湖南长沙市明德中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

明德中学2026年上学期期中考试 高二年级数学试卷 2026年5月 时量：120分钟 满分：150分 命题：谭煜琼 审定：王利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，，则MN＝ （ ） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{1，2} 2．已知复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数为（ ） A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 3．在数列中，，则的值为（ ） A． B．2 C．－1 D． 4．若直线x－my－5＝0与直线x－y－1＝0垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A．（－3，4） B．（－3，－4） C．（3，－2） D．（3，2） 5．函数f（x）＝的值域是（ ） A．[－3，2] B．[1，3] C．[－2，3] D． 6．一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜1的解集为（ ） A．（－，－1） B．（2，＋） C．（－，0）（2，＋） D．（－1，0）（2，＋） 8．如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A．E，F，G，H四点共面 B．与FH是异面直线 C．∠EGH＝∠FHG D．EG，FH，三线共点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（ ） A．若f（x）是偶函数，则a＝1 B．若f（x）是奇函数，则a＝－1 C．若f（x）＞0，则a的取值范围为（0，＋） D．f（x）的最小值为 10．已知，则（ ） A．＝32 B． C．＝－1 D．＝121 11．下列说法正确的是（ ） A． B．若，则△ABC是锐角三角形 C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知定义在上的奇函数f（x）满足f（3－x）＝f（x），且当x（0，1]时，f（x）＝，则f（2026）＝______． 13．正三棱锥P－ABC中，，侧棱，则三棱锥P－ABC的外接球体积为______． 14．设函数f（x）是定义在（0，＋）上的可导函数，其导函数为f'（x），2f（x）＋xf'（x）＞0，并且f（1）＝1，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列是等差数列，的前n项和记为，． （1）求的通项公式； （2）令，记的前n项和为，求． 16．记抛物线：的焦点为F． （1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值； （2）过点M（2，0）的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程． 17．明德中学数理研究小分队调查学生物理成绩与数学成绩的关联，得到如下数据：在一次高一年级测试数据中，年级有的学生数学及格，这些学生中物理成绩“及格”的概率为；数学不及格的学生中，物理成绩“及格”的概率为． （1）若从该年级任意抽取一名学生，求该学生物理成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该小分队高一的8名学生中有5名物理成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望； （3）经统计，本次学生物理得分Z近似服从正态分布N（65，144），若得分Z≥77则为“优秀”等级．现从年级抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． 18．如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 19．已知函数f（x）＝． （1）讨论f（x）在其定义域上的单调性； （2）当0＜x＜1时，若f（x）≤，求实数a的取值范围． 高二年级期中考试数学评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D D C D C 得分 5 5 5 5 5 5 5 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB ABD ACD 满分 6 6 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．－2 13．36π 14．（5，＋） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）设的公差为d，由题意， 解得，故． （2）由（1）知＝n，则，故， 两边同时乘2，得， 上面两式相减得， 所以． 16．（1）抛物线为，其准线为：x＝－1，焦点为：F（1，0）， 为上一点，由抛物线定义得：点P到准线的距离和点P到焦点距离相等， 所以，若＝2，则＝1，此时＝1＋1＝2． （2）不妨设直线方程为：X＝ty＋2，则， 解得：，设，且＞0， 则由韦达定理得， 所以， 由题意得：， 所以， 解得：，所以t＝±，因此l的方程为：或． 17．（1） （2） X 0 1 2 3 P E（X）＝． （3）数学期望为8，方差为7． 【详解】（1）设事件A＝“抽取1名学生，该学生数学及格”， 则＝“抽取1名学生，该学生数学不及格”， 设事件B＝“抽取1名学生，该学生物理成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生物理成绩达到“及格”等级的概率为； （2）X的可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝，P（X＝1）＝ P（X＝2）＝，P（X＝3）＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X服从超几何分布，且N＝8，M＝5，n＝3，所以E（X）＝； （3）由题意得， ， Y~B（50，0.15865），E（Y）＝50×0.15865＝7.9325≈8， D（Y）＝50×0.15865×0.84135≈7，所以Y的数学期望为8，方差为7． 18．（1）证明：取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． （2）解：取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，B（1，0，0），， 所以＝（1，0，0）， 设平面的法向量为＝（a，b，c），则， 取c＝1，可得a＝0，b＝2，所以， 设直线与平面夹角为，则 所以直线B与平面夹角的正弦值为． 19．（1）f（x）的定义域为，f（x）求导有， 令，则， 当x＜0时，＞0，在（－，0）上单调递增， 当0＜x＜1时，＜0，在（0，1）上单调递减， 所以＜＝0，则有＜0，所以f（x）在（－，0），（0，1）单调递减； （2）当0＜x＜1时，f（x）≤等价于， 即，令g（x）＝（0＜x＜1）， 则， ①若a≥－1，则＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，所以g（x）＜g（0）＝0，满足题意； ②若a＜－1，令＝0，得（0，1）， 当时，＞0，g（x）在单调递增， 当时，＜0，g（x）在单调递减， 所以， 令h（a）＝（a＜－1），， h（a）是减函数，又h（－1）＝0，所以g（）＞0，与条件矛盾，综上，所以a≥－1． 学科网（北京）股份有限公司 $