期末考前满分冲刺之解答题（72题）（二十四种覆盖训练）-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 全面覆盖初中数学核心模块，以基础运算为起点，递进至综合应用与创新题型，构建“知识-方法-应用”三阶训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|1-3题|零负次幂、乘法公式等运算|从幂的基本性质到多项式运算，形成代数运算链| |几何变换|13-15题|平移、轴对称、中心对称作图|基于平面直角坐标系，衔接图形变换性质与操作| |方程与不等式应用|19-21题|方案设计问题|以二元一次方程组建模，结合不等式解决实际优化问题| |新定义与创新|46-48题|自定义“同心/白马有理数对”|抽象数学概念，考查知识迁移与逻辑推理能力|

期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 零负次幂+乘法公式+多项式乘除计算 1．计算或化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并即可. 【详解】（1）解：. （2）解： . 2．计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）先计算同底数幂相乘、积的乘方以及同底数幂相除，再合并同类项即可得出结果； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （4）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 覆盖二 解二元一次方程组 4．解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解：把①代入②，得 解这个方程，得 把代入①，得 所以这个方程组的解为 （2） 解：①×2，得 ③－②，得 把代入①，得 所以这个方程组的解为 5．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解答即可； （2）方程整理后，用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 将代入②得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组整理得， 把得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 6．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：， 得，解得， 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，解得， 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为． 覆盖三 解一元一次不等式(组) 7．解下列方程组或不等式组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再根据加减消元法即可求解； （2）先求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解． 【详解】（1）解：原方程组可化为， ，得，解得， 把代入得，解得， 所以，原方程组的解为； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 综上，不等式组的解集为． 8．解下列不等式（组），并把其解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4)，并写出它的所有负整数解． 【答案】(1) (2) (3) (4)，所有负整数解为,,, 【详解】（1）解：移项合并得，， 系数化为1得，； （2）解：去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得，； （3）解： 解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ； 在数轴上表示得， 根据数轴轴得，； （4）解： 解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ； 在数轴上表示得， 由数轴得，，所有负整数解为,,,． 9．解下列不等式组 (1)解不等式，并把它的解集表示在数轴上； (2)，并把它的解集表示在数轴上； (3)解不等式组； (4)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 (3) (4) 【分析】（1）（2）先按照去分母、去括号、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可； （3）（4）分别求得各不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． （2）解：， ， ， ， ， ； 在数轴上表示如下： ． （3）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为． （4）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为． 覆盖四 乘法公式化简求值 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 11．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，3 【分析】先根据多项式乘多项式法则和完全平方公式展开，然后合并同类项，再代值计算． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先化简，再代入求解即可； 【详解】解： 当时， 原式． 覆盖五 平移、轴对称、中心对称网格作图 13．如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，10 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接，， ∴四边形的面积． 14．如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向上平移2格，顺次连接即可； （2）将点A，B分别绕点旋转，再顺次连接即可； （3）连接，利用格点取的中点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 15．如图正方形网格，小正方形边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画关于点C对称的： (2)在图②中，画出关于直线m的轴对称图形； (3)在图②的直线m上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接交直线m于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，即为所求． （3）解：如图②，连接交直线m于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 覆盖六 命题中的平行(证明依据) 16．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 【答案】(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直 (2)能，见解析 【分析】（1）根据题意一般的命题形式叙述出来； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，证明或，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． （2）平行线中“三线八角”的平分线互相垂直，理由如下， 如图，过点作 ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ ∴平行线中“三线八角”的平分线互相垂直或平行 17．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 18．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 覆盖七 二元一次方程组中的方案问题 19．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A进价20万元，B进价36万元 (2)3种；A买19辆，B买5辆；A买10辆，B买10辆；A买1辆，B买15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意得 ， 解得， 答：A型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． （2）解：设购进A型号新能源汽车m辆，B型号新能源汽车n辆，根据题意得 ，且m，n均为正整数， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A型号19辆和B型号5辆；方案2为购进A型号10辆和B型号10辆；方案3为购进A型号1辆和B型号15辆． 20．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 【答案】(1)甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹 (2)安排甲机器人台，乙机器人台． 【分析】（1）设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹，根据题意列出方程组，求解即可； （2）安排的甲机器人台，乙机器人台，根据题意列出方程，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，因此，最后写出具体安排方案即可． 【详解】（1）解：设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣300件包裹，乙机器人每小时分拣250件包裹． （2）解：设安排甲机器人台，乙机器人台， 根据题意，可列方程： ， 整理，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数，且， ∴， 当时，． 答：安排甲机器人台，乙机器人台． 21．某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者 (2)调配座新能源客车辆，座新能源客车辆 【分析】（）设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，根据题意列出方程组即可求解； （）设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆，根据题意列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者， 由题意得，， 解得， 答：调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者； （2）解：设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆， 由题意得，， 化简得，， ∵均为正整数， ∴， 答：调配座新能源客车辆，座新能源客车辆． 覆盖八 平行与三角形内角和结合 22．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可； （2）首先利用三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴的面积 ∵是的中点 ∴的面积的面积． 24．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 覆盖九 积的乘方运算与幂的乘方运算 25．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）由可得，然后将变形为代入计算即可； （2）由，得出，进而可求出的值． 【详解】（1）解：由可得， 所以 ； （2）解：因为， 所以， 所以． 26．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 27．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 覆盖十 二元一次方程组与不等式组结合求解 28．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程相加求出，结合，得到关于的不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，进行求解即可。 【详解】（1）解：，得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）知：； ∴， ∴. 29．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 30．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 覆盖十一 尺规作图 31．如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知点和点关于直线对称，故直线即为所求； （）作的角平分线，所在的直线为，可知线段和线段关于直线对称，且线段关于的对称线段落在上，故直线即为所求； 本题考查了线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求． 32．如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作的角平分线，交于点； (2)作线段的垂直平分线，交边于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于两点；分别以该两点为圆心，同样长为半径画弧，两弧相交于一点；过点与该交点作射线与的交点即为所求的点； （2）分别以点、为圆心，同样长为半径，两弧在线段两侧分别交于两点，过该两交点作直线与的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 33．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点； (2)作的平分线，交边于点； (3)作点关于直线的对称点； (4)直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求； （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 覆盖十二 二元一次方程组与不等式结合应用 34．德强学校社会实践活动丰富多彩，知行合一育人用心，让学生在实践中成长、在体验中收获．在刚刚结束的寒假社会实践中，七年级某班爱心义卖摆摊销售A，B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)该班第一次用350元购进A，B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A，B两种商品各多少件？ (2)若该班第二次共购进A，B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 【答案】(1)第一次购进A商品50件，B商品100件 (2)至少需要购进B种商品50件 【分析】（1）根据总进价和总利润的两个等量关系，设未知数列出二元一次方程组，求解得到两种商品的购进件数； （2）设购进B商品的件数，根据总利润不低于400元列出一元一次不等式，求解得到B商品的最小购进件数． 【详解】（1）解：设第一次购进A商品件，购进B商品件， A商品单件利润为 (元)，B商品单件利润为 (元)， 根据题意可得， 解得 ， 答：第一次购进A商品50件，B商品100件； （2）解：设购进B商品件，则购进A商品件， 根据题意列不等式得 ， 整理得， 解得， 答：至少需要购进B种商品50件． 35．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 【答案】(1)A款单价为120元，B款单价为80元． (2)最多购买8个A款机器人玩具 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A款机器人玩具个，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元， 根据题意，得方程组：， 解得， 答：所以A款单价为120元，B款单价为80元； （2）解：设购买A款机器人玩具个， 打折后单价：A款元；B款元； 根据题意得， 解得， 答：最多购买8个A款机器人玩具． 36．某市近年来积极探索无人机技术的应用，推动了农业现代化的快速发展．据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒． (1)求A，B两款无人机每架每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ (2)若当地高标准农田建设项目总占地面积不超过1501亩，计划使用A，B两款无人机共18架同时进行1小时的农药喷洒，喷洒期间A，B两款无人机的平均农药损耗率为，那么最多能使用多少架A款无人机？ 【答案】(1)每架A款无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒 (2)最多能使用7架A款无人机 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每架A款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设使用架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意列出不等式，解不等式，结合是正整数，确定最多能使用A款无人机的数量即可． 【详解】（1）解：设每架A款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒， 由题意得： 解得 答：每架A款无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒； （2）解：设使用架A款无人机，则使用架B款无人机， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 最大为7， 答：最多能使用7架A款无人机． 覆盖十三 三角形的内角和与外角综合问题 37．如图，直线分别交直线，于点，．，分别平分，，，分别平分，，已知． (1)求证：； (2)直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）设，根据角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理可得进而得出，即可得证； （2）根据（1）可得，根据角平分线的定义可得，则，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：设， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． 38．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，记，，． ， 又平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 39．如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理分别得出，，进而可得，即可求解； ②根据①的方法，即可求解； （2）分三种情况讨论，①如图，当在的左侧时，设交于点，②如图，当在的右侧时，设交于点，③如图，当在的下方时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 又∵ ∵，， ∴ ②∵，， ∴ （2）解：①如图，当在的左侧时，设交于点 ∵， ∴ ②如图，当在的右侧时，设交于点 ∵ ∴ ③如图，当在的下方时， ∵，， ∴， 又∵ 综上所述，或或 覆盖十四 无刻度尺作图 40．（1）如图①，已知正方形在直线上，，仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形； （2）在图②中，已知正五边形，请用无刻度的直尺画出它的一条对称轴． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据正方形的性质即可找到点O，是等腰三角形． （2）连接交于点O，直线即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示， 41．与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 42．已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出该图形的对称轴l． (2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可． 【详解】（1）解：如图，直线l为所求作． （2）如图，点F为所求作． 覆盖十五 平行线中求角的数量关系与取值范围 43．已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．如图，，点，分别在，上． (1)如图①，点在的上方，连接，，探究、、之间的数量关系，经过思考后，佳佳的想法是：过点作，发现，，则、、之间的数量关系为________； (2)如图②，点在，之间． ①试探究（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由； ②的平分线与的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①不成立，，理由见解析；② 【分析】（1）过P作，则，有，， 由即可得之间的数量关系； （2）①过P作，则，有，，即可得； ②根据①的结论以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：数量关系为， 过P作， ， ， ，， ， ， （2）解：①不成立，理由如下 过P作， ， ， ，， ， ； ②解：由①知：， ， ， ，， ， ， ∵的平分线与的平分线交于点， ，， ， 由①知：， ． 45．如图1，已知直线，且和之间的距离为1，在直角三角形硬纸板和中．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点A在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点F在上时，如图2，求的度数； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形EDF如图3放置，若点E在直线上，点F在和之间（不含上），边和与直线分别交于Q、K．在绕着点E旋转的过程中，设，求m的取值范围． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】本题考查直角三角形、平行线、一元一次方程的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，平行线的性质，一元一次方程的运用，即可． （1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可； （2）求出点在直线上和点在直线上时的度数，进行求解即可． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，和之间的距离为1， 当点在直线上时，如图，； ∴，解得：； 当点在直线上时，点，，重合则； ∴，解得：； ∵点在直线和之间（不含，上）， ∴， ∴的取值范围为：． 覆盖十六 二元一次方程组的新定义问题 46．材料一：我们定义有理数对a，b满足等式a－b＝2ab－1时，我们称这对有理数对（a，b）为“同心有理数对”；如则数对为“同心有理数对”． 材料二：当有理数a和b满足等式时，我们定义有理数为“白马有理数对”，记为，例如：,，则数对是“白马有理数对”． （1）数对，中是“白马有理数对”的是_________；若（a，2020）是“白马有理数对”，求的值； （2）若一个点A的坐标是“白马有理数对”，则点A关于原点对称的点还是“白马有理数对”吗？请说明理由； （3）存不存在一组有理数对即是同心有理数对，又是白马有理数对，如果有请证明，并写出一对这样的有理数对． 【答案】（1），；（2）不是，理由见解析；（3）存在，证明见解析，（－1，0）和（－2，） 【分析】（1）由题意根据“白马有理数对”的定义即有理数a和b满足等式时，我们定义有理数为“白马有理数对”进行列算式分析判断与求解； （2）由题意可得若是“白马有理数对”，则m+n=mn－1，那么－n+（－m）=－（m+n）=－（mn－1）=－mn+1，以此进行分析判断即可； （3）根据题意可设这对有理数为（a ，b），进而列出方程求出a ，b的值后进行分析判断即可． 【详解】解：（1）由题意根据“白马有理数对”的定义可知， 因为，， 所以是“白马有理数对”， 故答案为：； （a，2020）是“白马有理数对”，由“白马有理数对”的定义可得： ，解得； (2)若是“白马有理数对”，则m+n=mn－1， 那么－n+（－m）=－（m+n）=－（mn－1）=－mn+1， ∵－mn+1mn－1 ∴（－n，－m）不是“白马有理数对”， 故答案为：不是； （3）由题意可设这对有理数为（a ，b）则可列方程：解得或 ∴存在这样的有理数对同时满足同心有理数对，又是白马有理数对，是（－1，0）和（－2，）． 【点睛】本题属于材料阅读题，考查有理数和二元一次方程组，熟练掌握白马有理数对的定义和二元一次方程组的解法是解题的关键． 47．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解； （2）联立方程组，利用加减消元法求解即可； （3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；        （2）解：由题意得：， 得，， 即， ， ， ， 将代入得，，解得， ， ， ， 方程组的解为； （3）解：是方程的一个解， ， ，， ． 48．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)请写方程的“交换系数方程”； (2)请求方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，请问的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)当“交换系数方程”为时，组成的方程组的解为；当“交换系数方程”为时，组成的方程组的解为； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义可得答案； （2）根据（1）所求建立方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据“交换系数方程”得到方程的“交换系数方程”，再建立方程组求出方程组的解，再把方程组的解代入到方程中，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“交换系数方程”为或； （2）解：当方程的“交换系数方程”为时， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 当方程的“交换系数方程”为时， 得， 把代入③得，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：，理由如下： ∵， ∴； 由二元一次方程的定义可知， 当方程的“交换系数方程”为时， ∴方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 得，解得， 把代入①得，即，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入可得，即， ∴； 当方程的“交换系数方程”为时， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 同理可得原方程组的解为， ∵方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入可得，即， ∴， 综上所述，． 覆盖十七 完全平方公式的几何应用 49．综合与探究 【阅读理解】 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______． (2)利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求的值． 解：设， 则，． ∴． (3)如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为39，设，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)61 (3)7 【分析】（1）根据两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用（1）中结论进行求解即可； （3）根据题意，得到，，进而得到，，根据完全平方公式变形计算即可. 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴长方形的面积为7. 50．探究与实践 (1)【探索发现】 用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到、、的等量关系式是__________； (2)【解决问题】 ①若，，则__________； ②当时，求的值； (3)【拓展提升】 如图②，深圳某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，两条路相交于点G，且，，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计） 【答案】(1) (2)①；②276 (3)20 【分析】（1）根据图形即可解答； （2）①由（1）的结果可知，，再将，代入即可； ②同理将变形为即可解答； （3）设，，可得，，故，再结合可求出，利用（1）问中公式即可求出，即的值． 【详解】（1）解：根据图形可得； （2）①解：由（1）中结论可得：， ， ； ②解： ，即的值为276； （3）解：设，， 由题意得：，，， ，，长方形与长方形的面积均为， ，即， ， ， 解得， ， ， ，即的值为20． 51．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 由图2，可得出三个代数式：之间的等量关系； (1)根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片2张，种纸片2张，种纸片___________张． (2)根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】（1）通过计算，然后问题可求解； （2）①根据完全平方公式的变形可进行求解； ②根据完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴需要C种纸片5张； （2）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 覆盖十八 一元一次不等式的新定义问题 52．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：，，中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出三个不等式的解集，判断与有没有公共整数解即可； （2）求出两个不等式的解集，根据两个不等式不是“云不等式”列出关于m的不等式，即可求解； （3）求出当时，不等式的解集，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：解不等式，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”； 不等式与有公共整数解2，是的“云不等式”； 解不等式，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式不是的“云不等式”， ∴与没有公共整数解， 分两种情况： 当与没有公共解时， 可得， 解得； 当与有公共解，但公共解里没有整数时， 可得 解得， 综上可得，的取值范围为； （3）解：当时，即时，不等式即的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”， ∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1， ∴． 53．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 54．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． (1)以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； (2)若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： (3)若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“解集内方程”的定义进行判断即可． （2）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． （3）根据“解集内方程”的定义，得出关于的不等式组，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 所以属于不等式组的“解集内方程”的是②． 故答案为：②． （2）由得， 解不等式组 解得： 关于的方程是不等式组的“解集内方程”， ∴ 解得：． （3）由得，； 由得，． 解不等式组 解得：． 方程，都不是关于x的不等式组 ∴或或， 解得或或． 覆盖十九 整除问题 55．因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为，另外当时，多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)已知能整除，求的值； (2)已知能整除，试求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，多项式，代入计算即可． （2）当时，多项式，当时，多项式，代入转化为方程组计算即可． 【详解】（1）因为能整除， 所以当时，多项式， 所以， 解得． （2）因为能整除， 所以当时，多项式，当时，多项式， 所以， 解得， 所以． 【点睛】本题考查了整除的意义，方程组的解法，熟练掌握整除的意义是解题的关键． 56．若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除；．故16354能被13整除． （1）115366 （填能或不能）被13整除， 12909 （填能或不能）被13整除； （2）已知一个五位正整数能被13整除，求m的值； （3）已知一个五位正整数既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数． 【答案】（1）不能，能；（2）8；（3）59553或56550或51558 【分析】（1）根据题意，列出算式求解即可； （2）根据题意可得+4x5=1300+24+10m=1326+10m-2，则10m-2能被13整除，即5m-1能被13整除，由0≤m≤9可得5m-1=0或13或26或39，由m为整数可得m的值为8； （3）由题意可得出4（y-x）-2能被13整除，x+y能被3整除，由0≤x≤9，0≤y≤9得-38≤4（y-x）-2≤34，可得4（y-x）-2=-26或-13或0或13或26，由y-x为整数得y-x=-6或7，结合x+y能被3整除可得x，y的值，即可求解． 【详解】解：（1）11536+6×4=11560，1156+0×4=1156，115+6×4=139，13+9×4=49， ∵49不是13的倍数， ∴115366不能被13整除， 1290+9×4=1326，132+6×4=156，15+6×4=39，39÷13=3， ∵39是13的倍数， ∴12909能被13整除， 故答案为：不能，能； （2）由题意知：+4×5=1300+24+10m=1326+10m-2， ∵1326能被13整除， ∴10m-2能被13整除， ∴5m-1能被13整除， ∵0≤m≤9， ∴-1≤5m-1≤44， ∴5m-1=0或13或26或39， ∵m为整数， ∴m的值为8； （3）∵既能被13整除，又能被3整除， ∴+4y能被13整除，5+5+5+x+y=15+ x+y能被3整除， ∴5055+100x+4y=389×13-2+13×8x-4x+4y=13×(389+8x)+4(y-x)-2， ∴4(y-x)-2能被13整除，x+y能被3整除， ∵0≤x≤9，0≤y≤9， ∴-38≤4(y-x)-2≤34， ∴4(y-x)-2=-26或-13或0或13或26， ∵y-x为整数， ∴y-x=-6或7， ∵x+y能被3整除， ∴或 或， ∴这个五位数为59553或56550或51558． 【点睛】本题考查有理数混合运算的应用，不等式的性质，理解题意，根据题意列式计算是解题的关键． 57．一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”． 例如：∵，6比7小1，，∴4819是“双十数”； 又如：∵，3比4小1，，∴1496不是“双十数”． (1)判断297，875是否是“双十数”，并说明理由； (2)自然数为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两位数记为q，例如：∵，∴，；又如：∵，∴，．若A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N． 【答案】(1)不是“双十数”, 是“双十数” (2) 【分析】（1）根据定义分解297，875进而判断即可； （2）根据定义设，则，进而根据A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，分类讨论求得即可求得 【详解】（1），比小1，， 不是“双十数” ，比小1，， 是“双十数” （2）自然数为“双十数”， 设 则 又A与B的十位数字之和能被5整除， 则是整数， 或 或 或， 能被比B的个位数字大10的数整除， ，为正整数； 即，又 又 或，为正整数； 即 或 解得或 或 综上所述 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，二元一次方程组，整除，理解题意是解题的关键． 覆盖二十 飞镖模型 58．【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【答案】初步探索：；归纳结论：；深入探究：；拓展延伸：不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 初步探索：根据三角形外角的性质得出，，即可得出结论； 归纳结论：根据初步探究过程可得答案； 深入探究：根据归纳结论得出，即可得出，从而得出答案； 拓展延伸：根据四边形内角和进行求解即可． 【详解】解：初步探索： ∵为的一个外角， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴； 归纳结论：根据初步探索可知： 深入探究：根据归纳结论可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：不变；理由如下： ∵，， ∴． 59．【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 60．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 覆盖二十一 平行线的旋转求t 61．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 62．如图1，已知，点分别在上，且，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，速度是/秒，如此循环往复，射线绕点顺时针旋转至，速度是/秒．当射线停止转动时，射线也随之停止． (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为秒（），两条旋转射线交于点． ① ； ②过作交于点．求出与的数量关系； (2)若射线先旋转秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为秒（），若旋转中，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②； (2)的值为或． 【分析】（1）①根据题意得，，，通过即可求解；②由①得，，，过点作，根据平行公理的推论推出，求出，再根据垂直的性质求出，最后对进行比较即可求出数量关系； （2）先设旋转后为，那么，即，根据题意得：，，根据，求出，再进行分类讨论：①当，即时，②当且，即时，③当且，即时，分别根据，根据平行的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵，， ∴， ∴； ②由①可知，，，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，设旋转后为， 那么，即， 根据题意得：，， ∵当射线停止转动时，射线也随之停止， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分类讨论： ①当，即时， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：； ②当且，即时， 如图， ∵， ∴， 则， 解得：， ③当且，即时， 如图， ∵， ∴， 即， 解得：（舍）． ∴综上，的值为或． 63．在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】 （1）如图1，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； 【自主探究】 （2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当旋转到时，的值是多少？ 【探究拓展】 （3）现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，直接写出满足条件的值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15或60或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理： （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中三种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）， ． ， ， （2）①如图所示，当在上方时，延长交于， ， ， ， ， ； ②当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，； 综上所述，当旋转到时，的值是40或100； （3）①如图，当时， 设直线与分别交于， 此时， ， ， ， ， ，即，解得：； ②如图，当时，延长，分别与交于， 此时，， ， ， ，即， ， ， 解得：； ③如图所示，当时， 设直线分别交、于、， 此时，， ， ， ，， ， ． 解得． 综上：所有满足条件的的值为15或60或105． 覆盖二十二 三角形内角和与三种角平分线问题 64．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和，推导出． （2）先证，然后根据求出，再根据三角形的外角性质得到关系式，求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：平分，平分， ，， ， ，即， ， ，解得， 设，， ∴，， 解得． 65．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 66．研究不同情况下角的大小关系，并完成下列各题： (1)如图1，小宝画了一个角，点、分别在射线、上移动，的角平分线与交于点．试问：随着点、位置的变化，的大小是否会变化？若不变，请求出的度数；若变化，求出变化范围． (2)聪明的小宝想出了一个画角的方法：如图，①画两条相交的直线、，使，②在射线、上分别再任意取、点，③作的平分线，的反向延长线交平分线于点，则就是的角．你认为小宝的方法正确吗？请你说明理由． (3)聪明的小宝自编了一道题：如图，、、三点共线，、分别平分、，若，，请用含，的代数式来表示．(直接写结果) 【答案】(1)不会变化， (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先根据角平分线的定义可得，，再利用外角的性质可得，，然后整理可得答案； （3）由（2）得，再利用三角形外角的性质整理可得答案． 【详解】（1）解：的大小不会变化． ， ． 点是两条内角平分线的交点， ， ； （2）解：正确．理由如下， 、分别平分和， ，， 由三角形外角的性质可得， ，， ， ， ； （3）解：由（2）可得，， ， ， ， ， ， ． 覆盖二十三 图形的折叠问题 67．小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片的边上找到一点E，然后沿着进行第一次折叠（如图1），使得D点落在F处． (1)此时（如图1）小明经过测量得到，请你帮他计算_________． (2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠（如图2），使得A点落在G处，小明发现的大小会随着E点的位置改变而发生改变： ①若点A经过折叠后刚好落在线段上（如图3），求出此时的大小；（请写出推理过程） ②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量，请你计算出此时的大小．（请写出推理过程） (3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片沿对角线折叠后（如图5），点D落在点F处，和交于点M，再将沿折叠后，点F落在点H处，此时将分成的两个角满足：，请你直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查折叠问题，解题关键是掌握折叠前后对应角相等． （1）由折叠前后对应角相等得，进而即可求解； （2）①由折叠前后对应角相等得，，进而即可求解；②； （3）由折叠得，，，设，则，，进而可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， 故答案为：； （2）解：①由折叠得，，， ， ， 即； ②， ， ， ； （3）解：由折叠得，，， ， 设，则，， ， ， ， ， ． 68．折纸中的数学 综合实践课上，同学们探索折纸中的数学 任务一：用一张形状不规则的纸 （1）如图1，过点A折叠纸片，使得点B落在边上的处，展开得到折痕，此时______°； （2）过点D折叠纸片，使得点C落在边上的处，判断与的位置关系是______． 任务二：如图2，将长方形纸片进行两次折叠，先沿折痕向下折叠，使落在的位置，再沿折痕向上折叠，使得落在的位置，且、E、G、在同一直线上，折痕与平行吗？请说明理由． 任务三：如图3，点P是正方形纸片内一点，A，B两点分别在正方形纸片的两边上，连接AB，请用折纸的方法过点P作AB的平行线．画出折痕，并简要说明折叠方案． 【答案】任务一：（1），（2）；任务二：，理由见解析；任务三：见解析 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．任务一：根据折叠性质可以得到结论；任务二：根据平行线的判定与性质证明即可；任务三：过点P沿折叠纸片，使于点C；在图2的基础上，展平纸片，过点P沿折叠纸片，使折痕于点P，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4即可． 【详解】解：任务一：（1）点B落在边上的处， 点在一条直线上，且， ， 故答案为：90； （2）点B落在边上的处， 点在一条直线上，且，即， ，即， ， 故答案为：； 任务二：证明：， ， 由折叠的性质得， ， 又 ， 由折叠的性质得， ， ， ； 任务三：如图，过点P沿折叠纸片，使于点C；在图2的基础上，展平纸片，过点P沿折叠纸片，使折痕于点P，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 69．数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 覆盖二十四 三角形的新定义 70．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 71．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴，解得，， ∴； ②、都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中，， 设， 则， ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 72．定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 零负次幂+乘法公式+多项式乘除计算 1．计算或化简 (1)计算：； (2)化简：． 2．计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算下列各题 (1)； (2)． 覆盖二 解二元一次方程组 4．解二元一次方程组： (1) (2) 5．解方程组： (1) (2) 6．解下列方程组： (1)； (2)． 覆盖三 解一元一次不等式(组) 7．解下列方程组或不等式组： (1) (2)． 8．解下列不等式（组），并把其解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4)，并写出它的所有负整数解． 9．解下列不等式组 (1)解不等式，并把它的解集表示在数轴上； (2)，并把它的解集表示在数轴上； (3)解不等式组； (4)解不等式组：． 覆盖四 乘法公式化简求值 10．先化简，再求值：，其中，． 11．先化简，再求值： ，其中，． 12．先化简，再求值：，其中． 覆盖五 平移、轴对称、中心对称网格作图 13．如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 14．如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 15．如图正方形网格，小正方形边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画关于点C对称的： (2)在图②中，画出关于直线m的轴对称图形； (3)在图②的直线m上找一点P，使的值最小． 覆盖六 命题中的平行(证明依据) 16．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 17．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 18．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 覆盖七 二元一次方程组中的方案问题 19．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 20．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 21．某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 覆盖八 平行与三角形内角和结合 22．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 23．如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 24．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 覆盖九 积的乘方运算与幂的乘方运算 25．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 26．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 27．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 覆盖十 二元一次方程组与不等式组结合求解 28．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，当a为何整数时，不等式的解集为？ 29．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 30．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 覆盖十一 尺规作图 31．如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 32．如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作的角平分线，交于点； (2)作线段的垂直平分线，交边于点． 33．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点； (2)作的平分线，交边于点； (3)作点关于直线的对称点； (4)直接写出的长为________． 覆盖十二 二元一次方程组与不等式结合应用 34．德强学校社会实践活动丰富多彩，知行合一育人用心，让学生在实践中成长、在体验中收获．在刚刚结束的寒假社会实践中，七年级某班爱心义卖摆摊销售A，B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)该班第一次用350元购进A，B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A，B两种商品各多少件？ (2)若该班第二次共购进A，B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 35．近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 36．某市近年来积极探索无人机技术的应用，推动了农业现代化的快速发展．据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒． (1)求A，B两款无人机每架每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ (2)若当地高标准农田建设项目总占地面积不超过1501亩，计划使用A，B两款无人机共18架同时进行1小时的农药喷洒，喷洒期间A，B两款无人机的平均农药损耗率为，那么最多能使用多少架A款无人机？ 覆盖十三 三角形的内角和与外角综合问题 37．如图，直线分别交直线，于点，．，分别平分，，，分别平分，，已知． (1)求证：； (2)直接写出的度数． 38．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 39．如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 覆盖十四 无刻度尺作图 40．（1）如图①，已知正方形在直线上，，仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形； （2）在图②中，已知正五边形，请用无刻度的直尺画出它的一条对称轴． 41．与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 42．已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出该图形的对称轴l． (2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 覆盖十五 平行线中求角的数量关系与取值范围 43．已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 44．如图，，点，分别在，上． (1)如图①，点在的上方，连接，，探究、、之间的数量关系，经过思考后，佳佳的想法是：过点作，发现，，则、、之间的数量关系为________； (2)如图②，点在，之间． ①试探究（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由； ②的平分线与的平分线交于点，若，求的度数． 45．如图1，已知直线，且和之间的距离为1，在直角三角形硬纸板和中．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点A在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点F在上时，如图2，求的度数； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形EDF如图3放置，若点E在直线上，点F在和之间（不含上），边和与直线分别交于Q、K．在绕着点E旋转的过程中，设，求m的取值范围． 覆盖十六 二元一次方程组的新定义问题 46．材料一：我们定义有理数对a，b满足等式a－b＝2ab－1时，我们称这对有理数对（a，b）为“同心有理数对”；如则数对为“同心有理数对”． 材料二：当有理数a和b满足等式时，我们定义有理数为“白马有理数对”，记为，例如：,，则数对是“白马有理数对”． （1）数对，中是“白马有理数对”的是_________；若（a，2020）是“白马有理数对”，求的值； （2）若一个点A的坐标是“白马有理数对”，则点A关于原点对称的点还是“白马有理数对”吗？请说明理由； （3）存不存在一组有理数对即是同心有理数对，又是白马有理数对，如果有请证明，并写出一对这样的有理数对． 47．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 48．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)请写方程的“交换系数方程”； (2)请求方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，请问的数量关系，并说明理由． 覆盖十七 完全平方公式的几何应用 49．综合与探究 【阅读理解】 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______． (2)利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求的值． 解：设， 则，． ∴． (3)如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为39，设，求长方形的面积． 50．探究与实践 (1)【探索发现】 用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到、、的等量关系式是__________； (2)【解决问题】 ①若，，则__________； ②当时，求的值； (3)【拓展提升】 如图②，深圳某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，两条路相交于点G，且，，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计） 51．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． 由图2，可得出三个代数式：之间的等量关系； (1)根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要种纸片2张，种纸片2张，种纸片___________张． (2)根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 覆盖十八 一元一次不等式的新定义问题 52．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：，，中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 53．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 54．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“解集内方程”． (1)以下两个方程：①，②中，属于不等式组“解集内方程”的是 (填序号)； (2)若关于x的方程是不等式组的“解集内方程”，求k的取值范围： (3)若方程，都不是关于x的不等式组的“解集内方程”，请直接写出m的取值范围． 覆盖十九 整除问题 55．因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为，另外当时，多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)已知能整除，求的值； (2)已知能整除，试求、的值． 56．若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除；．故16354能被13整除． （1）115366 （填能或不能）被13整除， 12909 （填能或不能）被13整除； （2）已知一个五位正整数能被13整除，求m的值； （3）已知一个五位正整数既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数． 57．一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”． 例如：∵，6比7小1，，∴4819是“双十数”； 又如：∵，3比4小1，，∴1496不是“双十数”． (1)判断297，875是否是“双十数”，并说明理由； (2)自然数为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两位数记为q，例如：∵，∴，；又如：∵，∴，．若A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N． 覆盖二十 飞镖模型 58．【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 59．【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 60．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 覆盖二十一 平行线的旋转求t 61．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 62．如图1，已知，点分别在上，且，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，速度是/秒，如此循环往复，射线绕点顺时针旋转至，速度是/秒．当射线停止转动时，射线也随之停止． (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为秒（），两条旋转射线交于点． ① ； ②过作交于点．求出与的数量关系； (2)若射线先旋转秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为秒（），若旋转中，请直接写出的值． 63．在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】 （1）如图1，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； 【自主探究】 （2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当旋转到时，的值是多少？ 【探究拓展】 （3）现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，直接写出满足条件的值． 覆盖二十二 三角形内角和与三种角平分线问题 64．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列个问题，请你帮她解决．如图，在中，点是、的平分线的交点，点是、平分线的交点，，的延长线交于点． (1)若，求； (2)若，求的度数． 65．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 66．研究不同情况下角的大小关系，并完成下列各题： (1)如图1，小宝画了一个角，点、分别在射线、上移动，的角平分线与交于点．试问：随着点、位置的变化，的大小是否会变化？若不变，请求出的度数；若变化，求出变化范围． (2)聪明的小宝想出了一个画角的方法：如图，①画两条相交的直线、，使，②在射线、上分别再任意取、点，③作的平分线，的反向延长线交平分线于点，则就是的角．你认为小宝的方法正确吗？请你说明理由． (3)聪明的小宝自编了一道题：如图，、、三点共线，、分别平分、，若，，请用含，的代数式来表示．(直接写结果) 覆盖二十三 图形的折叠问题 67．小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片的边上找到一点E，然后沿着进行第一次折叠（如图1），使得D点落在F处． (1)此时（如图1）小明经过测量得到，请你帮他计算_________． (2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠（如图2），使得A点落在G处，小明发现的大小会随着E点的位置改变而发生改变： ①若点A经过折叠后刚好落在线段上（如图3），求出此时的大小；（请写出推理过程） ②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量，请你计算出此时的大小．（请写出推理过程） (3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片沿对角线折叠后（如图5），点D落在点F处，和交于点M，再将沿折叠后，点F落在点H处，此时将分成的两个角满足：，请你直接写出的度数． 68．折纸中的数学 综合实践课上，同学们探索折纸中的数学 任务一：用一张形状不规则的纸 （1）如图1，过点A折叠纸片，使得点B落在边上的处，展开得到折痕，此时______°； （2）过点D折叠纸片，使得点C落在边上的处，判断与的位置关系是______． 任务二：如图2，将长方形纸片进行两次折叠，先沿折痕向下折叠，使落在的位置，再沿折痕向上折叠，使得落在的位置，且、E、G、在同一直线上，折痕与平行吗？请说明理由． 任务三：如图3，点P是正方形纸片内一点，A，B两点分别在正方形纸片的两边上，连接AB，请用折纸的方法过点P作AB的平行线．画出折痕，并简要说明折叠方案． 69．数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 覆盖二十四 三角形的新定义 70．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 71．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 72．定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 学科网（北京）股份有限公司 $