精品解析：山西太原市第五中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

太原第五中学2024—2025学年（下）高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（8*5=40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解法及对数函数的单调性求解不等式，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解不等式，， 所以． 故选：A． 2. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】由散点图可知，图（1）中两个变量成正相关，且散点图近似在一条直线上，所以且； 图（2）中两个变量成负相关，且散点图比较分散，所以且； 所以. 故选：D 3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】圆台的侧面积为. 故选：B． 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式求解． 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：A． 5. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造等差数列，再结合通项公式计算求解. 【详解】因为，左右同乘，所以， 为首项是1，公差为3的等差数列，所以， 所以， 故选:C. 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由双曲线的定义可求得，，在中应用余弦定理可得，由即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 又，， 所以， 所以，所以，所以. 故选：. 7. 设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（ ） 附：若，则. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 8. 已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，可知该函数在上为增函数，由此可得出，其中，利用导数求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 即， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，即，其中， 令，其中，则. 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是将所求不等式进行转化，通过不等式的结构构造新函数，结合新函数的单调性来求解. 二、多选题（3*6=18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正方体的表面积和体积是相关关系 B. 已知函数，则 C. 若，且，则 D. 已知随机变量，若，则函数为偶函数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数关系判断A，根据除法导数运算律计算判断B，根据二项分布及数学期望性质判断C，根据正态分布的性质结合偶函数定义判断D. 【详解】A是确定的函数关系，所以错误； B选项，∵，∴.故B错误； C选项，因为，所以.又，所以，故C正确； D选项，若，则区间和关于直线对称， ∴，则， ∴函数为偶函数. 故选：CD. 10. 已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在，两点处的切线相交于点的中点是，若，则（ ） A. B. 的准线方程是 C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据焦半径公式求出，即可得到抛物线方程，从而判断A、B，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，表示出点坐标，即可判断C，利用导数的几何意义表示出切线方程，联立求出点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为，所以，解得， 所以抛物线，准线方程为，故B正确； 又点在抛物线上，所以，解得，故A错误； 设直线的方程为，由，可得， 设，，则，， 所以的中点的横坐标为，则， 即，显然，所以点在抛物线上，故C正确； 由，则，所以抛物线在，两点处的切线分别为，， 则，解得， 所以， 所以，即点在的准线上，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（ ） A. 函数不可能有三个零点 B. 函数的减区间为 C. 对于任意的，函数在区间内均存在零点，则 D. 存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可说明A，利用导数求出函数的单调区间，即可判断B，首先说明单调性，则，即可求出的取值范围，从而判断C，找到特殊值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以在定义域上单调递增，所以函数不可能有三个零点，故A正确； 对于B：因为，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故B错误； 对于C：当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 又， 所以函数在内均存在零点只需满足即可， 即，所以， 所以且， 又为正整数，所以，即，故C正确； 对于D：令，解得， 当时，， 则当时，，所以是上的严格增函数， 所以． 所以． 所以是恒为的常数列，故存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（3*5=15分） 12. 下列5个数据，，1，，的第40百分位数为______. 【答案】0.9## 【解析】 【分析】根据百分位数可得答案. 【详解】从小到大排列后，得到，由于，则求与1的平均数为0.9. 则第40百分位数为0.9. 故答案为：0.9. 13. 已知函数，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出草图，借助对数性质，得到范围. 【详解】根据题意画出图象，得到， ，则， 即，则，则，则. 故答案为：. 14. 由正三棱锥得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知三棱台的球心在直线上，设三棱台的外接球的半径为，根据几何关系可得出关于的方程，求出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为， 因为是边长为的等边三角形，故，可得， 同理可得， 设三棱台的外接球的半径为，易知三棱台的球心在直线上， 在中，， 在中，， 又三棱台的高为， 因为，所以， 故球心在的延长线上，则，解得， 因此，球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前n项和为，点在直线上，． （1）求数列的前n项和以及数列的通项公式； （2）若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入直线得出，由与的关系求解通项公式即可； （2）由得出，则当，2，3时，，当时，，即可求解的最小值． 【小问1详解】 由题意知，则， 当时，， 当时，， 因为符合， 所以． 【小问2详解】 ，令， 所以当，2，3时，，当时，， 故． 16. 甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数y 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与1.03（cm）的误差不超过0.01（cm），其余零件为二等品． （1）试根据上述数据建立一个2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关？ （2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用，设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意写出二联表，代入公式计算即可； （2）所求概率为超几何分布，代入公式求概率，列表格求得数学期望. 【小问1详解】 2×2列联表为： 一等品零件数 二等品零件数 合计 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 零假设为：加工零件是否为一等品与甲、乙无关． 由列联表得：， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关． 【小问2详解】 抽取出的7个一等品零件中，甲加工的4个，乙加工的3个． 的所有取值为：0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 17. 已知函数，为实数. （1）若函数在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； （3）若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，由导数的几何意义可得切线方程，将点代入即可求解； （2）通过求导可得函数的极小值为，即可求解； （3）令，由已知可得在单调递减，将问题转化为求在上恒成立问题，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又，所以函数在处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，极小值为， 由，所以，所以的取值范围为； 【小问3详解】 由得， 令，所以对任意的，且，恒成立， 所以在单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为二次函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以. 18. 在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 ，. 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 以点A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 由，，. ，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，取. 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为， 则，故， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知过点的椭圆的离心率为. （1）求的方程； （2）已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得即可； （2）联立直线与椭圆方程，消元，设，，列出，，；（i）由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，即可求出，即可得证；（ii）由斜率公式得到，即可求出定点坐标. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由，消去整理得， 则， 设，，则，， 所以 ； （i）因为直线与圆相切，所以，即， 所以， 所以，即， 所以以为直径的圆经过坐标原点； （ii）因为椭圆的左顶点为， 所以 ， 所以，即， 所以或； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，此时，符合题意； 故直线恒过定点，定点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原第五中学2024—2025学年（下）高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（8*5=40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. C. 20 D. 5. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（ ） 附：若，则. A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3*6=18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正方体的表面积和体积是相关关系 B. 已知函数，则 C. 若，且，则 D. 已知随机变量，若，则函数为偶函数 10. 已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在，两点处的切线相交于点的中点是，若，则（ ） A. B. 的准线方程是 C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上 11. 已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（ ） A. 函数不可能有三个零点 B. 函数的减区间为 C. 对于任意的，函数在区间内均存在零点，则 D. 存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列 三、填空题（3*5=15分） 12. 下列5个数据，，1，，的第40百分位数为______. 13. 已知函数，若，则的取值范围是__________. 14. 由正三棱锥得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为____． 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前n项和为，点在直线上，． （1）求数列的前n项和以及数列的通项公式； （2）若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值． 16. 甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数y 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与1.03（cm）的误差不超过0.01（cm），其余零件为二等品． （1）试根据上述数据建立一个2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关？ （2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用，设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 17. 已知函数，为实数. （1）若函数在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围； （3）若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数） 18. 在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 已知过点的椭圆的离心率为. （1）求的方程； （2）已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $