七年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学湘教版期末培优卷，120分钟120分，24题含跨年级真题改编，以杨辉三角等数学文化情境、数轴半圆探究（第8题）及统计分析（第21题）为载体，分层考查抽象能力、数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、幂运算、统计概念|结合笛卡尔心形线等数学文化考查几何直观| |填空题|6/18|平行线判定、不等式组、立体图形|以木条转动（第12题）考查空间观念| |解答题|8/72|作图、统计分析、几何证明、代数应用|第22题乘法公式探究培养推理意识，第24题角平分线综合题发展创新意识|

七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·河南·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． 斐波那契螺旋线 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知， A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意， B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意， C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意， D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项法则，负整数指数幂的意义，单项式的乘法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 4．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根，有理数与无理数的概念，需要逐一判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：∵，的平方根为， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵，是整数，整数属于有理数， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数， ∴仍然是无理数，分数都属于有理数，因此不是分数， ∴D选项说法错误，符合题意． 5．某校为了解全校名学生周末的劳动时间，随机抽取名学生对其劳动时间进行调查分析，下列说法正确的是（    ） A．是样本容量 B．每个学生是个体 C．名学生是样本 D．名学生是总体 【答案】A 【分析】根据统计调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，明确各概念的研究对象即可判断正误． 【详解】解：∵本次调查的调查对象是全校名学生周末的劳动时间，不是学生本身， ∴总体是名学生周末的劳动时间，个体是每个学生周末的劳动时间，因此选项、错误， ∵样本是从总体中抽取的一部分个体，即抽取的名学生周末的劳动时间，样本容量是样本中个体的数量， ∴样本不是名学生本身，样本容量为，因此选项错误，选项正确． 6．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴原不等式组可化为 ， ∵不等式组的解集是， 根据“同小取小”的规律，可得， 解得． 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 8．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同位角的定义，由同位角的定义即可判断①；由内错角相等，两直线平行即可判断②；证明即可判断③；求出即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①与互为同旁内角，故①错误，不符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，求__________． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方可得，，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵， 即， ∴， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 ______时，木条与平行． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键； 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：, 要使木条，由内错角相等，两直线平行得： 当时，． 故答案为：． 13．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 14．已知将展开的结果不含和项，则__________ 【答案】 【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，再根据结果不含和项可知，含和项的系数为0，即可求出、的值． 【详解】解： ， 展开的结果不含和项， ，， ． 15．（25-26九年级上·广东茂名·期末）一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了立方根的定义，无理数的值的估算，熟练掌握立方根的定义与无理数的值的估算是解题的关键． 根据正方体体积公式，棱长x满足，估算的值介于4和5之间即可求解． 【详解】解：∵正方体的体积公式为， ∴， 解得， ∵， ∴，即，， ∴． 故答案为：9． 16．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．过作，过作，设，可得，由 ，可得，从而，又，即知，故． 【详解】解：过作，过作，如图： 设，则， ， ∵平分， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减运算即可； （2）先计算有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 20．（8分）（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，一个网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)把绕点旋转得到，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解此题的关键． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B，C的对应点，即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出写出点A、B，C的对应点的坐标，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 21．（10分）（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图； (2)请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______； (3)若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数． 【答案】(1)100，见解析； (2) (3)人． 【分析】（1）根据最喜欢去B地研学的学生人数和所占百分比求出调查的学生人数，进而求出最喜欢去A地研学的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用乘最喜欢去D地研学的学生人数占比求解即可； （3）用七年级学生人数乘以最喜欢去C地研学的学生人数占比求解即可． 【详解】（1）解：（人）， 最喜欢去A地研学的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：， 即研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是； （3）解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数为人． 22．（10分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】(1)， (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 23．（12分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 【答案】(1)无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个 (2)的值为或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，结合，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可确定的值，进而可得出的值． 【详解】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， 解得：． 答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个； （2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， ， ， 解得：， 又，均为整数， 可以为或100， 或． 答：的值为或． 24．（12分）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，再由可得出，据此得，进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； （2）由已知得，，再由（1）的结论得，，据此可求出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，再由得，由此得，然后由（1）的结论得，据此可得出，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决平行线间拐点问题的万能钥匙，是过拐点作已知直线的平行线，将拐角拆分为两组内错角，实现角的等量转化；第（1）问证得的基础结论，可直接复用至后续两问，体现了几何题“证一次、用多次”的高效解题逻辑，避免重复推导． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·河南·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． 斐波那契螺旋线 2．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 5．某校为了解全校名学生周末的劳动时间，随机抽取名学生对其劳动时间进行调查分析，下列说法正确的是（    ） A．是样本容量 B．每个学生是个体 C．名学生是样本 D．名学生是总体 6．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，求__________． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 ______时，木条与平行． 13．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 14．已知将展开的结果不含和项，则__________ 15．（25-26九年级上·广东茂名·期末）一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为______． 16．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 18．（6分）计算： (1) (2) 19．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 20．（8分）（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，一个网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)把绕点旋转得到，画出旋转后的． 21．（10分）（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图； (2)请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______； (3)若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数． 22．（10分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 23．（12分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 24．（12分）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 2 / 30 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