精品解析：青海青铜峡市宁朔中学2026届高三第二次模拟考试数学试题

青铜峡市宁朔中学2026届高三第二次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5．本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. C. -3 D. -5 5. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 6. 已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 当时小球达到最高点 B. 小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向上运动 11. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 的渐近线方程为 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 13. 的展开式中的系数为________． 14. 如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角C； （2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2026届高三第二次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5．本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意得，， 由复数z为纯虚数，得，解得，所以实数a的值为． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程组得到交点坐标，从而得到结果. 【详解】解：，得， ∴ 故选A 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题. 3. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 4. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. C. -3 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 ，其中， 所以的最小值为. 5. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ） A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 6. 已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线，，将直线与抛物线方程联立，得到，，根据列出方程，解得，即可确定直线所过定点. 【详解】显然直线的斜率不为，且不经过坐标原点， 故设直线的方程为，，． 联立方程消去得， 则，所以． 因为，所以，即， 解得， 所以直线的方程为，则直线过定点． 故选：C． 7. 在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量运算求出首项与公差，进而求得其通项，再根据选项代值检验，利用等差（比）数列的定义逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故. 对于A，由通项易得，故A正确； 对于B，因，而，即，故B错误； 对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确； 对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A 当时小球达到最高点 B. 小球在开始振动时的位置离平衡位置的距离为 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向上运动 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB：代入求函数值，结合题意即可判断；对于C：根据正弦型函数的周期性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时小球位于平衡位置，故A错误； 对于选项B：因为， 所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D错误. 11. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 的渐近线方程为 【答案】ABC 【解析】 【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直， 又，则，令，由，得， 对于A，，A正确； 对于B，由，得， 即，解得或（舍去）， 因此的离心率，B正确； 对于 C，由，，得直线的斜率，C正确； 对于D，，得的渐近线方程为，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式中的项为：， 所以的展开式中的系数为. 14. 如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题意可知，； 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； （2）从表中提供幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解； （2）首先列举幻觉率低于2%的AI模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望. 【小问1详解】 14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. 【小问2详解】 幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ， ， ， , 故分布列为 0 1 2 3 故. 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． （1）证明：平面平面． （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）9 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面一个法向量为， 则，令，得，， 所以，取平面的法向量， 所以，解得，故. 【点睛】 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角C； （2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和消去角A，求角C； （2）先利用向量运算及三角形面积公式得到边a，b的关系，再利用余弦定理求边c. 【小问1详解】 由得 ， ， 因为 所以. 【小问2详解】 由已知得， 所以 ， 所以， 所以， 因为的面积为，所以， 即，， 由余弦定理得 ， 所以. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3）证明如下： 函数， 因为为函数的极值点，所以，所以， 要证明不等式：成立，只需证， 令， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以， 当时，因为，所以． 当时，因为，所以，所以， 要证成立，只需证， 即证对成立． 令，因为， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，即时，成立． 综上所述，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求出，然后对分类讨论求解函数的单调区间； （2）由题意得即可求得，得到的解析式．对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为求的最小值，利用导数求解即可； （3）因为为函数的极值点，所以．要证明不等式成立，只需证．令，证得，．分两种情况证明：当时，由即证得结论；当时，得，只需证，即证对成立，构造函数，结合函数的单调性证明即可． 【小问1详解】 ，定义域为， 所以， 当时，，故在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为，曲线在处的切线垂直于直线， 则在处切线的斜率为，即，解得：， 则. 对任意恒成立，即对任意， 即对任意恒成立， 令， ，令，得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ， ，则实数b的最大值． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个，其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得不等式；其三先利用放缩、等量代换等方法做适当的变换后再做差构造函数，利用导数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $