七年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：七下全册）

**基本信息** 七年级数学期末培优卷，24题覆盖整式运算、几何证明、统计分析等核心知识，以新能源汽车费用对比、研学租车等现实情境及乘法公式几何验证等探究题型，提升抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|整式运算、统计概念、几何角度计算|融合跨年级真题（如八年级期末题），考查推理意识| |填空题|6/18|代数式求值、分式方程解、方程组迁移|设置多项式展开不含某项（第12题），强化符号意识| |解答题|8/72|二元一次方程组应用（研学租车）、统计图表分析、几何证明与探究|结合社会热点（新能源汽车费用对比），融入整体思想（第20题）和几何变换（第24题），发展创新意识|

七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项法则，负整数指数幂的意义，单项式的乘法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某市有9600名学生参加考试，为了了解考试情况，从中抽取了500名学生的成绩进行统计分析．这个问题中，下列说法错误的有（    ） A．这9600名学生的成绩的全体是总体 B．每个学生是个体 C．500名考生的成绩是总体的一个样本 D．样本容量是500 【答案】B 【分析】本题考查了总体，样本，个体和样本容量的概念，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量，据此求解即可． 【详解】解：A、这9600名学生的成绩的全体是总体，原说法正确，不符合题意； B、每个学生的成绩是个体，原说法错误，符合题意； C、500名考生的成绩是总体的一个样本，原说法正确，不符合题意； D、样本容量是500，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 4．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等．利用对顶角相等算出，利用三角形的外角性质求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 8．张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．设甲乙两地路程为，分别计算张华和李明从甲地到乙地的步行时间，再比较时间长短判断谁先到达即可． 【详解】解：设甲乙两地之间的路程为， ∵张华前半段路程速度为，后半段为， ∴张华从甲地到乙地的总时间， ∵李明全程平均速度为， ∴李明从甲地到乙地的总时间， ， ∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明用的时间更短，先到达乙地． 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同位角的定义，由同位角的定义即可判断①；由内错角相等，两直线平行即可判断②；证明即可判断③；求出即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①与互为同旁内角，故①错误，不符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，求__________． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方可得，，再根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵， 即， ∴， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 12．已知将展开的结果不含和项，则__________ 【答案】 【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，再根据结果不含和项可知，含和项的系数为0，即可求出、的值． 【详解】解： ， 展开的结果不含和项， ，， ． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 【答案】(或或，写出一个即可) 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数的取值． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 展开整理得，即， 解得； ∵方程的解为正整数，且， ∴是8的正约数，2，4，， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时(增根，舍去)； 故整数的一个值可以是(或或)； 故答案为：(或或，写出一个即可)． 15．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．过作，过作，设，可得，由 ，可得，从而，又，即知，故． 【详解】解：过作，过作，如图： 设，则， ， ∵平分， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（6分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算． （1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对于方程， 去分母，得， 解得． 检验：把代入，得， 分式方程的解为， 原分式的值为． 19．（8分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 【答案】(1)600人，13辆 (2)租用45座12辆，60座1辆费用最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，解题关键是找到题目中的等量关系． （1）根据题目中等量关系：45座客车的座位数45座客车车辆数总人数，60座客车座位数（45座客车车辆数-3）等于总人数，列方程组求解即可； （2）设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则得，取正整数解，计算相应的费用，并与只租用45座客车和只租用60座客车的费用进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得，解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． （2）解： 设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则 ， 解得整数解为，，， 当时，费用：， 当时，费用：， 当时，费用： ， 由（1）得只租用45座客车，则需要14辆，费用：， 只租用60座客车，则需要10辆，费用：， ， 租用12辆45座客车，1辆60座客车费用最省． 20．（8分）（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令， 则原式 将还原， 得原式． 21．（10分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图： 根据上述统计图，完成以下问题： (1)扇形统计图中，求出“书法类”扇形的圆心角； (2)请补全频数分布直方图； (3)求参加“艺术类”和“书法类”活动的学生共占本次所调查学生总人数的百分比． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合题，扇形统计图圆心角的计算，条形统计图画法； （1）先用“体育类”频数除以所占百分比得到样本容量为，再用乘以“书法类”所占百分比即可求解； （2）用样本容量分别减去“体育类”、“书法类”、“文学类”频数，得到“艺术类”学生数为10，即可补全统计图1； （3）用参加“艺术类”和“书法类”活动的学生总数除以样本容量即可求解． 【详解】（1）解：（人）， ． （2）解：艺术类学生数为， 如图所示： （3）解：． 答：参加“艺术类”和“书法类”活动的学生共占本次所调查学生总人数的． 22．（10分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)元 (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据素材中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）． （2）解：由题意列分式方程得：， 整理得，， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 23．（12分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】(1)， (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 24．（12分）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，再由可得出，据此得，进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； （2）由已知得，，再由（1）的结论得，，据此可求出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，再由得，由此得，然后由（1）的结论得，据此可得出，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决平行线间拐点问题的万能钥匙，是过拐点作已知直线的平行线，将拐角拆分为两组内错角，实现角的等量转化；第（1）问证得的基础结论，可直接复用至后续两问，体现了几何题“证一次、用多次”的高效解题逻辑，避免重复推导． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材浙教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）某市有9600名学生参加考试，为了了解考试情况，从中抽取了500名学生的成绩进行统计分析．这个问题中，下列说法错误的有（    ） A．这9600名学生的成绩的全体是总体 B．每个学生是个体 C．500名考生的成绩是总体的一个样本 D．样本容量是500 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 8．张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知，求__________． 12．已知将展开的结果不含和项，则__________ 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 15．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 16．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 18．（6分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 19．（8分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 20．（8分）（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 21．（10分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图： 根据上述统计图，完成以下问题： (1)扇形统计图中，求出“书法类”扇形的圆心角； (2)请补全频数分布直方图； (3)求参加“艺术类”和“书法类”活动的学生共占本次所调查学生总人数的百分比． 22．（10分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 23．（12分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 24．（12分）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $