湖南长沙市望城区第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，以集合、函数、立体几何等为载体，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学抽象、空间观念及运算推理能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、幂函数奇偶性、向量投影、噪声声压级计算|单选基础（如集合元素个数），多选综合（如空间直线平面位置关系）| |填空题|3/15|圆台母线与轴截面面积、函数最值、三角形向量分解|注重空间几何量计算与代数推理结合| |解答题|5/77|解三角形（余弦定理）、三角函数图像变换、正方体线面垂直证明、圆柱圆锥体积比|分层设计，如三角函数题含图像分析与方程根问题，立体几何题融合空间想象与逻辑推理|

望城一中2025-2026-2高一期中考试 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 4．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要且不充分条件 C．充分且不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A．-18 B．-12 C．6 D．12 6．若复数（其中是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 7．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 8．已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 11．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 13．设，则的最小值为_________． 14．如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若， ①求的值： ②求的值. 16．（15分） 函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 17．（15分） 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 18．（17分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． (1)求A； (2)若，求的周长最大值． (3)若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 19．（17分） 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 望城一中2025-2026-2高一期中考试 数学 试卷及参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A B D C AC ACD 题号 11 12（1） 12（2） 13 14 答案 ABD 13 132 4 15．（1）因为，利用正弦定理可得： ， 即. 因为，所以，即， 又，可得. （2）①由余弦定理及已知可得： 即，又因为，所以， 联立或（舍）， ②由正弦定理可知：， 因为，则，故为锐角，， . 16．（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 17．（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 18．（1），即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． （2）因为，，所以， 所以周长 因为，所以 当时，周长取得最大值，此时． （3）设外接圆半径为，则， 且由正弦定理，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，，令， 则， ∵， ∴． 19．（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $