精品解析：河南濮阳市南乐县第一高级中学2026届高三下学期高考模拟试题数学（一）

数学（一） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 若复数，则（ ） A. 25 B. 10 C. 5 D. 3. 若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 某班有3名男生，3名女生竞选班长，班主任随机安排这6人依次上台发表竞选演讲，则竞选演讲的最后一个女生是第4个上台的不同排法总数是（ ） A. 108 B. 144 C. 288 D. 360 5. 已知为直线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. D. 6. 已知函数，与的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. D. 是奇函数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B. 若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C. 若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D. 若数据的平均数为，则的方差为 11. 如图，抛物线的焦点为，的准线为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），直线与轴交于点，且，的中点为，分别过，，，作的垂线，垂足分别为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线的斜率为1，则四边形的面积为 C. 若，则四边形的周长为36 D. 若，则在上存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________． 13. 若偶函数在上单调递减，且对，，请写出满足条件的一个函数________. 14. 2026年马年春晚，宇树科技、银河通用、松延动力、魔法原子通过武术、仿生、对话与精细操作等多种形式集体登台，如此密集且高水准的亮相，让观众不禁感慨人形机器人的迭代速度，仅仅一年，就从需要搀扶上台的青涩表现，进化到能自主玩梗、连续空翻的全新阶段．某款仿生机器人小华在某测试场地测试可视范围，如图所示，测试区域是等腰梯形，，，，，点E在边上，且，小华在点E处看到的区域是五边形（分别在边上）且，则当五边形的面积最大时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． （1）求四棱锥的体积； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对，都有成立，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上的动点，且． （1）求的方程； （2）若在第一象限，直线与只有一个公共点，是轴上一点，且． （ⅰ）证明：直线，关于直线对称； （ⅱ）过原点作的垂线，垂足为，与相交于点，求面积的取值范围． 19. 某商场开展购物抽奖活动，消费超过88元的顾客可以参与抽奖，抽奖规则如下：抽奖箱中有大小形状相同的抽奖券张，分别印着1元，2元，…，元字样，顾客从抽奖箱中有放回地任取次，每次取1张抽奖券，记取出的张抽奖券中最小面额为随机变量，则顾客可以获得元的现金奖励. （1）若，，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，证明：对且，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一） 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的运算直接求解即可. 【详解】因为集合， 所以或. 2. 若复数，则（ ） A. 25 B. 10 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算化简，再由共轭复数的定义求解即可． 【详解】因为， 所以． 3. 若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出底面圆的半径，再由侧面积公式得解. 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为， 则， 所以圆锥的侧面积. 4. 某班有3名男生，3名女生竞选班长，班主任随机安排这6人依次上台发表竞选演讲，则竞选演讲的最后一个女生是第4个上台的不同排法总数是（ ） A. 108 B. 144 C. 288 D. 360 【答案】A 【解析】 【分析】根据插空法及分步计数乘法原理计算即可． 【详解】由题知，竞选演讲的最后一个女生是第4个上台，则前4人中有3名女生一名男生，且第4个上台的是女生， 先选一名男生，将这名男生排到前个位置中的某个位置,再将3名女生排序， 共有种， 再将剩下两名男生排序有种，则共有． 5. 已知为直线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线定理可得，再由平面向量数量积的坐标公式及二次函数的最值即可求解． 【详解】由题意可得， 因为为直线上的一个动点，可设， ， 所以当时，有最小值． 6. 已知函数，与的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设条件结合双曲线定义探求出的关系即可作答. 【详解】设，由于，则，， 根据双曲线定义，，, 即，， 因为，所以， 即，化简得到 又由， 即，即， 化简得到，则. 8. 若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到的表达式,依题意有两个不同的实根，通过换元法，令，将方程转化为关于的方程，分析该方程有两个正根的条件，得到参数的取值范围,利用韦达定理得到与的关系式，将转化为关于的函数,求导，分析其单调性，进而确定取值范围. 【详解】函数，求导得：, 函数恰有2个极值点，即有两个不同实根， 整理得：, 令，转化为二次方程：有两个不同正根， 由二次方程根的分布：,其中， 故, 代入表达式得： , 令，求导得：, 令，，当时，，函数单调递增， 即函数单调递增，，因此在上单调递增， 因此：, 即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. D. 是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据周期公式判断A；根据正弦函数的图像判断B；根据函数平移与解析式关系判断C；根据诱导公式判断D． 【详解】由题知，， 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 因为在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以为偶函数，故D错误． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B. 若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C. 若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D. 若数据的平均数为，则的方差为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A项，因为，所以 80% 分位数为，故 A 错误； 对于B项，因为数据的平均数为4， 则数据的平均数为，故B正确； 对于C项，原7个数据：，方差， 加入数据 5,6,7 后，新平均数为：， ，故C正确， 对于D项，因为，则方差为，故D正确. 11. 如图，抛物线的焦点为，的准线为，过点的直线与相交于，两点（在第一象限），直线与轴交于点，且，的中点为，分别过，，，作的垂线，垂足分别为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线的斜率为1，则四边形的面积为 C. 若，则四边形的周长为36 D. 若，则在上存在点，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线的定义求解判断；对于B，求出直线的方程，联立抛物线，求出坐标，再利用梯形面积公式求解；对于C，设直线，联立抛物线，写出韦达定理结果，根据求出坐标，再求周长；对于D，结合C选项，写出以为弦，圆周角的圆的方程，联立抛物线，判断有无解. 【详解】由题可知，设，则， 对于A，， 而，所以，A正确； 对于B，直线的斜率为1时，直线的方程为， 所以，， 联立，解得或， 即,故 ，， 于是，， 所以四边形的面积为，B正确； 对于C，设直线，令，得，所以， 联立，化简得，所以， 所以， 因为，所以， 又，在第一象限，所以， 所以，， 则，， 所以四边形的周长为，C错误； 对于D，由C选项可知，， 假设存在点，使得，则劣弧所对圆心角为，且圆心在的垂直平分线上， 又的垂直平分线方程为：，即， 设圆心，则， 因为，解得，所以， 所以圆的方程为， 将抛物线方程代入得， 该方程无解，所以在上不存在点，使得，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 13. 若偶函数在上单调递减，且对，，请写出满足条件的一个函数________. 【答案】答案不唯一， 【解析】 【分析】结合偶函数及单调性写出一个即可. 【详解】满足条件的函数可以为， 因为，函数为偶函数， 当时，，函数单调递减， ，所以, 故满足所有条件. 14. 2026年马年春晚，宇树科技、银河通用、松延动力、魔法原子通过武术、仿生、对话与精细操作等多种形式集体登台，如此密集且高水准的亮相，让观众不禁感慨人形机器人的迭代速度，仅仅一年，就从需要搀扶上台的青涩表现，进化到能自主玩梗、连续空翻的全新阶段．某款仿生机器人小华在某测试场地测试可视范围，如图所示，测试区域是等腰梯形，，，，，点E在边上，且，小华在点E处看到的区域是五边形（分别在边上）且，则当五边形的面积最大时，________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为求最小时的值，利用正弦定理及三角形面积公式求出，利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可. 【详解】在等腰梯形中，， ，故， 因为五边形的面积为梯形面积减去和的面积之和， 即， 因为为定值，所以最大等价于最小， 设，则， 在中，由正弦定理可得，得， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即， 由，即，解得， 即当时，有最小值，此时五边形面积最大， 当时，，结合，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的通项公式与前n项和的通项公式，可得到与q的值，代入通项公式即可； (2)由(1)得到的的通项公式代入化简的通项公式，根据裂项相消求和法求出，证明即可． 【小问1详解】 设等比数列公比为q， 因为是，的等差中项，则，即 因为，故， 解得或；当时，不合题意，故舍去； 故; 因为， 代入q可得：； 故：； 故； 【小问2详解】 证明：由(1)可得：； 故， 因为，则，故． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． （1）求四棱锥的体积； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）36 （2） 【解析】 【分析】（1）根据底面是平行四边形，且，得到底面是矩形，从而由，，证明平面MAB，从而，同理，利用线面垂直的判定定理得到平面ABCD，再利用锥体体积公式求解； （2）以A为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面BDM和平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 因为底面是平行四边形，且， 所以底面是矩形， 因为， 所以． 因为，，且， 所以平面MAB， 因为平面MAB， 所以，同理，又， 所以平面ABCD，所以MA是四棱锥的高， 所以四棱锥的体积为； 【小问2详解】 以A为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系： 则， 因为， 所以，即 ， ， 设平面BDM的一个法向量为， 则 ，即， 令，则 ， ，设平面BDE的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，则 ， 设平面与平面所成二面角为， 则 ， 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，对分类讨论即可得解； （2）根据题意，可转化为恒成立，构造函数，根据函数为减函数，利用导数求解即可. 【小问1详解】 , ①当时，恒成立，所以时，，故，单调递减； 时，，故，单调递增. ②当时，的零点为， 当时，，故，所以单调递增； 当时，，故，所以单调递减； 当时，，故，所以单调递增. ③当时，，所以在上单调递增. ④当时，的零点为， 当时，，故，所以单调递增； 当时，，故，所以单调递减； 当时，，故，所以单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时, , 因为， 所以， 即恒成立， 可得， 令， 则不等式等价于对都成立， 即在上是减函数， 因为， 则在上恒成立， 整理可得在上恒成立. 令，则需在上恒成立， 则，解得， 即实数的取值范围为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上的动点，且． （1）求的方程； （2）若在第一象限，直线与只有一个公共点，是轴上一点，且． （ⅰ）证明：直线，关于直线对称； （ⅱ）过原点作的垂线，垂足为，与相交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）(i)证明见解析；(ii) 【解析】 【分析】（1）直接用椭圆定义与焦距公式求标准方程； （2）利用椭圆的光学性质，直接完成对称证明； （3）求切线、垂线、方程，联立求交点，最后利用三角形面积坐标公式，化简后求值域. 【小问1详解】 焦距，由椭圆定义， 所以， 则椭圆C标准方程为. 【小问2详解】 （i）设过点处的切线为，因为，所以切线的斜率一定存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，即， 又因为满足，所以代入得， 则椭圆在处的切线方程为. 即斜率， 因为，所以直线 (即点M的法线)的斜率. 设与法线MN夹角分别为，因为，所以. 由夹角正切公式：，， 因为，代入得； (M在第一象限， )， 即，即MN平分，所以直线关于MN对称，得证 （ii）由题，切线方程：，过原点与垂直的直线OA方程：， 直线方程：.联立OA与切线：， 解得垂足； 联立直线与的方程：，解得交点. 利用三角形面积坐标公式得 =， 用化简式子得. 令，因为，所以，则. 令，，，令， 即单调递增；单调递减. 所以 ，端点处 ，所以 19. 某商场开展购物抽奖活动，消费超过88元的顾客可以参与抽奖，抽奖规则如下：抽奖箱中有大小形状相同的抽奖券张，分别印着1元，2元，…，元字样，顾客从抽奖箱中有放回地任取次，每次取1张抽奖券，记取出的张抽奖券中最小面额为随机变量，则顾客可以获得元的现金奖励. （1）若，，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，证明：对且，． 【答案】（1）； （2）2； （3）见解析. 【解析】 【分析】(1) 根据古典概型概率计算公式求解； (2) 当时，；当时，，从而得到的最小值； (3)先求出，然后结合不等式进行放缩，再利用等比数列求和，得到，从而得证. 【小问1详解】 ，，即为从3张抽奖券，有放回地任取2次，共有种取法；即 最小面额为2元，则两次取的抽奖券可能都是2元，或第一次取到2元、第二次取到3元， 或第一次取到3元、第二次取到2元，共有种取法，所以. 【小问2详解】 当，则的可能取值是1，2，3，4， 当时，， ，不满足； 当时，， ，， ，满足， 所以的最小值是2. 【小问3详解】 当，则的可能取值是1，2，…，， 当抽到的抽奖券是1元，2元，3元，…，或元时，共有种； 当抽到的抽奖券是2元，3元，…，或元时，共有种，所以； 当抽到的抽奖券是3元，4元，…，或元时，共有种，所以； 递推可得，1，2，…，. 所以 设函数，，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即 令，1，2，…，，则，所以， 即，从而，所以 . . 所以对且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $