期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 -2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、科学记数法(选、填) 1．水是生命之源，珍惜水请从点滴做起，事实上，1滴水很轻，大约为千克，用科学记数法表示0.00005为（    ） A． B． C． D． 2．北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”寓意要想拥有珍贵品质或美好才华等是需要不断的努力、修炼、克服一定的困难才能达到的，已知梅花的花粉直径大约是米，数字用科学记数法表示为__________． 4．徐州市在泉山自然保护区建立了“青檀种质资源保护小区”，以保护三级稀有物种青檀．已知青檀花粉的直径约为0.000027米．将0.000027用科学记数法表示为_______． 类型二、真(假)命题(选、填) 1．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．等角的补角相等 D．若直线，则 2．下列命题中的假命题是（  ） A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．同旁内角相等，两直线平行 3．命题“同位角相等，两直线平行”是______命题．（填“真”或“假”） 4．“邻补角互补”是______ （填“真”或“假”）命题． 类型三、逆命题(选、填) 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 3．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 4．命题“若，那么”的逆命题是______． 类型四、反证法(选、填) 1．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精当的武器之一．”那么我们用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设(    ) A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 3．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______． 4．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设_______． 类型五、举反例(选、填) 1．要判断命题“若，则”是假命题，可以举一个反例．下列反例中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．对于命题“若则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 4．请举反例说明“对于任意实数x，的值总是正数”是假命题．你举的反例是_______（写出一种情况即可）． 类型六、幂的运算(选、填、解) 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则_____． 4．计算： (1)； (2)． 类型七、积的乘方与幂的乘方运算(选、填、解) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算（ ） A．1 B． C． D． 3．已知实数、、存在数量关系、，则________． 4．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 类型八、图形的平移、旋转—含作图(选、填、解) 1．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列图案中，可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 3．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 4．如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 类型九、解二元一次方程组与一元一次不等式组(解) 1．解方程组： (1) (2) 2．解方程组： (1) (2) 3．按要求解题： (1)解不等式：并写出它的所有非负整数解． (2)解不等式组： 4．解不等式（组） (1)； (2)． 类型十、尺规作图(解) 1．已知等腰三角形，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． (2)尺规作图：作的角平分线交于点． 2．如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．按要求完成作图 (1)尺规作图：如图①，已知，作的对称轴； (2)仅用直尺：如图②，作出线段的垂直平分线． 4．尺规作图： 制作一个轴对称的风筝，需要两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．如图，现在在一张纸上画好了风筝的轮廓，，请在下列操作提示下，用圆规和无刻度的直尺完成以下绘制（无须写出作法，但要保留作图痕迹）： (1)操作1：画出三角形风筝的“主龙骨”； (2)操作2：“副龙骨”经过边上的点，请画出“副龙骨”． 【中等易错】 类型一、不等式的基本性质与解集在数轴上表示(选) 1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 类型二、列二元一次方程组与不等式表示数量关系(选、填) 1．《九章算术》是我国一部杰出的数学著作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．阿江同学每分钟跳绳的次数范围为少于160次，但不少于120次，用不等式表示为_______；（用a表示每分钟跳绳的次数） 4．“的3倍是非负数”用不等式表示为______． 类型三、二元一次方程的解求参(选、填) 1．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 3．若是方程的解，则的值为__________． 4．如果关于x，y的二元一次方程组的解是，那么关于m，n的二元一次方程组的解是__________． 类型四、不等式组的整数解求参(选、填) 1．如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程有负整数解，且关于的不等式有正整数解，则符合条件的所有的值的和是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是_____． 4．已知关于的不等式组 （1）若不等式组的最小整数解为，则整数的值为______； （2）若不等式组所有整数解的和为，则的取值范围为______． 类型五、(正)多边形的内(外)角和与边数(选、填) 1．十二边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 3．景窗是中国古典园林中的借景手法之一．如图所示，这是一个正八边形景窗，隔墙的水榭亭台、花草树木，构成层次丰富、意境绵延的精美画卷．那么正八边形的一个外角是______°． 4．如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 类型六、完全平方式与变形求值(选、填、解) 1．若，则（   ） A． B．2 C． D． 2．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 3．若是完全平方式，则常数a的值是_______． 4．阅读材料：若，求的值． 解：∵ ∴． ∴ ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则的值为______； (2)已知的边长是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程） (3)已知，求的值． 类型七、三角形的内角和与外角(选、填、解) 1．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，若，则______． 4．如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是30，则的面积为___________． 类型八、新定义运算(选、填、解) 1．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 3．对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则________． 4．对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 类型九、二元一次方程组与不等式结合应用(解) 1．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 2．某学校为丰富学生大课间的体育活动，决定采购篮球、足球、排球三种球类．已知体育用品商店每个排球的售价为50元，三种球类的售价关系如下表所示： ①篮球、足球、排球各一个的总售价为230元； ②2个篮球的售价比一个足球的售价多60元； ③5个篮球的售价与4个足球的售价相同． (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求一个篮球和一个足球的售价分别是多少元； (2)若该学校准备购买20个排球，篮球和足球共50个，总费用不超过5550元，那么该学校最多可以购买多少个足球？ 3．吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 4．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园． (1)求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ (2)当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 类型十、化简求值与无刻度尺作图(解) 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形.    （2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．      4．仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； (2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、科学记数法(选、填) 1．水是生命之源，珍惜水请从点滴做起，事实上，1滴水很轻，大约为千克，用科学记数法表示0.00005为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 2．北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题. 【详解】解：. 3．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”寓意要想拥有珍贵品质或美好才华等是需要不断的努力、修炼、克服一定的困难才能达到的，已知梅花的花粉直径大约是米，数字用科学记数法表示为__________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 4．徐州市在泉山自然保护区建立了“青檀种质资源保护小区”，以保护三级稀有物种青檀．已知青檀花粉的直径约为0.000027米．将0.000027用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示方法，其中n的值为整数，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解： ． 类型二、真(假)命题(选、填) 1．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．等角的补角相等 D．若直线，则 【答案】C 【分析】根据相关数学定义，性质逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵时，可得或，例如满足但， ∴A是假命题，不符合题意； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件， ∴B是假命题，不符合题意； 设两个相等的角为，它们的补角分别为和， ∵， ∴ ，即等角的补角相等， ∴C是真命题，符合题意； ∵命题未说明在同一平面内，不在同一平面时，直线得不到， ∴D是假命题，不符合题意． 2．下列命题中的假命题是（  ） A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定、平行公理、对顶角的性质逐一即可判断． 【详解】解：、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合几何定理，是真命题，该选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理内容，是真命题，该选项不符合题意； 、对顶角相等，是对顶角的基本性质，是真命题，该选项不符合题意； 、平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行，原命题是假命题，该选项符合题意． 3．命题“同位角相等，两直线平行”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据平行线的判定定理，直接判断所给命题的真假即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是平行线判定的基本定理，内容正确， 因此该命题是真命题． 4．“邻补角互补”是______ （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【详解】解：根据邻补角的定义可知，邻补角的和为，符合互补的定义，所以“邻补角互补”是真命题． 类型三、逆命题(选、填) 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】先写出每个选项命题的逆命题，再判断逆命题的真假，从而找出逆命题为假的选项． 【详解】解：A、逆命题：两底角相等的三角形是等腰三角形，这是真命题，不符合题意； B、逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，相似三角形对应角相等但不一定全等，这是假命题，符合题意； C、逆命题：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，是真命题，不符合题意； D、逆命题：等边三角形的三个角都是 60°，这是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与逆命题的概念、真假命题的判断，解题关键是准确写出每个命题的逆命题，并结合相关几何定理判断真假． 3．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 4．命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 类型四、反证法(选、填) 1．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（   ） A．三角形中没有内角大于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中三个内角都大于 D．三角形中有两个内大于 【答案】C 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于， 故选：C． 2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精当的武器之一．”那么我们用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设(    ) A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和反证法．根据用反证法证明的第一步是假设结论不成立；先设等腰三角形的底角都是直角或钝角，即可得出答案． 【详解】解：根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底角都是直角或钝角”． 故选：A． 3．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______． 【答案】∠B≥90° 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．”时， 第一步应假设：∠B≥90°， 故答案为：∠B≥90°． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设_______． 【答案】 【分析】本题考查反证法定义．根据题意利用反证法定义即可得到本题答案． 【详解】解： 由题意得：应先假设：， 故答案为：． 类型五、举反例(选、填) 1．要判断命题“若，则”是假命题，可以举一个反例．下列反例中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解答． 【详解】解：A、若，满足，此选项不符合题意； B、若，满足，此选项不符合题意； C、若，满足，此选项不符合题意； D、若，满足，但，故命题“若，则”是假命题，此选项符合题意； 故选：D． 2．对于命题“若则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题．举反例说明一个命题是假命题时，所举的例子必须符合命题的条件，但是不符合命题的结论． 【详解】解：A．当，时，满足若，则，不符合题意， B．当，时，满足若，则，不符合题意， C．当，时，若，则，符合题意， D．当，时，，不符合题意， 故选：C． 3．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需要满足即可． 【详解】解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 4．请举反例说明“对于任意实数x，的值总是正数”是假命题．你举的反例是_______（写出一种情况即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理，掌握任何一个命题非真即假；要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 取一个的值使的值不是正数即可． 【详解】解：当时，， 所以可作为说明“对于任意实数x，的值总是正数”是假命题的一个反例． 故答案为：（答案不唯一）． 类型六、幂的运算(选、填、解) 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方、同底数幂乘法、同类项合并的规则，逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．与不是同类项，不能合并，故C错误； D．与不是同类项，不能合并，故D错误． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3．已知，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则；将原式化为：即可得出答案． 【详解】解：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 类型七、积的乘方与幂的乘方运算(选、填、解) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．计算（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】可利用积的乘方的逆运算简化计算，将高次幂拆分为同指数幂与低次幂的乘积，再合并计算即可． 【详解】解： ． 3．已知实数、、存在数量关系、，则________． 【答案】 12 【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算. 【详解】解：， 4．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方法则变形得出，对应相等可得，求解即可； （2）根据同底数幂的法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型八、图形的平移、旋转—含作图(选、填、解) 1．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数． 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， ， ， ． 2．下列图案中，可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义，逐一判断即可． 【详解】解：选项A，B，C中的图形都不能由图案自身一部分经过平移后得到，选项D中的图形可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的. 3．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 【答案】B 【分析】设中点H与中点为对应点，连接，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到， ∵E与为对应点，中点H与中点为对应点连接， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故答案为：B． 4．如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）连接，由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积，根据平移的性质可得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，连接， 由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积， 由平移的性质可得，， ∵四边形的高为， ∴平移过程中边“扫过”的面积为． 类型九、解二元一次方程组与一元一次不等式组(解) 1．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得， 将代入方程②， 得，解得， 故方程组的解为； （2）解：， 由得：， 解得， 将代入， 得，解得， 故方程组的解为． 2．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为 由得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 3．按要求解题： (1)解不等式：并写出它的所有非负整数解． (2)解不等式组： 【答案】(1)，非负整数解为0，1； (2) 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，并写出它的所有非负整数解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 去分母得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以非负整数解为0，1； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 4．解不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1） 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以，得 （2）解： 解不等式（1）得 解不等式（2）得 不等式组的解集为 类型十、尺规作图(解) 1．已知等腰三角形，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． (2)尺规作图：作的角平分线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图： （1）分别以点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，直线即为线段的垂直平分线； （2）在上分别截取，使得，分别以为圆心，大于长画弧，两弧交于一点，过点与交点作射线即是角平分线，角平分线与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：如图所示：即为所求． 2．如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 3．按要求完成作图 (1)尺规作图：如图①，已知，作的对称轴； (2)仅用直尺：如图②，作出线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出的平分线所在的直线即可； （2）作出正方形，取与格线的交点，由正方形网格特征可得为的中点，则直线为的垂直平分线． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； 4．尺规作图： 制作一个轴对称的风筝，需要两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．如图，现在在一张纸上画好了风筝的轮廓，，请在下列操作提示下，用圆规和无刻度的直尺完成以下绘制（无须写出作法，但要保留作图痕迹）： (1)操作1：画出三角形风筝的“主龙骨”； (2)操作2：“副龙骨”经过边上的点，请画出“副龙骨”． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）分别以，为圆心，以长为半径画弧，连接两个交点，交于，即可画出三角形风筝的“主龙骨”． （2）以点为圆心，交于两点，再分别以两点为圆心，大于二分之一长度为半径画弧交于两点，连接两个交点，交于，即可画出三角形风筝的“副龙骨”． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【中等易错】 类型一、不等式的基本性质与解集在数轴上表示(选) 1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： 3．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A运算正确； B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B运算正确； C、题中未说明的取值，当时，，当时，由可得，因此不一定成立，C运算不一定正确； D、∵，∴，又∵，∴，∴，D运算正确． 4．若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴或或，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴或或，故D不符合题意． 类型二、列二元一次方程组与不等式表示数量关系(选、填) 1．《九章算术》是我国一部杰出的数学著作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有x人，物品价值y元，根据“每人出9元，多4元；每人出8元，少4元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有x人，物品价值y元， ∵每人出9元，多4元， ∴； ∵每人出8元，少4元， ∴， ∴根据题意可列方程组． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 3．阿江同学每分钟跳绳的次数范围为少于160次，但不少于120次，用不等式表示为_______；（用a表示每分钟跳绳的次数） 【答案】 【分析】直接根据题意列出相应不等式即可． 【详解】解：阿江同学每分钟跳绳的次数范围为少于160次，但不少于120次，用不等式表示为120≤a＜160． 故答案为：120≤a＜160． 【点睛】此题主要考查了不等式的定义，正确得出不等关系是解题关键． 4．“的3倍是非负数”用不等式表示为______． 【答案】 【详解】解：“的3倍是非负数”用不等式表示为． 类型三、二元一次方程的解求参(选、填) 1．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得， ， ， 解得． 2．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 3．若是方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到的值，再把所求变形即可求解． 【详解】把解：代入方程得到 ∴． 4．如果关于x，y的二元一次方程组的解是，那么关于m，n的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，令，，则关于，的二元一次方程组可化为，得到． 【详解】解：令，，则关于，的二元一次方程组可化为． ∵二元一次方程组的解是， ∴， 解方程组，得． ∴关于m，n的二元一次方程组的解是． 类型四、不等式组的整数解求参(选、填) 1．如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，解一元一次方程，在求出一元一次不等式组的解集以后，还应根据题目中的已知条件求出其整数解． 先根据题意得到，解一元一次方程得到，再由一元一次方程的解为整数，得到或，即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得：， ， 解得：，且解为整数， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：C． 2．已知关于的方程有负整数解，且关于的不等式有正整数解，则符合条件的所有的值的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，先求出方程的解，再根据方程有负整数解可得关于的一元一次不等式，再联立关于的不等式有正整数解可得答案．解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的能力． 【详解】解：∵关于的方程， 解得：， ∵关于的方程有负整数解， ∴， ∵不等式， 解得：， ∵关于的不等式有正整数解， ∴， ∴， 解得：， 又∵、是整数， ∴或， ∴符合条件的所有的值的和是． 故选：B． 3．已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关键，注意端点值的取舍．先求得不等式组的解集，再根据不等式组解集的情况，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由不等式得， 由不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知关于的不等式组 （1）若不等式组的最小整数解为，则整数的值为______； （2）若不等式组所有整数解的和为，则的取值范围为______． 【答案】 或 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，根据题意判断出的取值范围是解题关键． 根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：解不等式组得， （1）∵不等式组的最小整数解为， ∴， ∴， 则整数的值为， 故答案为：； （2）∵不等式组所有整数解的和为， 若整数解为：， 解得：， 若整数解为：， 解得：， 综上，整数的值为或， 故答案为：或． 类型五、(正)多边形的内(外)角和与边数(选、填) 1．十二边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】熟记任意多边形的外角和恒为，与边数无关，即可解答． 【详解】解：∵任意多边形的外角和都为，与多边形的边数无关， ∴十二边形的外角和为． 2．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据题意，得多边形的每个外角的度数都等于，根据边数等于求解即可； 【详解】解：根据题意，得多边形的每个外角的度数都等于， 故边数为：； 3．景窗是中国古典园林中的借景手法之一．如图所示，这是一个正八边形景窗，隔墙的水榭亭台、花草树木，构成层次丰富、意境绵延的精美画卷．那么正八边形的一个外角是______°． 【答案】45 【详解】解：正八边形的一个外角是 4．如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】边形的内角和为，据此求出五边形的内角和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 类型六、完全平方式与变形求值(选、填、解) 1．若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 2．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 3．若是完全平方式，则常数a的值是_______． 【答案】4或 【详解】解：或， ∴或， 解得或． 4．阅读材料：若，求的值． 解：∵ ∴． ∴ ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则的值为______； (2)已知的边长是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程） (3)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2)4，过程见解析 (3) 【分析】（1）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出x、y的值，进而得到的值； （2）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出c的值； （3）先将已知条件变形得到，将其代入，再类比材料中的解法，结合完全平方公式整理得到，接下来利用非负数的性质，即可求出n和p的值，将n的值代入，即可求出m的值，问题随之得解． 【详解】（1）解： ∴ ∴， ∴， ，， 解得：，， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵a、b、c是的三边的长， ∴， ∵a、b、c是互不相等的正整数， ∴； （3）解：∵， ∴， 代入得：， 整理得： ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 则． 类型七、三角形的内角和与外角(选、填、解) 1．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，若，则______． 【答案】30 【分析】根据垂线定义求出，根据平行线的性质求出，从而求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和求出，根据角平分线定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 4．如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是30，则的面积为___________． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由为的高，可得，再由可得，再由平分，可以求出，最后由是三角形的外角便可求出； （2）由中线的性质可得，再根据可得，进一步可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 平分， ， 是外角， ． （2）解：是的中线， ， ， ， ， ， ． 类型八、新定义运算(选、填、解) 1．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 2．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简待求式的第一个运算项，再按照新运算规则代入展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则________． 【答案】 【分析】先根据新运算中的规则得到方程组，求出与的值，再按新运算求1*1的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：，解得：， 把代入得：， 则*=， 故答案为：． 【点睛】此题是一道定义新运算的题型，考查了解二元一次方程组，理解新运算规则并掌握解方程组的步骤是解题的关键． 4．对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 类型九、二元一次方程组与不等式结合应用(解) 1．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【答案】(1)1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； (2)，且n为整数，共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； (3) 【分析】（1）设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨，，依题意得，计算求解即可； （2）若建设A类垃圾站n座，则建设B类垃圾站座，根据每日处理垃圾能力不低于3.6吨建立不等式求出n的取值范围，再根据n为整数求解即可； （3）由题意得，解得，由仅有两种方案可供选择，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 2．某学校为丰富学生大课间的体育活动，决定采购篮球、足球、排球三种球类．已知体育用品商店每个排球的售价为50元，三种球类的售价关系如下表所示： ①篮球、足球、排球各一个的总售价为230元； ②2个篮球的售价比一个足球的售价多60元； ③5个篮球的售价与4个足球的售价相同． (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求一个篮球和一个足球的售价分别是多少元； (2)若该学校准备购买20个排球，篮球和足球共50个，总费用不超过5550元，那么该学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)一个篮球的售价为80元，一个足球的售价为100元 (2)该学校最多可以购买27个足球 【分析】（1）设一个篮球的售价为元，一个足球的售价为元，根据所选两个条件列二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）设该学校购买个足球，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，结合数量为正整数的实际要求，即可得到最大购买数量． 【详解】（1）解：选择条件②和③进行计算， 设一个篮球的售价为元，一个足球的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：一个篮球的售价为80元，一个足球的售价为100元； （2）解：设该学校购买个足球，则购买篮球个， ∵每个排球售价50元，且总费用不超过5550元， ∴ 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为27， 答：该学校最多可以购买27个足球． 3．吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 【答案】(1)A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元 (2)最多能买5个B型杏花钥匙扣 【分析】（1）设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元； （2）解：设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个， ∴， 解得， ∴最大为． 答：最多能买5个B型杏花钥匙扣． 4．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园． (1)求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ (2)当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 【答案】(1)A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩 (2)5架 【分析】（1）设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得， 解得： 答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩； （2）解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得， 解得：， ∴最小整数解为5， 答：最少需使用5架A 款无人机． 类型十、化简求值与无刻度尺作图(解) 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【详解】解： ， 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时 原式． 3．（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形.    （2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．      【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）作直线，交于点D，则点D为点A的对称点，同理可作出点B的对称点E，点C的对称点F，依次连接点D，E，F，则为所求； （2）连接，，相交于点O，则点O为所求． 【详解】（1）如图，为所求．    （2）如图，点O为所求．      【点睛】 本题考查作中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 4．仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； (2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、矩形的性质、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）连接、交于点，连接，过点与点，作直线，结合矩形的性质即可求解； （2）结合题意，根据旋转的性质进行作图，即可． 【详解】（1）解：如图，连接、交于点，过点与点，作直线．则直线即为所求． 作法：连接、交于点，过点与点，作直线． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 即点在的垂直平分线上， ∵点是的中点， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， 即直线是长方形的一条对称轴． （2）解：如图，即为所求． 作法：连接、、，分别将、、绕点按顺时针方向旋转，得到、、；依次连接、、；即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $