期末考前满分冲刺之优质压轴题 -2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、杨辉三角与正确结论的是（选、填） 1．已知关于的方程组，下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③无论取何值时，的值不可能互为相反数；④都为非负整数的解有3对．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 3．“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 4．已知关于x，y的方程组，则下列结论中：①时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，；③若则z存在最小值为；④若，则；⑤不存在一个实数a使得，正确的是________． 5．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图所示数表，人们称这个图表为“杨辉三角”，这个数表给出了（n为非负整数）的展开式的系数规律． （n为非负整数）展开式的每一项按照字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它的展开式只有一项，系数为1； ，它的展开式有两项，系数分别为1，1； ，它的展开式有三项，系数分别为1，2，1； ，它的展开式有四项，系数分别为1，3，3，1； 观察杨辉三角和上面的等式，你会发现其中的规律，根据规律就可得出的展开式有______项，其中的系数为_______． 6．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，则多项式展开式第三项系数是______． 类型二、阴影面积与最值问题（选、填） 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 2．将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示放入长方形中，，．若两个正方形的重叠部分长方形的边长为1，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．阴影部分的周长为36 D．阴影部分的面积为 3．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 4．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 5．已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为_______ 6．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 类型三、二元一次方程组与不等式组结合（选、填、解） 1．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 4．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 5．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 6．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 类型四、图形的折叠（选、填、解） 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 4．把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 5．【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 6．数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点分别在边上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边上． (2)设，的交点为，请求出的度数． (3)折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 类型五、乘法公式的几何应用（选、填、解） 1．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载、如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为36，且，则的长为（    ） A．13 B．17 C．19 D．21 3．两个边长分别为a和b（）的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a的大正方形的右下角摆放一个边长为b（）的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是_____． 4．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 5．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 6．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 (1)观察图1，选取1张面积为，2张面积为，______张面积为的卡片，拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a、b的式子表示为______ (2)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算____________； (3)【应用】根据图②所得的公式，若，，求的值； (4)若x满足，求的值； (5)【拓展】如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 类型六、整除问题（解） 1．求证：N＝能被13整除． 2．认真观察下面的算式，结合你发现的规律，完成下面的问题． 算式①   算式②   算式③   算式④   …… (1)请写出：算式⑤______，算式⑥______ (2)上述算式的规律可以用以下文字概括：两个连续奇数的平方差能被8整除．设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的； (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． 3．阅读下列材料解决问题： 材料：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是的倍数，则这个数能被整除． (1)任意一个五位自然数的末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是的倍数，证明这个五位数一定能被整除； (2)一个五位自然数，它的末三位为，末三位以前的数为（其中，且、都为整数）交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被整除，规定：，求的最大值． 4．已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 5．对于一个自然数M，将其各数位上的数字相加得到一个数，这一过程称为一次操作，把得到的数再进行同样的操作，最终得到一个一位数N．若N能被5整除，我们称M是“五行数”． 例如：，5能被5整除，所以698是“五行数” ，1不能被5整除，所以235不是“五行数” (1)请判断357和27698是否是“五行数”？并说明理由； (2)若一个三位“五行数”（，a、b是整数），请求出所有符合条件的三位自然数M． 6．如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“幸福数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位自然数N．规定．例如：，∵，，∴2344是“幸福数”，则． (1)请写出最大“幸福数”______，并求出其对应的值； (2)已知是“幸福数”，（，且a，b，c，d均为整数），若恰好能被8整除，请求出所有满足题意的S的值． 类型七、平行线中的数量关系、取值范围、平行求t（解） 1．问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 2．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 3．已知，在中，，，，是射线，上的点，连接．分别过，作，外角的角平分线相交于点． (1)如图1，点，在线段，延长线上，若，求． (2)如图2，点在线段延长线上，点在线段上，与相交于点．若，求． (3)如图3，点在线段上运动（不与，重合），点在线段的延长线上运动，请直接写出的取值范围． 4．钱塘江汛期来临时，防汛指挥部在某危险地带两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯每秒转动，灯每秒转动，且，满足．假设这一带钱塘江两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值； (2)若灯射线先转动30s，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，当灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图②，两灯同时转动，在灯射线到达之前，灯，灯射出的光束交于点，过点作于点，交于点．在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 5．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求，的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒（）． ①在旋转过程中，若边，求值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出时的值． 6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒．忽略光线的粗细，并假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1)若两灯同时转动90秒，此时两灯发出的光线所在直线的位置关系是________；（填“平行”或“垂直”或“相交”） (2)设灯A转动t秒，请用含t的式子表示以下的角： 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； (3)若灯B先转动20秒，灯A才开始转动，在灯B发出的光线第一次到达之前，灯A转动几秒时，两灯光线所在直线互相平行？ (4)如图，若两灯同时开始转动，在灯A发出的光线第一次到达之前．其发出的光线与灯B发出的光线交于点C，过C作交于点D．探究在转动过程中，与始终满足怎样的等量关系，请直接写出结论． 类型八、飞镖模型（解） 1．阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务： (1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 3．【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 4．探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 6．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题． 我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数． ②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）． ③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   类型九、新定义应用（解） 1．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 2．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 3．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 4．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 5．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“风不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“风不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“风不等式”是___________（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“风不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“风不等式”，求a的取值范围． 6．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 类型十、三角形的内角和和与角平分线结合（解） 1．综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 2．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 3．如图，点，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上移动． 【探究发现】 如图①，是的外角的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）若，则__________． （2）的度数会随着点，的移动而发生变化吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，求的度数． 4．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 5．已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 6．【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、杨辉三角与正确结论的是（选、填） 1．已知关于的方程组，下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③无论取何值时，的值不可能互为相反数；④都为非负整数的解有3对．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组解的情况求参数，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．先解方程组，再根据解的情况分别讨论即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解集为， 当时，方程组的解为，此时，①结论正确； 若，则，解得：，②结论错误； ，即无论取何值时，的值不可能互为相反数，③结论正确； 都为非负整数，则的可能取值为、、，解有3对，④结论正确， 故选：C． 2．已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时， 解得， 将代入， 故①错误； ② 得， 当时，， 故②正确； ③ 得 解得， 故③错误； ④ 得 得， 不论取什么数，的值为1始终不变 故④正确； 故选：C． 3．“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与的积，即， 故结论①错误； 当时，， 故结论②正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2026，因此除以2026，余数为，即2025． 故结论④正确； 4．已知关于x，y的方程组，则下列结论中：①时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，；③若则z存在最小值为；④若，则；⑤不存在一个实数a使得，正确的是________． 【答案】②③⑤ 【分析】先解方程组，用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件分别代入求解． 【详解】解：， ①-②×3得：y=15-a③， 把③代入②得：x=25-a． ①a=1时，x=24，不符合题意． ②x，y的值互为相反数时15-a+25-a=0，解得a=20，符合题意． ③z=（x-20）y=（25-a-20）（15-a）=a2-20a+75=（a-10）2-25， 当a=10时，z有最小值-25，符合题意． ④若22a-3y=27，则2a-3y=7，即2a-3（15-a）=7，解得a=，不符题意． ⑤解方程15-a=25-a，无解，符合题意． 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的计算方法． 5．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图所示数表，人们称这个图表为“杨辉三角”，这个数表给出了（n为非负整数）的展开式的系数规律． （n为非负整数）展开式的每一项按照字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它的展开式只有一项，系数为1； ，它的展开式有两项，系数分别为1，1； ，它的展开式有三项，系数分别为1，2，1； ，它的展开式有四项，系数分别为1，3，3，1； 观察杨辉三角和上面的等式，你会发现其中的规律，根据规律就可得出的展开式有______项，其中的系数为_______． 【答案】 6 10 【分析】根据题意观察展开式的项数与的关系，以及杨辉三角中系数的递推规律，即可求出 的项数及特定项的系数． 【详解】解：由题意可知， 的展开式有项 当 时，展开式的项数为； 根据杨辉三角的规律，下一行中间的系数等于上一行相邻两数系数之和 那么 的系数分别为， 则 的系数分别为 ，即 所以 所以其中的系数为． 6．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，则多项式展开式第三项系数是______． 【答案】15 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据图2右侧的系数表得到的第三项的系数为，的第三项的系数为依次类推，得到，进而求出展开式第三项的系数即可． 【详解】解：由图可知：的第三项的系数为， 的第三项的系数为 依次类推， 则：， ∴； 故答案为：15． 类型二、阴影面积与最值问题（选、填） 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，利用数形结合的思想是解题关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①正确； ②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为，阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ④∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为，阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上可知正确的为①③④． 故选D． 2．将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示放入长方形中，，．若两个正方形的重叠部分长方形的边长为1，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．阴影部分的周长为36 D．阴影部分的面积为 【答案】D 【分析】此题考查整式的混合运算与图形面积、列代数式和解方程组等知识．根据题意得到，即可求出，利用线段的和差关系即可求出，由平移可知阴影部分的周长，阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形和正方形的面积加上2倍的长方形的面积． 【详解】解：由题意可得， ①－②得，， 解得， 故A选项正确； ∵， 故选项B正确； 由平移可知阴影部分的周长为：， 故选项C正确； 阴影部分面积为， 故选项D错误， 故选：D 3．已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】利用消元法把m， n ，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【详解】解：根据题意，得， 将③代入①，得 ，化简得 ， 将代入②，得 ， 解得 ， 将代入③，得 ， 代入， 得， ∵q为负整数， ∴，且q为整数， ∴当q取最大负整数时，取得最小值， ∴最小值为：． 4．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 5．已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为_______ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围． 首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 6．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三、二元一次方程组与不等式组结合（选、填、解） 1．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 2．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 3．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 4．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 5．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 6．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 类型四、图形的折叠（选、填、解） 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠得出，，推出与之间的关系，再结合列式计算即可． 【详解】解：由折叠可知，， ． 由折叠可知，， ． ， ， 解得． 2．如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，根据经过三次折叠是的好角，所以第三次折叠的，由，，又，，，由此即可求得结果，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点． 【详解】解：在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，则是的好角． 理由如下：根据折叠的性质知，，，， 根据三角形的外角定理知，； 根据四边形的外角定理知，， 根据三角形的内角和定理知，， ； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 故若经过次折叠是的好角，则与（不妨设之间的等量关系为， 最小角是是的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为， （其中、都是正整数）． 由题意，得，所以． 因为、都是正整数，所以与是11的整数因子， 因此有：， ； 所以，； 所以， ； 所以该三角形的另外两个角的度数分别为：； 故选：B． 3．图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：如图， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， .....， ∴； 故答案为：． 4．把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果即可． 【详解】解：由折叠得，, ∵， ∴， ∵恰好是的三等分线， ∴分两种情况： 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或 5．【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 【答案】（1），（2）①②（3）80 【分析】本题考查折叠的应用，平行线的应用，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，得到，推导出，则； （2）①先求出，推导出，则，即可解答； ②设，得到，推导出，则，进而推导出，，由，得到，求出x的值即可； (3)先求出，，，按此规律，得到，推导出，由，得到，即，求出x的值即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图1， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ②设，如图2， 有 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图3， 有， ∴， 如图4， 有， ∴， 由题意，， 即， 解得 ∴． (3)如图6， 有， 如图7， 有 ∴， 同理可得 ， 按此规律，， 如图8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 6．数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点分别在边上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边上． (2)设，的交点为，请求出的度数． (3)折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，尺规作角平分线，解题的关键是掌握以上知识点． （1）作，的角平分线即可． （2）根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （3）延长，交于T，作的角平分线即可． 【详解】（1）解：作，的角平分线， 如图所示、即为所求： （2）解：如（1）图所示， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴； ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （3）解：延长，交于T，作的角平分线， 如图所示即为所求： 类型五、乘法公式的几何应用（选、填、解） 1．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载、如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为36，且，则的长为（    ） A．13 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】根据题意图形的特点可知阴影部分为正方形，并表示出正方形的边长，再根据阴影部分的面积为36，且，找到边长的关系即可求解． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 由图可得，，即阴影部分为正方形， ∴ ∵阴影部分的面积为36， ∴， ∴ ∴，即的长为． 3．两个边长分别为a和b（）的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a的大正方形的右下角摆放一个边长为b（）的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是_____． 【答案】172 【分析】根据图形可知为大正方形面积减去小正方形面积，为两个边长为的小正方形重叠部分的面积，分别表示出和，代入进行化简，最后利用完全平方公式变形代入求值即可． 【详解】解：由图1可得：， 由图2可得，两个边长为的正方形重叠部分为边长是的正方形， ， ， ， 原式 ， ， 原式 ． 4．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 5．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 6．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 (1)观察图1，选取1张面积为，2张面积为，______张面积为的卡片，拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a、b的式子表示为______ (2)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算____________； (3)【应用】根据图②所得的公式，若，，求的值； (4)若x满足，求的值； (5)【拓展】如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】(1)1， (2) (3)41 (4)3 (5) 【分析】（1）观察图1，即可得出答案； （2）根据图中阴影部分面积可以用边长为大正方形的面积减去2个长方形的面积表示，也可以表示为边长为的正方形面积和，即可得出答案； （3）结合（2）可得； （4）不妨设，那么，结合（2）可得； （5）不妨设，那么 ，，结合即可得出答案． 【详解】（1）解：观察图1，可知面积为的卡片有1张，这个正方形的边长为； （2）解：∵图中阴影部分面积可以用边长为大正方形的面积减去2个长方形的面积表示，也可以表示为边长为的正方形面积和， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解： 不妨设， ∴，， ∴， ∴； （5）解：不妨设， ∵，，，经测量种花区域的面积和为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴种草区域的面积和是5.5． 类型六、整除问题（解） 1．求证：N＝能被13整除． 【答案】见解析 【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则将原式变形为，即可证明． 【详解】证明： ， ∵是整数， ∴N＝能被13整除． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项等知识，难度适中，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键． 2．认真观察下面的算式，结合你发现的规律，完成下面的问题． 算式①   算式②   算式③   算式④   …… (1)请写出：算式⑤______，算式⑥______ (2)上述算式的规律可以用以下文字概括：两个连续奇数的平方差能被8整除．设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的； (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)说法不成立，反例见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、数字类规律探索，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子规律写出算式⑤、算式⑥即可； （2）利用平方差公式可得，即可得解； （3）设两个连续偶数分别为和（n为整数），利用平方差公式可得，即可得出结论，再写出反例即可． 【详解】（1）解：由题意可得：算式⑤，算式⑥； 故答案为：；； （2）解：， 故两个连续奇数的平方差能被8整除； （3）解：说法不成立， 设两个连续偶数分别为和（n为整数）， ， 故两个连续偶数的平方差不能被8整除， 反例为：． 3．阅读下列材料解决问题： 材料：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是的倍数，则这个数能被整除． (1)任意一个五位自然数的末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是的倍数，证明这个五位数一定能被整除； (2)一个五位自然数，它的末三位为，末三位以前的数为（其中，且、都为整数）交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被整除，规定：，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)332 【分析】（1）根据题意设出任意五位数的末三位为，末三位以前的数为，并表示出它们之间的关系，然后表示出这个五位数，整理化简即可证明； （2）根据题意表示出交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数，根据这个新数能被整除分情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：设任意五位数的末三位为，末三位以前的数为，则这个五位数为， 由题意可令为整数． ， 这个五位数一定能被整除； （2）解：当时，． 交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得末三位新数为， －+． ，，且，都为整数， ． 又，，且，都为整数， ∴或或， 这个五位数34762，56682，78692． 当时， ∴ ∴ 同理： k(56682)=122， k(78692)=88， ∵88<122<332 ∴k(G)的最大值332． 【点睛】本题属于新定义题型，理解新定义概念，掌握数的整除的特征，进行分类讨论是解题的关键． 4．已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三位数的表示方法以及整除的性质： （1）根据题意可得该三位数为，从而得到，即可解答； （2）根据题意可得，从而得到，即可解答； （3）根据题意可得为奇数，从而得到n为奇数，可设，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴该三位数为， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴可以被3整除； （3）解：根据题意得：， ∵为奇数， ∴为奇数， ∴n为奇数， ∴可设，其中m为正整数， ∴， ∴， ∴k除以3的余数为1． 5．对于一个自然数M，将其各数位上的数字相加得到一个数，这一过程称为一次操作，把得到的数再进行同样的操作，最终得到一个一位数N．若N能被5整除，我们称M是“五行数”． 例如：，5能被5整除，所以698是“五行数” ，1不能被5整除，所以235不是“五行数” (1)请判断357和27698是否是“五行数”？并说明理由； (2)若一个三位“五行数”（，a、b是整数），请求出所有符合条件的三位自然数M． 【答案】(1)357不是“五行数”，27698是“五行数”； (2)所有符合条件的三位自然数M有：194或199或293或298或397或496 或599或698． 【分析】（1）根据新定义进行解答便可； （2）对三位“五行数”M＝100a＋91＋b（1≤a≤b≤8，a、b是整数），进行第一次操作得a＋b＋10，根据取值范围12≤a＋b＋10≤26，分两种情况：当12≤a＋b＋10≤19时；当19＜a＋b＋10≤26时．分别进行第二次操作得出a、b的代数式，再根据这个代数式能被5整数列出二元一次方程，求得a、b的整数值，便可求得结果． 【详解】（1）解： 357不是“五行数”，27698是“五行数”．理由如下： ∵357→3＋5＋7＝15→1＋5＝6，6不能被5整除， ∴357不是“五行数”， ∵27698→2＋7＋6＋9＋8＝32→3＋2＝5，5能被5整除， ∴27698是“五行数”； （2）∵三位“五行数”M＝100a＋91＋b（1≤a≤b≤8，a、b是整数）， ∴M＝100a＋91＋b→a＋9＋b＋1＝a＋b＋10， ∵12≤a＋b＋10≤26， ∴当12≤a＋b＋10≤19时，a＋b＋10→1＋a＋b＝5或10， ∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝2或a＝1，b＝8或a＝2，b＝7或a＝3，b＝6或a＝4，b＝5， ∴M＝194或293或199或298或397或496； 当19＜a＋b＋10≤26时，a＋b＋10→2＋a＋b−10＝a＋b−8＝5， ∴a＝5，b＝8或a＝6，b＝7， ∴M＝599或698， 综上，所有符合条件的三位自然数M有：194或199或293或298或397或496 或599或698． 【点睛】本题主要考查了新定义，整除的性质，不定方程的应用，关键是读懂定义，应用整除的性质列出二元一次方程． 6．如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“幸福数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位自然数N．规定．例如：，∵，，∴2344是“幸福数”，则． (1)请写出最大“幸福数”______，并求出其对应的值； (2)已知是“幸福数”，（，且a，b，c，d均为整数），若恰好能被8整除，请求出所有满足题意的S的值． 【答案】(1)4171；30 (2)1462或2371或4117 【分析】（1）根据题意可得千位上的数尽可能得大，取4，十位上的数也可能得大，取7，即可求解； （2）求出，再由恰好能被8整除，可得能被8整除，然后结合，可得或8，即可求解． 【详解】（1）解：∵要求最大“幸福数”， ∴千位上的数尽可能大，取4，十位上的数也可能大，取7， 此时百位上的数为，个位上的数为， ∴最大“幸福数”为4171； 此时四位数N为7141， ∴； （2）解： ， ∵是“幸福数”， ∴， ∴， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c，d均为整数， ∴或8； 若，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 此时，，，此时S的值为4117； 若，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵c为整数， ∴c取6或7， 当时，，，，此时S的值为1462； 当时，，，，此时S的值为2371； ∴满足条件的S的值是1462或2371或4117． 类型七、平行线中的数量关系、取值范围、平行求t（解） 1．问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 2．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 3．已知，在中，，，，是射线，上的点，连接．分别过，作，外角的角平分线相交于点． (1)如图1，点，在线段，延长线上，若，求． (2)如图2，点在线段延长线上，点在线段上，与相交于点．若，求． (3)如图3，点在线段上运动（不与，重合），点在线段的延长线上运动，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，结合邻补角的概念和角平分线的定义可求得，，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据邻补角的定义求出，根据三角形的外角性质可得。根据角平分线的定义可求得，，根据四边形内角和即可求解； （3）设，根据三角形的外角性质可得，结合邻补角的概念和角平分线的定义可得，，求得，，根据三角形的内角和求得，根据四边形内角和即可出的值，结合题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵，外角的角平分线交于点， 故，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，外角的角平分线交于点，， ∴，， 又∵， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∴， ∵，外角的角平分线交于点，， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， 故； ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，三角形外角性质，邻补角的概念等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4．钱塘江汛期来临时，防汛指挥部在某危险地带两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯每秒转动，灯每秒转动，且，满足．假设这一带钱塘江两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值； (2)若灯射线先转动30s，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，当灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图②，两灯同时转动，在灯射线到达之前，灯，灯射出的光束交于点，过点作于点，交于点．在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)，； (2)15s或82.5s； (3)不发生变化，见解析． 【分析】（1）根据，可得，且，进而得出的值． （2）设灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论，分别求得x的值即可． （3）设灯转动的时间为秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出和，即可得到两角的数量关系． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以，； （2）解：设灯转动时，两灯的光束互相平行． ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，当灯转动15s或82.5s时，两灯的光束互相平行； （3）解：与的数量关系不发生变化． 设灯转动的时间为． 由题意可知，，， 所以． 如图，过点作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为，所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，解题时注意：若两个非负数的和为0，那么这两个非负数均为0． 5．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求，的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒（）． ①在旋转过程中，若边，求值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出时的值． 【答案】(1)， (2)①6或42；②或或 【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可； ②表示出，，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，当在上方时， ， ， ， ， ， ； 如图，当在下方时， ， ， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ． 在旋转过程中，若边，的值为6或42； ②如图，延长，与交于H， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：； 如图，延长，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上：t的值为或或． 6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒．忽略光线的粗细，并假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1)若两灯同时转动90秒，此时两灯发出的光线所在直线的位置关系是________；（填“平行”或“垂直”或“相交”） (2)设灯A转动t秒，请用含t的式子表示以下的角： 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； 当时，光线与所成的角为________度； (3)若灯B先转动20秒，灯A才开始转动，在灯B发出的光线第一次到达之前，灯A转动几秒时，两灯光线所在直线互相平行？ (4)如图，若两灯同时开始转动，在灯A发出的光线第一次到达之前．其发出的光线与灯B发出的光线交于点C，过C作交于点D．探究在转动过程中，与始终满足怎样的等量关系，请直接写出结论． 【答案】(1)平行 (2)，， (3)当灯A转动秒或秒时，两灯光线所在直线互相平行 (4) 【分析】（1）根据题意得到从到所需的时间为（秒），从到所需的时间为（秒），结合图形求解即可； （2）根据运动时间，数形结合分析即可求解； （3）灯B先转动20秒，此时，则转动到处所需时间为（秒），结合题意，分类讨论即可求解； （4）根据题意得到，，根据平行线的性质，角的和差关系列式求解即可． 【详解】（1）解：灯A发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光线自顺时针旋转至便立即回转，灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒， ∴从到所需的时间为（秒），从到所需的时间为（秒）， 当两灯同时转动90秒时，到并逆时针转动了（秒），其度数为，转动的度数为，如图所示， ∴点在点的位置，点在点的位置，则， ∵， ∴， ∴，即此时两灯发出的光线所在直线的位置关系是平行； （2）解：灯A转动的速度是/秒，从到所需的时间为（秒），设灯A转动t秒， ∴当时，光线与所成的角为度； 当时，度； 当时，度； （3）解：灯B先转动20秒，此时，则转动到处所需时间为（秒）， 如图所示，设灯A转动时间为秒，当时，转动到时， ∴，即， 解得，，即灯A转动秒时，两灯光线所在直线互相平行； 如图所示，当时， 结合（2）得到，， 解得，，即灯A转动秒时，两灯光线所在直线互相平行； 如图所示，当时， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，当灯A转动秒或秒时，两灯光线所在直线互相平行； （4）解：两灯同时开始转动，在灯A发出的光线第一次到达之前，设灯A转动t秒， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 整理得，． 类型八、飞镖模型（解） 1．阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务： (1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） (2)见解析 【分析】（1）连接之后，构成了三角形，从而利用三角形内角和的基本性质，由此填写即可； （2）利用三角形的外角定理进行证明即可． 【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） （2）证明：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及外角定理的应用，理解并熟练运用这些基本定理是解题关键． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． 3．【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长，交于点G，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，利用得到的度数，可得的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ， 故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点F， ∵， ∴， 故答案为：； （4）延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 而图中， ∴应减少． 故答案为：减少，10． 4．探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 【答案】(1) (2)① ②③ 【分析】（1）连接并延长到点G，利用三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）①根据题意，得，结合前面的结论，得根据，计算即可． ②根据题意，平分平分，得 根据前面的结论，得，，结合，求的度数即可． ③连接，两次运用结论，再求和计算即可． 本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵活运用基本结论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为： ．理由如下： 连接并延长到点G， 根据题意，得， ∵， ∴． （2）解：①根据题意，得，结合前面的结论，得， ∵， ∴， 故答案为：． ②解：根据题意，平分平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ③连接， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵ ∴． 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)50 (3)230° 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答． （2）把代入，进行计算即可作答． （3）连接，结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答． 【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴把代入， 得 解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得； 在四边形中，得； ∵ ∴ 即． 6．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题． 我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数． ②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）． ③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据题干的结论列出，相加得到，继而得到，即可证明结论； （2）①如图所示，分作的角平分线交于H，根据（1）的结论得到，再由角平分线的定义和平角的定义证明，，再根据题干的结论可推出； ②如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，，同理可得，，则由四边形内角和定理可得； ③由题干的结论可得，由角平分线的定义得到，再求出，由题干的结论可知，由此可得． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴， ∴， 由题干的结论得：，∠， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知， ∵分别平分， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得， 由题干的结论可得， ∴；    ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，， 同理可得，， ∴；    ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角， ∴， ∵， ∴， 由题干的结论可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 类型九、新定义应用（解） 1．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：∵为“准互余三角形”，与为“准互余角”， ， ， ， 又， ； （3）是“准互余三角形”，理由如下： ∵平分， 又∵是的外角，且 ， ， ， ∴是“准互余三角形”． 2．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 3．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴． （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 4．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）①设， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即是； ②∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M．    ∴， ∵ ， 过点H作， ∵， ∴ 则 ∴∴ 如图2，    同理可得，， 则 如图3，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 如图4，    同理可得，， ∴ 如图5，    同理可得，， ∴ 如图6，    同理可得，， ∴ 综上可知，的大小为或或或 5．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“风不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“风不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“风不等式”是___________（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“风不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“风不等式”，求a的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3)或 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，根据“风不等式”的定义判断即可； （2）分别求出两不等式的解集，根据“风不等式”的定义列不等式求解即可； （3）分两种情况根据“风不等式”的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，解得， ∴与没有公共解， ∴①不是不等式的“风不等式”： ∵不等式和不等式有公共解， ∴②是不等式的“风不等式”； ∵不等式的解集为． ∴和不等式没有公共解， ∴③不是不等式的“风不等式”； （2）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∵关于x的不等式不是的“风不等式”， ∴， 解得，故m的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ①当时，即时， 则， 依题意有， 即， 故； ②当时，即时， 则， 始终符合题意， 故； 综上，a的取值范围为或 6．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 类型十、三角形的内角和和与角平分线结合（解） 1．综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 【答案】(1)前进小组的结论不成立，理由见解析 (2)的大小不发生变化且始终为． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的外角性质可得，根据角的平分线定义可得，；推得；根据三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：前进小组的结论不成立，理由如下， ∵点P是两外角平分线的交点， ∴ ， 在中，； （2）解：的大小保持不变．理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 即， 又∵， ∴， 故的大小不发生变化且始终为． 2．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 3．如图，点，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上移动． 【探究发现】 如图①，是的外角的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． （1）若，则__________． （2）的度数会随着点，的移动而发生变化吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，求的度数． 【答案】（1） （2）不会   见解析 （3）． 【分析】本题考查了内外角平分线求角，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）由题干可知是直角三角形，根据已知度数可求得和的度数，再根据角平分线可求得和的度数，进而推出的度数； （2）首先判断不会发生变化，然后进行证明；根据角平分线求出的表达式发现是一个定值，即不会变化； （3）按照第二问的求证思路进行求解即可． 【详解】解：（1）在中， ∴ ∵BC平分，AD平分 ∴， ∴． （2）不会．理由如下： ，分别平分，， ，， ， 的度数不会随着点，的移动而发生变化． （3），， ． 4．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 5．已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 6．【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $