湖南长沙市望城区第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 试卷以导航机器人避障数据、冬奥会体能测试等真实情境为载体，融合集合、函数、立体几何等高二核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、直线与圆位置关系|第3题结合线性回归与百分位数，考查数据分析| |填空题|3/15|概率计算、二项式定理|第14题水沟改造优化，体现数学应用| |解答题|5/77|数列求和、立体几何二面角、椭圆切线|第19题椭圆切线与四边形面积最值，综合考查逻辑推理与运算能力|

望城一中2025-2026-2高二期中考试 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（    ） A．8 B．9 C． D． 4．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 7．双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 8．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列是递增数列 D．数列的前n项积为，则 11．满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知、为随机事件，且，，若，则___________. 13．在的展开式中，项的系数为_____________． 14．下左图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如下右图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为________米（近似到0.01米）时，所挖土最少． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求的值； (3)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值． 16．（15分） 设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 17．（15分）如图，在四棱锥中，. (1)证明:平面平面； (2)若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 18．（17分）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 19．（17分） 已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：恒为定值； （ii）求四边形的面积的最大值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 望城一中2025-2026-2高二期中考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A C D C B AC ABD 题号 11 答案 ABD 15．（1）因为，所以， 令，得，解得 （2）由，得， 则曲线在点处的切线的斜率， 又切线与直线垂直， 所以，解得 （3）由（1）得曲线在点处的切线的斜率， 又，则切点坐标为， 则在点处的切线方程为，即， 由题意也是的切线，设切点坐标为， 则，所以在点处切线的斜率， 解得，则，即切点坐标为， 将切点代入，可得， 解得. 16．（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 17．（1）作，垂足为，连接. 在中，由，解得. ，四边形是平行四边形， ，则，，即. ，又平面，平面. 平面，平面平面. （2），.                         如图2，以为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，， ， 设平面、平面的法向量分别为 ， 由，取，得. 由 ，取，得. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为， 所以， 解得或46 . 当时，，此时为钝角，不符合题意； 当时，，此时为锐角，符合题意， 故. 18．（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 19．（1）由题意知，解得，， 故的方程为. （2）（i）设，， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时直线的方程为，此时； 同理，若直线的斜率不存在，则. 若直线，的斜率都存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由得， 因为直线与椭圆相切， 则， 化简得， 又，所以，代入上式得， 所以，即， 所以，解得（）， 所以直线的方程为，整理得， 设直线的斜率为，直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 设，其中， 则有，，所以直线的方程为， 若,则，直线的方程为，可得， 不妨设，，此时， 故即. 若，由整理得， 所以，， 故 ， 整理得，又， 所以，则，即. 综上可知，恒为定值. （ii）由上可知，直线的方程为， 又，则，， 则点M到直线的距离为， 原点O到直线的距离为， 由上可知，， 则 ， 所以四边形的面积为 ， 所以当时，四边形的面积取得最大值6. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $