝，所以s>s2，则s1>s，故C符合题意．对于D，数据2x1－，2x2－，2x3－，2x4－，2x5－，2x6－的标准差为2s，故D符合题意．故选ACD. 答案：ACD 8．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：h)进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法中正确的有 （ ） A.众数大约为2.5 B.中位数大约为4 C.平均数大约为3.95 D.第80百分位数大约为5.2 解析：根据频率分布表，得高一年级学生每周体育锻炼时长的众数为＝3.5，A项错误；设高一年级学生每周体育锻炼时长的中位数为x，则0.25＋(x－3)×0.30＝0.5，解得x＝，B项错误；高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数约为0.25×2.5＋0.30×3.5＋0.20×4.5＋0.25×5.5＝3.95，C项正确；∵0.25＋0.30＋0.20＋0.05＝0.80，∴高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数大约为5＋＝5.2，D项正确．故选CD. 答案：CD 三、填空题 9．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，采用简单随机抽样的方法从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为，则n＝________． 解析：由题意知，＝，解得n＝100. 答案：100 10．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________． 解析：由平均数是10，得x＋y＝20，由标准差是，得＝，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96. 答案：96 四、解答题 11．某机械厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表所示． 第一车间 第二车间 第三车间 女工人 170 120 y 男工人 180 x z 已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.13.该厂第三车间的男、女比例为3∶2. （1）求x，y，z的值． （2）现用分层随机抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则应在第三车间抽取多少名男工人？ 解：（1）由＝0.13，得x＝130. 因为第一车间的工人数是170＋180＝350， 第二车间的工人数是120＋130＝250， 所以第三车间的工人数是1000－350－250＝400. 所以y＝400×＝160，z＝400×＝240. （2）设应从第三车间抽取m名男工人， 全厂共有男工人180＋130＋240＝550(名)， 则由＝，得m＝24， 所以应在第三车间抽取24名男工人． 12．为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A.1.5小时以上；B.1～1.5小时；C.0.5～1小时；D.0.5小时以下．图①，②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）本次一共调查了多少名学生？ （2）在图①中将B对应的部分补充完整． （3）若该校有3000名学生，请估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？ 解：（1）从题图可知，选A的共60人，占总人数的30%，所以总人数为60÷30%＝200，即本次一共调查了200名学生． （2）被调查的学生中，选B的有200－60－30－10＝100(人)，补充完整的条形统计图如图所示． （3）3000×5%＝150(名)，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下． 13．某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25元/千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，以便做出合理的促销方案．现从果园内随机采摘200个蜜桔进行测重，其质量分别在[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85](单位：克)中，其频率分布直方图如图所示． （1）求m的值； （2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克/个；(同一组的数据以该组区间的中点值为代表) （3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，试问该果园的收益是否会更高？ 解：（1）根据题意得(0.005＋0.010＋m＋0.040＋0.020＋0.010)×10＝1，解得m＝0.015. （2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为30×0.05＋40×0.10＋50×0.15＋60×0.40＋70×0.20＋80×0.10＝59(克/个). （3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为5×59＝295(万克)＝2950(千克). 若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为2950×25＝73750(元). 若低于55克的蜜桔以140元/百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元/百个进行销售，则可获得的收益约为(0.05＋0.10＋0.15)×500×140＋(0.40＋0.20＋0.10)×500×160＝77000(元).因为77000>73750，所以按新方案进行销售，该果园收益会更高． 14．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件). 记这组样本的质量指标值的平均数为，方差为s2. （1）估计和s2(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)； （2）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s为标准差(精确到个位)，an＝5×{}，bn＝5×，n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1)内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 解：（1）由题意可知，平均数＝30×0.06＋40×0.1＋50×0.16＋60×0.3＋70×0.2＋80×0.1＋90×0.08＝61. 方差s2＝(30－61)2×0.06＋(40－61)2×0.1＋(50－61)2×0.16＋(60－61)2×0.3＋(70－61)2×0.2＋(80－61)2×0.1＋(90－61)2×0.08＝241. （2）由s2＝241知，s≈16， 则a1＝5×＝45，b1＝5×＝75，该抽样数据落在[45，75)内的频率约为0.16＋0.3＋0.2＝0.66＝66%>65%， 又a2＝5×＝30，b2＝5×＝90，该抽样数据落在[30，90]内的频率约为1－0.03－0.04＝0.93＝93%<95%， 所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线的技术改造是成功的． 学科网（北京）股份有限公司 $