七年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学期末培优卷，120分钟120分，24题覆盖方程、几何等核心知识，以数学家图形、新运算设计情境，梯度分明，可量化学生推理与创新能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、方程与不等式、全等三角形|结合笛卡尔心形线等数学家图形，跨年级真题改编| |填空题|6/18|方程求解、角度计算、图形变换|设置小马虎解方程易错点，平移面积计算体现应用意识| |解答题|8/72|几何证明、新运算、实际问题|新运算“线性数”培养创新意识，木箱制作问题发展模型观念|

七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广东汕头·月考）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 5．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与分别交于点E、F时，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）小马虎在解方程时把看成了a，解得，则原方程的解为 ___________； 12．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为______． 14．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 15．（25-26九年级上·四川成都·期末）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是___________． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）用合适的方法解方程组 (1) (2) 18．（6分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 19．（8分）（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（8分）（25-26七年级上·重庆万州·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数和，规定． (1)求出的值； (2)若，求代数式的值； (3)若，，且的运算结果与的取值无关，求的值． 21．（10分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． (1)如图1，作，使与关于直线对称． (2)如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 22．（10分）对于实数、我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对．若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对． (1)若，则________，________； (2)已知，． ①求，的值； ②若正格线性数，求满足的正格数对有多少个． 23．（12分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 24．（12分）（24-25七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； B、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； C、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； D、由，且时，可得，原式不正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4．（25-26七年级上·广东汕头·月考）已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（   ） A． B．3 C．8 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．先解第一个方程求出x的值，再代入第二个方程求解a，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵： ∴， ∴ ∴， ∵两个方程的解相同， ∴把代入，得， 即， ∴， ∴， 故选：A． 5．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形， 又由题可知，分得三角形的个数为， ∴可得方程 ， 解得． 即这个多边形的边数为6． 6．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 7．在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于方程组，由并整理可得，结合可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由，可得， ∴， ∵， ∴，解得． 8．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 9．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴原不等式组可化为 ， ∵不等式组的解集是， 根据“同小取小”的规律，可得， 解得． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与分别交于点E、F时，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． 连接，根据“”证明，得，，，再逐一判断即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等腰中，，点O是边的中点， ，，， ， 旋转至， 旋转角， 在和中， ， ， ，，， ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； 点O是边的中点， ；故选项D正确； ，， ， 不一定等于，故选项C正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）小马虎在解方程时把看成了a，解得，则原方程的解为 ___________； 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据小马虎的错误方程和解得的x值求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：小马虎将方程误看作，解得：． 代入错误方程：，解得：． 将代入原方程得： ， ， ， ， ． 所以原方程的解为． 故答案为：． 12．若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为______． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·四川成都·期末）艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键．先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出以及． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式） 【答案】/ 【分析】此题考查了平移的性质，首先得到，，求出，然后得到． 【详解】解：由平移得，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）用合适的方法解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解三元一次方程组． （1）用特殊方法解二元一次方程组即可． （2）用消元法把三元一次方程组转化成二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组变成， 解得：， 把代入，， 得： 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解： 由①②，得， 即④， 把④代入③式， 可得出， 把代入①，②可得出： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18．（6分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 19．（8分）（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； 由（1）得， ∴． 20．（8分）（25-26七年级上·重庆万州·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数和，规定． (1)求出的值； (2)若，求代数式的值； (3)若，，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算、整式加减的应用、解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）先利用整式加减的运算法则化简式子，根据新定义得到，再利用整体代入法即可求值； （3）先化简的运算结果，再根据运算结果与的取值无关，列出关于的方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式； （3）解： ， ∵的运算结果与的取值无关， ∴， 解得． 21．（10分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． (1)如图1，作，使与关于直线对称． (2)如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，作轴对称图形， 对于（1），作点B关于直线的对称点P，连接，则即为所求作； 对于（2），将点E，D分别绕点F顺时针旋转得到点Q，R，连接，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：如图所示，即为所求作． 22．（10分）对于实数、我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对．若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对． (1)若，则________，________； (2)已知，． ①求，的值； ②若正格线性数，求满足的正格数对有多少个． 【答案】(1)9；6 (2)，；10 【分析】（1）根据的运算法则代入计算即可； （2）①根据定义，代入，然后列出关于m，n的二元一次方程组求解即可． ②根据新定义运算，列出关于a的一元一次不等式组，求解得出a的取值范围，再根据正格数对的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：①∵，，． ∴， 解得． ②∵， ∴， 解得：， ∴a可取11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，一共10个． 即满足的正格数对有10个． 23．（12分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板． (1)当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？ (2)当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值． 【答案】(1)无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个 (2)的值为或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，结合，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可确定的值，进而可得出的值． 【详解】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， 解得：． 答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个； （2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个， 根据题意得：， ， ， 解得：， 又，均为整数， 可以为或100， 或． 答：的值为或． 24．（12分）（24-25七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意证明，即可求解； （2）根据（1）的证明同理得到，，根据折叠得到，设，则，由角平分线的定义得到，，，根据直角三角形两锐角互余即可得到，则得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：根据（1）的证明得到， ∴，，， ∴ 同理，，， ∵折叠， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边对等角，等角对等边的判定和性质，掌握中线的定义，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $