精品解析：北京市顺义区仁和中学2025-2026学年度第二学期期中考试七年级数学试卷

仁和中学2025—2026学年度第二学期期中考试 数学试卷 一、选择题 1. 超级计算机“神威·太湖之光”被誉为国之重器，达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为0.000000000794秒．将0.000000000794用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个解，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将 C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将 5. 下列运算：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A. 2 B. 2或 C. 1 D. 8. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，m为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 9. 计算：=______． 10. 写出一个解为的二元一次方程________________． 11. 已知，，求的值为________． 12. 如图1，一个容量为600cm3的杯子中装有300cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为______． 13. 已知，满足，则_______． 14. 计算：______． 15. 如果关于x，y的方程组的解是，则b的值是______． 16. 周末小希跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为8份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜． A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 （1）他们点了_______份B套餐（用含x或y的代数式表示，其中）； （2）如果，且A、B、C套餐均至少点了1份，那么最多有________种点餐方案． 三、解答题 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 解不等式组： 19. 解二元一次方程组： 20. 计算： （1）． （2）． （3） （4） 21. 已知，求代数式的值． 22. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“”型图形（阴影部分）． （1）用含的代数式表示“”型图形的周长； （2）若此图作为某施工图，“”型图形的周边需围上单价为每米30元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米20元的栅栏．若，，请计算整个施工所需的造价． 23. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，且每种型号至少购买1台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？ 25. 我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于x的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 26. 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是_______（用含a，b的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，之间的等量关系是：_______ （3）已知，求的值． （4）如图3，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积． 27. 若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． （1）在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． （2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． （3）若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁和中学2025—2026学年度第二学期期中考试 数学试卷 一、选择题 1. 超级计算机“神威·太湖之光”被誉为国之重器，达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为0.000000000794秒．将0.000000000794用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.000000000794用科学记数法表示应为， 故选：C． 2. 已知是方程的一个解，那么的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把代入，可得关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方运算法则进行计算，判断即可． 【详解】A.不是同类项不能计算，此选项不符合题意； B.，计算错误，此选项不符合题意； C.，计算正确，此选项符合题意； D.，计算错误，此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 4. 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. 要消去x，可以将 B. 要消去x，可以将 C. 要消去y，可以将 D. 要消去y，可以将 【答案】A 【解析】 【分析】观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【详解】解：利用加减消元法解方程组，要消去可以将，故A选项正确，B选项错误；要消去可以将，故选项C和选项D错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5. 下列运算：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的运算法则展开逐一判断即可． 【详解】①，计算错误； ②，计算错误； ③，计算错误； ④，计算正确； 故选D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知 根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变． ∵两边同时加3，不等号方向不变， ∴成立，A不符合题意； 根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． ∵，两边同时乘，不等号方向改变， ∴，因此不成立，B符合题意． ∵两边同时减2，不等号方向不变， ∴成立，C不符合题意； 根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，结合性质1可得： ∵，两边同时除以正数2，得，再两边同时加1，不等号方向不变， ∴ 成立，D不符合题意； 7. 如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A. 2 B. 2或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 8. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，m为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①根据新定义直接判断，②可用举反例法判断，③根据题意所述利用不等式的性质判断，④利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而列出不等式得出的取值范围即可判断，⑤根据新定义得出是的倍数，进而得出的值． 【详解】解：①，故结论正确； ②错误，比如时，，而，故结论②错误； ③为非负整数，则，不影响“四舍五入”，所以当时，故结论③正确； ④∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤又∵且为非负实数，即：， 解得：， 若满足，则为整数，必然是的倍数，则，为整数， 则，可得， 即：当，1，2，3时，亦即当，，，时，满足的所有非负实数x的值有4个，故⑤正确； 综上，正确的有①③⑤，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了四舍五入，解一元一次不等式，以及学生理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 二、填空题 9. 计算：=______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式运算及同底数幂的乘法法则，按照单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】． 10. 写出一个解为的二元一次方程________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的概念直接进行求解即可． 【详解】因为二元一次方程的解为，所以只要写出解为这个的二元一次方程即可，如：；等等； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，正确理解概念是解题的关键． 11. 已知，，求的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12. 如图1，一个容量为600cm3的杯子中装有300cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据不等关系式：4颗玻璃球的体积+水的体积小于杯子的容积，列出不等式即可． 【详解】解：设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，根据题意找出题目中的不等关系，是解题的关键． 13. 已知，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程组及所求式的特点，①+②即可求解． 【详解】， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组及代数式的求值，熟知加减消元法解二元一次方程组是解答此题的关键． 14. 计算：______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用平方差公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键． 15. 如果关于x，y的方程组的解是，则b的值是______． 【答案】-1 【解析】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于，的二元一次方程组，解方程组即可得到的值． 【详解】解：关于，的方程组的解是， 代入得， 整理②得 ， ③①得： ， 解得． 16. 周末小希跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为8份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜． A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 （1）他们点了_______份B套餐（用含x或y的代数式表示，其中）； （2）如果，且A、B、C套餐均至少点了1份，那么最多有________种点餐方案． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】（1）根据题意，得套餐和套餐的总数为：份；结合所点的餐食总共为8份盖饭，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）根据题意，计算得套餐和套餐的总数为：份，再根据、、套餐均至少点了1份，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，共杯饮料，即套餐和套餐的总数为：份 ∵所点的餐食总共为8份盖饭，即三种套餐的总数为：8份 ∴套餐的数量为：份； 故答案为: （2）∵ ∴套餐和套餐的总数为：份 ∴套餐的数量为：份 ∵、、套餐均至少点了1份 ∴情况1：套餐：1份，套餐4份； 情况2：套餐：2份，套餐3份； 情况3：套餐：3份，套餐2份； 情况4：套餐：4份，套餐1份； ∴最多有4种点餐方案． 故答案为：4 【点睛】本题考查了代数式、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 三、解答题 17. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解：， ， ， ， ． 在数轴上表示如图所示： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 在数轴上表示不等式①、②的解集， 所以这个不等式组的解集是． 【点睛】本题考查的是解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 19. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】采用加减消元法解方程组，即可求解． 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以，原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解决本题的关键． 20. 计算： （1）． （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：     【小问4详解】 解：    21. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简，再把变形整体代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 原式． 【点睛】本题主要考查完全平方差公式、平方差公式的化简，去括号得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算求值，解题的关键是学会整体代入的思想解决问题． 22. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“”型图形（阴影部分）． （1）用含的代数式表示“”型图形的周长； （2）若此图作为某施工图，“”型图形的周边需围上单价为每米30元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米20元的栅栏．若，，请计算整个施工所需的造价． 【答案】（1） （2）整个施工所需的造价为960元 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，列代数式和代数式求值，根据图象列出代数式是解题关键． （1）根据图象列出代数式，并计算即可； （2）根据题意，表示出造价的代数式，再代入x，y的值计算即可． 【小问1详解】 解：由图可得“T”型图形的周长为； 【小问2详解】 解：整个施工所需的造价为： ． 当，时， （元） 答：整个施工所需的造价为960元． 23. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先解关于，的二元一次方程组，用表示，，再由列不等式求解即可． 【详解】解：解关于，的二元一次方程组 得  ∵，即 ∴的取值范围是． 24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，且每种型号至少购买1台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． （2）共有种购买方案，分别是：①购买A型台，B型台；②购买A型台，B型台；③购买A型台，B型台． 要使每天分拣快递的件数最多，应选择购买A型台，B型台的方案． 【解析】 【分析】（1） 根据表格中两种购买情况的总费用，设出未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设出购买型机器人的数量，根据总费用不超过万元列一元一次不等式，结合未知数的实际意义得到所有购买方案，再计算各方案的日分拣量，比较得到最优方案． 【小问1详解】 解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 由题意得   ，解得 ， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 【小问2详解】 解： 设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人 台． 由题意得   ，解得．  为正整数，且要购买两种型号的智能机器人，   ． 因此共有种购买方案： 方案1：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； 方案2：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）； 方案3：购买型台，型台，日分拣快递件数为 （万件）；   ，  购买型台，型台时，每天分拣快递的件数最多． 答：该企业共有种购买方案，分别是购买型台型台，购买型台型台，购买型台型台；要使每天分拣快递的件数最多，应选择购买型台，型台的方案． 25. 我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于x的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）由题意得，解之即可； （2）由，知，求得，继而可得关于m的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 解得， ∵不等式的解集与不等式的解集相同， 则， 解得 26. 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是_______（用含a，b的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，之间的等量关系是：_______ （3）已知，求的值． （4）如图3，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可； （3）将利用完全平方公式展开，再相加即可得出答案； （4）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案； 另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据图形中的关系得出，利用（2）的结论直接代入即可，最后根据三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 图2中的阴影部分正方形的边长是； 【小问2详解】 之间的等量关系是：， 【小问3详解】 ∵， ∴① ∵， ∴② ∵①+②，得： ∴， ∴， 【小问4详解】 设正方形的边长为x，正方形的边长为y ∴， 解得， ； 另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 27. 若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． （1）在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． （2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． （3）若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【答案】（1）① （2）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式（组）的解集，根据满足条件的整数解有3个列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：解方程①，得：； 解方程②，得：； 解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：解不等式，得 解不等式组． 解①得，解②得， 因为该不等式组有“解集中点”，说明它有解集形式为的解． 所以不等式组的解集为：．此时，即， 该不等式组的“解集中点”： ∵在不等式的解集（即）中，满足大于该不等式组的“解集中点”的整数恰好有个．即满足且的整数恰好有个． 因为是整数且，这个整数只能是2，1，． ∴ ， 解得， 综上所述：的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $