精品解析：山西忻州市原平市范亭中学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级期中考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：选择性必修第三册 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列的知识求得正确答案. 【详解】从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标， 不同的点的个数是种. 故选：C 2. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 3. 随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项及分布列的性质即可求解. 【详解】因为a，b，c成等差数列，所以， 由随机变量X分布列的性质知，， 联立，解得， 所以. 故选：D. 4. 在的展开式中常数项为6，则（ ） A. B. 1 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为0即可求解. 【详解】展开式通项 ，令 得. 所以常数项为，解得. 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 6. 计算除以所得的余数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式可求得结果. 【详解】因为 ， 故除以所得的余数为. 7. 一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”，利用全概率及贝叶斯公式计算概率即可． 【详解】解：设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”， 则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”， ， ， 所以． 8. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据（，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（ ） A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新数据的平均值，然后计算新数据的回归方程，进而根据残差定义计算. 【详解】因为过点，将代入得. 增加两个样本点后x的平均数为，，. 所以新的经验回归方程为，当时，. 所以样本的残差是，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法 C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法 D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用捆绑法，消序法，插空法，间接法来求解带限制条件的排列问题即可. 【详解】对于A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故A正确； 对于B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有种不同的排法，故B正确； 对于C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故C错误； 对于D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有种不同的排法，故D正确； 故选：ABD. 10. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性、性质、均值和方差等知识对选项逐一判断. 【详解】因为服从正态分布， 所以，所以A正确，D错误； 根据正态分布的性质可知，所以B正确； 因为. 所以. 所以，所以C正确. 故选：ABC. 11. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，则，中较大的是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据散点图的分布情况判断可得. 【详解】由散点图知，用拟合的效果比拟合的效果要好， 所以，故较大者为. 故答案为： 13. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】（1）根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解. 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种. 故答案为：144种. 14. 一个质点在 轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到质点向右移动4次，向左移动1次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，质点从原点出发，移动五次后到达点， 可得质点向右移动4次，向左移动1次，所以概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列． （1）求出展开式中的项； （2）求出展开式中系数最大的项． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据仅有第5项的二项式系数最大求出，根据前三项的系数成等差数列求出； （2）设第项系数最大，则，解不等式组即可得解. 【详解】（1）二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列， 仅有第5项的二项式系数最大，所以， 二项式的展开式中，通项， 前三项系数成等差数列，所以， 解得：或（舍去） 通项：，， 所以展开式中的项； （2）设第项系数最大，则解得：， 所以展开式中系数最大的项. 16. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． （1）求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； （2）求乙罐中取出红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件，由条件概率的公式求得对应概率； （2）设事件，由全概率的公式求得对应概率. 【小问1详解】 设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件， ∴由题意得， ∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为. 【小问2详解】 设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件， 由题意可知事件两两互质， ∴. ∴乙罐中取出红球的概率. 17. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表． 单位：人 体验 性别 合计 青年男性 青年女性 较好 200 一般 100 合计 （1）求出x，y的值； （2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小； （3）依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？ 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）青年男性有较好体验的概率为，青年女性有较好体验的概率为，且青年男性更大 （3）该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）结合列联表，直接列式子求解即可； （3）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论． 【小问1详解】 由题意，得，解得． 【小问2详解】 由（1）得， 体验 性别 合计 青年男性 青年女性 较好 120 80 200 一般 30 70 100 合计 150 150 300 所以该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率，对于青年男性为， 对于青年女性为，因此青年男性概率更大． 【小问3详解】 零假设为：该游戏软件的使用体验与体验者的性别无关， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关． 18. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若小清､小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率； （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1） （2）小杰选择第一种抽奖方案更合算 【解析】 【分析】（1）首先求出每位顾客享受到免单优惠的概率，再利用相互独立事件与对立事件的概率公式计算可得； （2）分别求出小杰选择方案一、方案二付款的期望值，即可判断. 【小问1详解】 解：方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以小清､小北二人至多一人享受到免单的概率为 . 【小问2详解】 解：若小杰选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0､600､700､1000， 所以，， ，. 故的分布列为 0 600 700 1000 所以（元）. 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由已知可得，故. 所以（元）. 因为， 所以小杰选择第一种抽奖方案更合算. 19. 一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 （1）已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； （2）某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1）； （2）是理想的 【解析】 【分析】（1）通过对所给的函数模型取对数，转换为求回归直线方程即可，再结合题中所给的直线方程与数据即可得解. （2）利用（1）中求得的函数模型进行预测，结合回归方程理想的定义判断即可. 【小问1详解】 将的等号左右两边同时取自然对数得， 所以．， 而， 所以， ． 所以，即， 所以． 【小问2详解】 2023年对应的年份代码为7， 当时，，， 所以（1）中求得的回归方程是理想的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级期中考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：选择性必修第三册 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 24 2. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中常数项为6，则（ ） A. B. 1 C. D. 6 5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 6. 计算除以所得的余数为（ ） A. B. C. D. 7. 一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据（，2，3，…，18），其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（ ） A. 3.15 B. 1.75 C. 2.35 D. 1.95 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法 C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法 D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法 10. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A. B. C. D. 11. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，则，中较大的是________. 13. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 14. 一个质点在 轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且展开式中的前三项的系数成等差数列． （1）求出展开式中的项； （2）求出展开式中系数最大的项． 16. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． （1）求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率； （2）求乙罐中取出红球的概率． 17. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表． 单位：人 体验 性别 合计 青年男性 青年女性 较好 200 一般 100 合计 （1）求出x，y的值； （2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小； （3）依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？ 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若小清､小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率； （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 19. 一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 （1）已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； （2）某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $