湖南长沙市望城区第一中学2026届高三考前模拟考试（二）数学试卷

**基本信息** 融合脑机接口技术、巴黎奥运会艺术体操等真实情境，梯度设计覆盖集合、函数、概率等高频考点，注重数学建模与逻辑推理素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、向量、概率等|第8题以独立事件概率考查逻辑推理，第11题结合艺术体操花瓣图案考查抛物线旋转| |填空题|3题/15分|导数切线、向量投影、球内接三棱锥|第14题动态探究平面夹角最值，体现空间观念| |解答题|5题/77分|统计独立性检验、立体几何、解三角形、函数零点、椭圆综合|第15题脑机接口数据检验考查数据分析，第19题椭圆综合题结合四边形面积求解，对接高考命题趋势|

保密★启用前 望城一中2026届高三年级考前模拟考试（二） 科目：数学 望城一中数学组 2026.5.11 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A．2 B． C． D． 3．设向量， 满足 ，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．若直线与圆相切，则m的值为（    ） A．21或 B．或15 C．5或 D．或1 5．已知函数的图象是由曲线上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移个单位长度后所得，则（   ） A．-1 B． C． D．1 6．已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 8．已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（    ）、 A．甲从M到达N处的方法有15种 B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为 11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（      ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积小于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则曲线在点处的切线方程为______． 13．已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．在直三棱柱中，，，，，， (1)若平面，求的值； (2)若二面角与二面角的大小相等，求的值． 17．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求A. (2)已知. （i）若的面积为，求c； （ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值. 18．已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； (3)当时，有三个不同零点，求的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 望城一中2026届高三年级考前模拟考试（二） 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B D A C C BCD ACD 题号 11 12 13 14 答案 AB 15．（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率， 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即； （2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关． 16．（1）连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 又是的中点，故是的中点，. （2）因为二面角与二面角的大小相等， 所以二面角是二面角的大小的一半， 法一：几何法 过点在平面内作，垂足为，连接、， ，，，、平面， 平面， 平面，， 又，，、平面，平面， 又、平面，，， 二面角和二面角的平面角分别为、， 分别记作和，则为锐角，且， 因为，，，故， 所以，， 即，解得， 又，解得，所以． 法二：空间向量法 在直三棱柱中，平面，， 以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面的一个法向量分别为、， 设二面角与二面角的平面角分别为、，且， 则，取，可得， ，取，可得 则，， 由，即，因为，解得. 17．（1）由，可得：，所以. 因为，所以，则，解得. （2）（i）根据三角形面积公式，可得，即，得. 再根据余弦定理，可得，即. 由可得，代入得，即， 解得，则. （ii），且，点Q是的中点， 在中，由余弦定理，可得， 即， 如图，在中，设，则，，， 令，则代入得， 解得，代入， 设，， 则，令解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，，又， 故的最小值为. 18．(1）由函数，可得， 则，所以， 因为在处的切线方程为， 可得，解得， 将代入切线方程，可得， 即，解得，所以. （2）当时，， 因为函数的图像象开口向上，对称轴为，所以， 又因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，可得， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. （3）当时，可得， 因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根， 即与的图象有三个交点， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由，且时，；时，， 因为与的图象有三个交点，所以， 所以实数的取值范围为. 19．（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； （2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，，的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $