精品解析：北京景山学校2025-2026学年第二学期期中考试七年级数学试卷

北京景山学校2025～2026年度第二学期期中考试 七年级数学试卷 注意事项 （1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共7页，共有三道大题，28道小题，考试时长100分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上. 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，注意科学记数法中数的取值范围是解题的关键． 根据科学记数法写出正确的答案即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 3. 下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【详解】解：A．是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意； C．不是对多项式变形，故本选项错误，不符合题意； D．运用完全平方公式分解，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式． 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意； B. ，此选项正确，符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若k＜＜k+1（k是整数），则k=（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】找到90左右两边相邻的两个平方数，即可估算的值. 【详解】本题考查二次根式的估值．∵，∴，∴． 一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表： 选项 逐项分析 正误 A 若 × B 若 × C 若 × D 若 √ 【点睛】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键. 6. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，将和替换为扩大后的数值，化简后与原分式对比即可得到结果，熟练掌握分式的化简方法是解题关键。 【详解】解：把和都扩大倍后，新分式的分子为，分母为 新分式为 分式的值缩小为原来的 7. 八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 根据同时到达的条件，大车行驶时间比小车多4分钟，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大车平均速度为，则小车平均速度为， ∵大车行驶时间：小时， 小车行驶时间：小时， 小车晚出发4分钟，即小时， 且同时到达， ∴ ， 故选：A． 8. 已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2035 D. 2037 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件列不等式求解即可. 【详解】解：根据题意可知，， 移项得， 系数化为得. 10. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得关于的等式，求解即可得到的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，即是完全平方式， 的结构特征， 可得：原式中，，即， ， 解得或． 11. 有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据当时，分式有意义；当时，分式的值为0，再构建分式即可． 【详解】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0． ∴分式可以为， 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用负指数幂及零指数幂进行计算即可． 【详解】解：． 13. 已知则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据已知，可得x=3y，根据代数式求值，可得答案． 【详解】由，得：x=3y． 当x=3y时，原式==12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了分式的值，利用了代数式求值． 14. 若，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，确定x的值，再代入方程求出y的值，最后计算． 【详解】解：， ∴且， ∴， ∴， ∴． ∴； 故答案为：2 15. 已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 16. 快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为： （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 三、解答题（共68分，第17题6分，第18题8分，第19题-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母得 ， 去括号得 ， 移项、合并同类项得， 系数化为得， 经检验，是原分式方程的解． 20. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 21. 在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题． 解：原式……①， •……②， ……③， ……④ ……⑤ （1）甲同学从第 　 　步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解法． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可； （2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可． 【小问1详解】 解：由题意知，甲同学从第②步开始出错， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减运算法则，是解题的关键． 22. 化简：，再从的整数中选取一个数代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再结合不等式与分式有意义的条件代入计算即可． 【详解】解： ， 分式有意义， ， ， 原式． 23. 据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）求从高空抛物到落地时间； （2）已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】（1） （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【小问1详解】 解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； 【小问2详解】 解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 24. 列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 【答案】每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 【解析】 【分析】设每套型号的“文房四宝”的价格为元，根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，以及学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程进行求解即可. 【详解】解：设每套型号的“文房四宝”的价格为元，则每套型号的“文房四宝”的价格为 元，由题意： ， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 25. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 26. 阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程. （2）若和为两个相邻整数，则____________. （3）若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】（1）平方， （2）25 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：平方，； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ， 即， 故答案为：25． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得：， ， ， ． 27. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为______； （2）小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / _____ _____ ①请将表格中方案的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由． （3）当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的_____倍． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】（1） （2）①表格见详解；②在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好，理由见详解 （3）C 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①根据题中所给公式进行代入求解即可；②根据分式的运算进行比较大小即可； （3）根据②可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为； 【小问2详解】 解：①补充表格如下： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / ②由①可得：， ∵ ， ， ∴ ，， ∴根据分子一定，分母的值越大，分式的值也就越小可知：， 答：在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好； 【小问3详解】 解：当第一次过滤用净水材料的单位量时，则过滤水中杂质含量为，第二次过滤用净水材料的单位量也是，则过滤水中杂质含量为， ∵ ， ∴， ∴由②可知：为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的倍． 28. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）① （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【小问1详解】 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； 【小问3详解】 解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京景山学校2025～2026年度第二学期期中考试 七年级数学试卷 注意事项 （1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共7页，共有三道大题，28道小题，考试时长100分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上. 一、选择题（每题只有1个选项符合题意，每小题2分） 1. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若k＜＜k+1（k是整数），则k=（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 7. 八年级师生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达．已知小车的平均速度是大车的平均速度的倍，求大车的平均速度．如果设大车的平均速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2035 D. 2037 二、填空题（每小题2分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为_____． 11. 有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式_____． 12. 计算：______． 13. 已知则的值为________． 14. 若，则的值为______． 15. 已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 16. 快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18题8分，第19题-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程：． 20. 已知，，求代数式的值． 21. 在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题． 解：原式……①， •……②， ……③， ……④ ……⑤ （1）甲同学从第 　 　步开始出错（填序号）； （2）请你写出正确的解法． 22. 化简：，再从的整数中选取一个数代入求值． 23. 据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）求从高空抛物到落地时间； （2）已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 24. 列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 25. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 26. 阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程. （2）若和为两个相邻整数，则____________. （3）若和为相差4的两个整数，求的值． 27. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为______； （2）小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 0 / _____ _____ ①请将表格中方案的数据填写完整； ②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由． （3）当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的_____倍． A.1 B.2 C.3 D.4 28. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $