山西太原市第五中学校2025-2026学年高二下学期期中质量评估数学试题

**基本信息** 高二下学期期中数学卷，通过函数单调性、立体几何翻折、概率分布列等问题，考查数学思维的逻辑性与数学语言的精确表达，适配阶段性知识综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数、数列、概率、导数、双曲线|基础概念与运算结合，如导数切线方程（7题）| |多选|3/18|概率统计、排列组合|辨析性问题，如独立事件与互斥关系（9题）| |填空|3/15|导数应用、排列组合、三次函数拐点|创新定义应用，如“拐点”求对称中心（14题）| |解答题|5/77|二项式定理、概率分布列、函数零点、立体几何|综合性强，如函数极值与零点证明（19题）、翻折问题空间论证（18题）|

秘密★启用前 2025~2026学年（下）高二中期质量评估 数 学 注意事项: 1 . 本试卷满分 150 分 , 考试时间 120 分钟。 2. 答题前 , 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3. 全部答案在答题卡上完成 , 答在本试题卷上无效。 4. 回答选择题时 , 选出每小题答案后 , 用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 , 用橡皮擦干净后 , 再选涂其他答案标号。 5. 考试结束后 , 将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，则等于（   ） A．1 B．4 C．1 或 3 D．3 或4 3．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 7．已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 8．已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（   ） A．若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D．若随机变量X的数学期望，则. 10．已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13．某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________. 14．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1) 求的值； (2) 求展开式的常数项； (3) 求展开式中系数绝对值最大的项. 16.（15分） 甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1) 求甲、乙面试都合格的概率； (2) 记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 17.（15分） 已知函数. (1) 当时，讨论函数的单调性； (2) 当时，函数有两个零点，求a的取值范围. 18.（17分） 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. (1) 证明：平面. (2) 若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 19.（17分） 已知函数，其中. (1) 当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2) 若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围； (3) 若有两个不同的零点，，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年（下)高二中期质量评估 数学参考答案 1.C 【详解】f'(x)=cosx,.f(0)=1,.f(x)=sinx+1, =sim5+1=2. 2.C 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为C=Cgm1,所以m=2m-1或m+21-1=8, 解得=1或m=3,经检验符合题意. 故选：C 3.D 【详解1当m>2时.&=8及六1（台 1 n0-1) f2,n=1, 当n=1时，4=2，不满足上式，所以a= 1 ,n≥2 n(n-1 4.C 【分析】根据P(x≥刀)=名可得出关于的等式，解之即可 2 【详解】由概意，得X=)=X=2:=月X=月是 所以P(X27)对应X∈7,8,9，，n},共n-6个取值， 则P(X≥7)=2,6-2，即3-6)=2n,解得n=18. 5.D 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C,再根据 x<O时函数值的特征排除B. 【详解】由题意得，函数f()的定义域为x≠，了)=e,x2x》 2(x-1)2 所以当<0或x>号时f)>0,当0<x<1或1<x<2时)<0， 所以在(.和-小上年酒适始。在0，有)上年训滋减，放排脸A心 答案第1页，共11页 当x<0时，2x-1<0,x-1<0,e>0,所以f(x)>0,故排除B. 故选：D. 6.C 【分析】根据递推关系式，化简变形可得1-1=)1-1即可判断数列仁-小是公比为 a+2a月 的等比数列 【详解】，a+1= 9n+1 1-g11L1 +1 2.22’ 1 ∴.- 既不是等比数列也不是等差数列： 2 a 数列 1-1是公比为 的等比数列， 故选：C 7.D 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程为y=2x+1,设曲线y=8(x)的切点为 (6,g(飞》，求导得8(3)=上=2，解出七得到切点，再代入得到b即可。 【详解】解：由题知，'(x)=e+1,f(0)=1,f(0)=2, ∴.曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2x,即y=2x+1. ·8(=血x+b,∴g()= 设直线y=2x+1与曲线y=8(x)的切点为(，g(), 则g)名2用米=分6)[付)62. 1 又b-n2=2×5+1,.b=2+m2. 2 8.A 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线AB、AC的斜率互为相反数，进而结 合韦达定理建立关于m,a的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 答案第2页，共11页 [y=-x+m, 【详解】设B(:,),C(5,乃)，由x a2=1 整理得(1-a)x2+2a2x-a2-a2=0, 则1-a2≠0，且△=4am2-41-a2)(-a2m2-a2)=4a2(1+m2-2)>0 2a'm 5+=13=+ d2-1 因为∠BAC的角平分线与x轴始终垂直，所以m∈R,恒有ks+kAc=0, 即当-，+-号=0，所以(0y-1k-2)+(051(x-2)=0, x-2x2-2 则(-x+m-1)(53-2)+(-53+m-1)(5-2)=0, 整理得-2x5+(m+1)(5+5)-4(m-1)=0, 则-2ga02《a1-0 所以(a2-2)(-1)=0, 又m≠1，所以a2=2, 因此双曲线E的离心率为e=1 VV2-2 9.AC 【详解】对于A,若A,B相互独立，则A,B不互斥，若A,B互斥，则A,B不相互独立，故A 正确： 对于B,数据2,3,4,5,6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数， 是生45，散出铝误 对于C,在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得E(X)=0.7, 故C正确： 对于D,由E(X)=2.8得E(3X+2)=3×E(X)+2=10.4,D错误. 答案第3页，共11页 10.CD 【分析】根据阶乘和排列数运算公式，进行推理和判断选项中的运算是否正确即可. 【详解】A=10x9x8x7≠10x9以8x7X6X5=A品，放A错误：A》火 =n-1)(-2), A31+A2=(0n-100n-20n-3)+01-1)0n-2)=01-1001-2)2,则A≠A2+A1,故B错误： 0+1)A=0+10,=0m+0! n+1)1 (-!(n-m！[n+1)-+1] =A州，故C正确； Aa#=1.n1 1 n！ n-m n-m(n--1)！(n-m =A,故D正确 故选：CD 11.ABD 11 【分析】根据题意可得P:=B+3,直接求出P,即可判断A:利用条件概率求出 P(A+2A)即可判断B:对于C,利用构造法即可判断C;对于D,结合C的结论即可得到 11 =2十4x3,再利用等比数列前”项和公式求解即可。 【详解】由己知得第(n+1)次分类正确的概率为P+1=P(AA)Pm+P(AHA)1-Pn) =*0)+ 1 1 1.113.17 对于A,PA=3B+写方×+有五放A正确： 对于B,P(AlA)=P(AHlA)P(AA)+P(AlA)P(A+lAH） 所以{公}是首项为宁，公比为的等比数列，则以+ 1 不是等比数列，故C错误； 1. .=2+4x3 所以数列a}的前项和为立A-分+引司，故D正第。 12.y=3x+1 【详解】f(0)=e°=1，又f(x)=3e3x,则f'(0)=3e°=3， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1. 13.28 【详解】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口. 答案第4页，共11页 ①两个路口为1+3人分配，共有C,CA=8种安排方案 ②两个路口为2+2人分配，共 CC×A;=6种安排方案，此时共有8+6=14种安排方案 A 同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有8+6=14种安排方案. 所以共有14+14=28种不同的安排方案。 14.2025 【分析】由新定义确定g(x)的对称中心，即可求解 【详解1解：因为g)=写-+音所以g(=-3。ge)21, 5 令g"(x)=2x-1=0,得x= 又 =1, 所以g(x)的对称中心是 所以g(1-x)+g(x)=2, 所以 2 2025Y +…+8 2026 1 2025 2 2024 「(2025 1 5(2026 2026 2026 +8 2026 2026 2026 =2×2×2025=2025. 1 15.(1)n=6 (2)T,=60 (3)T3=240.x 【分析】(1)由第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，可列出关于的方程再求解： (2)结合展开式的通项公式，得出x指数的表达式，令其为零即可求解； (3)由结合数列的最值列出r的不等式组，解得r的范围即可 【详解】(1)依题意可得第2项的二项式系数为C,第3项的二项式系数为C, 2 所以 C25 ,即nn-)-5,则-6n=0,n=6或n=0(舍去)： 2×1 22- 展开式的通项为T1=C%(2) =-Iy2C号(0≤r≤6，reN, 令6-=0，解得r=4,所以工)=2Cgr=60,所以常数项为第5项60. 3 (3)系数的绝对值为C6×2-, 答案第5页，共11页 [6! -×26-1 6! Cx2≥C2…则！6-p ∫Cg×26-12Cgx27- 7-x0-g×2 6! 6! 6-xx2产6-n+0*2” [1≥2 r 7-r 7-r≥2r4 所以 即 2 1， 2r+2≥6-r'3 ≤3，所以，r=2 -> 、6-rr+1 因此，系数绝对值最大的项是T,=240x 9 16.()50 (2)分布列见解析 【分析】(1)先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通 过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率： (2)先确定随机变量X的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率， 最后整理得到分布列. 【详解】(1)设事件A:甲面试合格，事件B:乙面试合格，事件C:甲、乙面试都合格， 由题知，A,B相互独立，C=AB, :P(A)= 言P@ C5' P(C)=P4B)=P4)PB0亏50， 339 甲、乙面试都合格的概率为。 (2)由题知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4， r-小器有x-小E8高 C2C 10 P(X=3)=cicici+ccic 12 cc 25 P(X-4)- 501 X的分布列为 X 1 2 3 4 ò 1 3 2 0 10 50 17.(1)答案见解析 (2)(We,+w) 【分析】(1)对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数α的取值进行分类讨论， 即可得出结论； 答案第6页，共11页 (2)得出函数在1，+n)上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得α的取值范围. 【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 易知f'(x)=(2x-2a)nx+1)=2(x-a)(lnx+1), 1 令f'(x)=0,解得x1=a,x2=三 e 当0<a时，xe@a xa r@ox日rw>0 :心的单调道描区间为®a心利仁+切小o)的单调递减区间为a)】 当a日时、f20恒成立。在0+上单词道将： 当a>时，sc01>ae(ae)<0 xc@.1)f>)0, f的单河递猫区何为0号)和a,J)的单调湿减区间为（怎a】 、1 e (2)f"(x)=2(x-a(nx+1),x∈[1，+o). 当a≤1时，f"(x)≥0，则f(x)在1，+∞)上单调递增 1 )≥f0,即f≥函数)在L,+)上没有零点 当a>1时，x∈1，a),f'(x)<0,x∈(a,+w),f'(x)>0, ∴f(x)在1，)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增， f0}0f2网-2a>0. 因此要使得f(x)在1，+o)上有两个零点，只需f(x)m=f(<0, oha+号引0，解得avE 综上，a的取值范围为(e,+o) 18.(1)证明见解析 ai)D,()5 10 5 【分析】(1)利用直线方向向量和平面法向量垂直证明线面平行即可： (2)()建立空间直角坐标系，结合方向向量和法向量以及点到平面的距离公式计算距离： (i)利用空间中线段最短的性质，确定P位于线段DQ,再分别求出平面PEC与平面B'EC 的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，因为AF∥BE,AF=BE=AB=1, 所以四边形ABEF为正方形， 则EF⊥EC,EF⊥BE,即EF⊥B'E,又B'E∩EC=E, 所以EF⊥平面B'EC,则EF是平面BEC的一个法向量， 同理证得EF⊥平面A'FM,又A'MC平面AmM, 所以EF⊥A'M,即EF⊥AM, 又A'M丈平面BEC,所以A'M∥平面B'EC 答案第7页，共11页 (2)连接MB,MB,由(1)知，AB∥EF,且EF⊥平面A'FM, 所以A'B⊥平面AM,则AB'⊥AM, 因为平面AB'EF⊥平面ECDF,且BE⊥EF,平面A'B'EF∩平面ECDF=EF, 所以B'E⊥平面ECDF,又MEc平面ECDF,则B'E⊥ME, 在Rt△A'B'M,Rt△B'EM中，当O为B'M的中点时，点O到A,B',E,M的距离相等. ()由上知，EC,EF,EB两两垂直，以E为原点，以EC,EF,EB所在直线分别为x, y,z轴建立如图所示空间直角坐标系E-xz, 则4ou山.rao.cn0.l0.©酒-a-10 c-a.0= 设平面A'B'C的法向量为m=(5,,一)， AB.=-X=0 BCm=3y-=0'令5=1，则m=10,3) 所以点Q到平面AB'C的距离为d= B0·m110 网 V1010 (i)由PQ=Mg=QA'=QB=QB可知，点P在以e为球心，以二BM= 5为半径的球的 2 球面上， 当2，P,D共线，且P位于线段DQ上时，PD取得最小值 由坐标系可知，D(3,1,0), 网--9切- 则cm-+m-(》8若动-又c-a0. 设平面PEC的法向量为p=(x,乃，2)， o=++=0, 2 1 ,令y3=1,则p=(0,1,-2), EC.币=3x2=0 由(1)知EF=(0,1,0)是平面BEC的一个法向量，记为g=EF, 答案第8页，共11页 于是cos，d= 1-5 故平面PBC与平面B'BC夹角的余弦值为5 19.(1)f(x)在(0，+o)上单调递增，理由见解析 (2)(0,+o) (3)证明见解析 【分析】(1)代入参数值简化函数形式，利用导数作为判断单调性的工具，在导函数中，结 合指数函数和反比例函数在定义域内的取值范围，判断其恒正，从而得出函数单调递增的结 论： （2)函数存在极值点的条件转化为其导函数存在变号零点的问题，通过分离参数构造新函 数，利用导数研究该函数的单调性与值域，从而确定参数取值范围，使方程有解： (3)利用零点等式将指数函数表达式转化为代数形式，并将待证不等式转化为关于零点的 乘积不等式，通过对零点取值范围的分类讨论，结合指数函数的基本不等式及参数范围，分 别证明各因式大于对应变量，最后通过不等式相乘完成证明 【详解】(1)由题意知，当a=-1时，函数f(x)=e+nx-x的定义域为(0，+o), 求导得f"(x)=e+1-1.当x>0时，e>1,且>0，因此f"(x)>0恒成立， 所以∫(x)在(0，+o)上单调递增 (2)由题意知，函数f(x)=e-alnx-x的定义域为(0，+o),求导得f(x)=e-a-1, 函数∫(x)在定义域内存在极值点，则其导函数∫'(x)定义域内存在变号零点， 即e-1-年所以a=e-, 设a=8(x)=x(e-1),则g(x)=(e*-)+xe*=c+1)e-1, 当x>0时，e>1,且x+1>1,所以g'(x)>0,即g(x)=x(e-1)在(0，+o)上单调递增， 又g(0)=0,当x→+m时，g(x)→+n,因此当a>0时，方程g(x)=x(e-1)有唯一解， 即存在唯一的极值点；当α≤0时，方程无解，无极值点， 故实数a的取值范围为(0，+o). (3)设0<<x,则f()=f(5)=0, 则es-￥-ainy=0,e9-x2-alnx,=0, 即es=x+adny,e=为+an, 两式相乘得：e1+”=(alnx+)(adnx2+x) 答案第9页，共11页 要证e+>xx2,即证：(ahy+)(aln+x)> 由题意，函数∫(x)有两个不同零点， ①若a=0,则f(x)=e-x,求导得f"(x)=e-1, 当x>0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增： 又f(0)=1>0,故f(x)>0恒成立，无零点，与题设矛盾， ②若a<0,令a=-b(b>0), J(x)=e'+blx-x.f(x)=e'+B-1. 当x>0时，e>1,>0,故f(>0恒成立， f(x)在(0，+o)上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾， 综上，函数有两个不同零点时，必有a>0,且>0，x2>0. 现证x>1,假设0<：≤1： 若=1，则hx1=0,代入e=x1+anx得e=1,矛盾， 首先证明不等式e>x+1,x>0,设p(x)=e-x-1,x>0, 则p(x)=e-1>p'(0)=0,则p(x)在(0，+o)上单调递增， 则p(x)>p(0)=0,则e>x+1在(0，+o)上恒成立， 若0<x<1,则ny<0,由e=1+anx1, 及不等式e1>x+1可得：+anx1>x+1, 即any>1因为lnx,<0,所以a<0,与a>0矛盾， 故5>1，同理可得x2>1. 因为x>1,x2>1,所以hx1>0,hx>0,结合a>0, 有：alnx+5>x>0,alnx+5>>0, 两式相乘得：(any+)(any+x2)>x2, 答案第10页，共11页 即e+>2,原不等式得证. 答案第11页，共11页