湖南长沙市明德中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二年级期中考试数学评分标准 一，单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 题号 4 6 6 7 8 答案 B B D D C D 得分 5 5 5 5 5 5 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB ABD ACD 满分 6 6 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-2 13.36π 14.(5,+0) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， a+2d=3 15.(1)设{an}的公差为d,由题意 4a1+6d=10 2分 a1=1 解得 d=1 4分 故an=a+(n-1)d=n. 5分 (2)由(1)知an=n,则bn=2”an=n2”,故T=2+2.22+3.23+…+n2”, 6分 两边同时乘2，得2Tn=22+2.23+…+(n-1)2”+2+, 8分 上面两式相减得-7.=+2+2+…+2-2_2-2 -2=-(m-）2-2,11分 1-2 所以Tn=(n-1)2++2. 13分 16.(1)抛物线为T:y2=4x,其准线为：x=-1,焦点为：F(1,0), 2分 P(x,y)为T上一点，由抛物线定义得：点P到准线的距离和点P到焦点距离相等， 所以PF=x。+1,若y。=2,则=1，此时PF=1+1=2. 6分 高二年级期中数学试卷答案第1页，共5页 x=ty+2 (2)不妨设直线方程为：x=ty+2,则 y=4,解得：y-40-8=0. 7分 设A(x,),B(x,y2),且y1>0,则由韦达定理得y1+y2=41,y1y2=-8, 9分 所以x+5=0+%)+4=42+4,5=2=4, 10分 16 由题意得：FA=(x-1,),FB=(x3-1,y2), 所以FA·FB=(x-1)×(x3-1)+yy2=xx2-(:+七)+1+yy F M =4-（412+4)+1-8=-15,解得：t2=2,所以t=±√2， VB 13分 因此1的方程为：x-√2y-2=0或x+√2y-2=0, 15分 17. (2) 60 X 0 1 2 3 15 15 5 56 56 28 28 E(X)= 15 8 (3)数学期望为8，方差为7. 【详解】(1)设事件A=“抽取1名学生，该学生数学及格”，则A=“抽取1名学生，该学生 数学不及格”，设事件B=“抽取1名学生，该学生物理成绩达到及格等级”， 由全概率公式，知P(B)=P(0P(B)+P(A)P(a司)=3×4+x{4 454360 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生物理成绩达到及格”等级的概率为 60 4分 (2)X的可能取值为0,1,2,3， 5分 x=-瓷6X=瓷-x=2-号- C828 -月等京 7分 所以X的分布列为 高二年级期中数学试卷答案第2页，共5页 0 2 3 15 15 5 P 56 56 28 28 88:9分 随机变量X服从超几何分布，且N=8,M=5,m=3,所以E(X)=3×5-15 (3)由题意得u=65,6=12, PZ≥7)）=P(Z≥L+o)≈2x1-0.6827)=0.15865, 11分 Y~B(50,0.15865),E(Y)=50×0.15865=7.9325≈8， D(Y)=50×0.15865×0.84135≈7， 所以Y的数学期望为8，方差为7. 15分 18.(1)证明：取BE的中点为0，连接OA,OC,OD, 1分 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE,且ED=DC=CB=1, 可得0C=0D=1,且A0=√5， 因为AC=2,所以A02+0C2=AC2,所以A0LOC, 4分 又由△ABE正三角形性质，可得BE⊥AO, 因为OC∩BE=O,且OC,BEc平面BCDE,所以AO⊥平面BCDE, 6分 又因为AOC平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCDE. 7分 (2)解：取CD的中点F,连接OF, 因为四边形BCDE为等腰梯形，且O为BE的中点，所以OF⊥BE, 又因为AO⊥平面BCDE, 9分 2 以0为坐标原点，OB,OF,OA所在的直线分别为xy,z轴建立空间直角坐标系，A, 所以ac-39月c=ta.A6-a 12分 B 高二年级期中数学试卷答案第3页，共5页 设平面4cD的法向造为%=a,则4C-t。-c=0 2 2 n·DC=a=0 取c=1,可得a=0,b=2,所以=(0,2,1)， 15分 m·AB 设直线AB与平面A,CD夹角为0，则sin0 5 5 AB 2x5 10 所以直线AB与平面ACD夹角的正弦值为V西 17分 10 x-In(1-x) 19.(1)f()的定义域为（←m,0u(0,,f()求导有f()= 3分 x2 令o()-h-xe(m.00叨，则(=1】 x-1 x--1x-,5分 当x<0时，p'(x)>0,p(x)在(-∽，0)上单调递增， 当0<x<1时，p'(x)<0,p(x)在(0,1)上单调递减， 7分 所以p(x)<p(0)=0,则有'(x)<0,所以f(x)在(-∞，0)，(0，)单调递减： 8分 （2)当0<x<1时.f()2r-1等价于n1-)s2ax2-x, 即n(l-x)2r+x≤0， 10分 令t=h-小210se小.则e1as1- ①若a≥-1，则g'(x)<0,g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)<g(0)=0,满足题意： 12分 ②若a<-1,令g()=0,得=1+1∈(0,1)， 当x∈(0，x)时，g'(x)>0,g(x)在(0，x)单调递增， 当x∈(，)时，g'(x)<0,g(x)在(x,1)单调递减， 15分 高二年级期中数学试卷答案第4页，共5页 专a=-ta:o=日这号2 -<0,h(a)是减 函数，又h(-1)=0,所以g(x)>0,与条件矛盾，综上，所以a≥-1. 17分 高二年级期中数学试卷答案第5页，共5页.Da0中3 明德中学2026年上学期期中考试 ,01的，8别 价动10 3，)0行 高二年级数学试卷 2026年5月 时量：120分钟满分：150分命题：潭煜琼审定：王利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合M=01,23,4,N={x2<3<64,则MnN=118() A.0,12,3)9B.02,3y1 c.L3引 D.12 2.已知复数z满足zi=1+i,则z的共轭复数为 () A.1+i B.1-i c.-1-i D.-1+i 3.在数列{a,}中，4=2，an-1-ueN),则a,的值为 () a. B.2 c.-1 D 4,若直线x-网-5=0与直线x-y-1=0垂直，则这两条直线的交点坐标为 () A.(-3,4) B.(-3,4) c.(3,-2) -D.(a2) 中(x八宽丽设5Q 5.函数f(x)=cos2x-2sinr+1的值域是 () :州测单的L艾 A.-32] B.[山，3 c.【-2,3] D. 2 >0 6.一组不全相等的数据无，为。，x的平均数为x=为，方差为：设新数据名，五，，x 的平均数为罗，方差为，则 () A.> B.y> C.> D.> 2,xs-1 ?.已知函数儿){-2+2r+L>-则不等式f水1的解集为 () A.(-0,-l) B.(2,+o) c.(-o,0U(2,+o)D.(-l,0U(2,+o) 8.如图，三棱柱ABC-A48G中，点E,F,G,H分别为BB,CC,A码，4G的中点， 则下列说法错误的是 A.E,F,G,H四点共面 B.BB与FH是异面直线 C.∠EGH=∠FHGD.EG,FH,M三线共点 高二年级期中数学试卷第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小愿6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数问)-+“，则下列说法正确的是 () 3 A.若f(x)是偶函数，则a=1 B.若f(x)是奇函数，则a=-l C.若f()>0,则a的取值范围为(0，+o)D.f()的最小值为2a 10.已知(x+=4+4(x-1)+a(x-2++a,(x-l,则 () A.46=32 B.4+a+…+a=211 C.a,=-1 D.4+a+a5=121 11.下列说法正确的是 () 人器器9 2 为B.若m2A+sim2B>si2C,则vBC是锐角三角形 小产海平中型 :上C,在yLBC中，若ocoM=bco,则V1BC是等腰三角形或直角三角形 2D.si血40(anl0°-5)=-1 率园常然“途归坚除，中色架的灯可 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分. 年中是及，门意字5为时什 12已知定义在R上的奇函数()满足f3-x)=f(x),且当xe(0,刂时，f(x)=3+1, 壁雕笔婆保慎访公油头要是人苗登夏中主举器无出京达 则f(2026= 口一（钟1,2动）M亦公流从5农要守述学为甘楚 13.正三棱锥P-ABC中，MB=35,侧棱PC=3互，则三棱锥P-ABC的外接球体积 是等常动人含四黑岸) 为 14.设函数f()是定义在(0，可)上的可导函数，其导函数为()，2f(因)+矿（国）>0， 并且/0=l,则不等式(-4f在≠4)>1的解集为20(oc4之0闪 四、解答通：本题共5小题，共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知数列{a,}是等差数列，{a,}的前n项和记为S.,马，=3，S。=10。 ()求{a,}的通项公式： (2)冷b=2”a,记b的前n项和为工，求工 高二年级期中数学试卷第2页共4页 16。记抛物线「：y=4红的焦点为R.《1头的银左严 ()没P(%)为r上一点.用含名的代数式表示PF列，并求当%=2时PF的值： (2)过点M(2,0)的直线1与Γ相交于A,B两点，满足F历=-15，求1的方程. 5达0小是)九.G(+0小线学消要9<月 恢，0-)0+4-)，+1n+。111心0 1￥++0+日 +山 iSI=+a 1 甚准微五包才 "sno-1 吃cnet+I 17.明德中学数理研究小分队调查学生物理成绩与数学成绩的关联，得到如下数据：在一次 高一年级测试放据中，年级有的学生数学及格，这些学生中物理皮绩及格的凝率为： 数学不及格的学生中，物理成绩“及格”的概率为。小母酸小共面去 空， ()诺从该年级任意抽取一名学生，求该学生物理成绩达到“及格”等级的概率： (2)已知该小分队高一的8名学生中有5名物理成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记x 为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望： (3)经统计，本次学生物理得分Z近似服从正态分布N(65,144),若得分Z≥77则为“优秀” 等级现从年级抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差 (结果四舍五入保留整数)， 参考数据：若随机变量5服从正态分布N(u,o),则P4-口555+0）)=0.6827， Pu-2a555u+2o)=0.9545,P4-3如≤55+30)0,973不1-d1 脂是实野证，照甲女出血含豫代灯其要小己共租本：器举滚，四 1=7,,Cea之rn的，5}贤意是r3之 达知的{) 1男下游hdu8=0(门 高二年级期中数学试卷第3页共4页 18.如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形：其中BE1/CD, ED=DC=CB=1,现在沿着E把aABE折起到△A4BE的位置，连接AC,AD,且使得 4C=2,如图2所示. O求证：平面4 BE L BCDE:小金金0小大代 代8 (②)求直线AB与平面ACD夹角的正弦值. E 图1山 图2 大端这据共弹：银，+1生行显地后 il-.a 11-0 1-10 t-6 试好的n物nn上-。，c=中消 99 84 式京坐点父的岩的装两丝假，直盖0=1-《-无处消已0=无-四一火： .- -),3 e-上）日 什-)A 氨抛的1+i-C0=红)八安面 ()讨论f(〾)在其定义域上的单调性： Bda - 2)当0<x<1时，若f()≤号匹-1，求实数口的取值范围， 太2=式速以平馆兴x江卧达地彩全不雅一3 提，色长装式可达题以增 主<灭，8 <1A 2<2.a <5 1-23,S=小成 比求形0小x不限·上<￥+5+- (0.-）,1(+)U0心）3 必P,PD,8器式代食，33热中)人时8 5州%快？过 地a四用0 商h1888 1)148a18=H0N3 高二年级期中数学试卷第4页共4页