2026年山东省济南市章丘区二模数学试题

章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（二）参考答案 一、选择题 1.A2.C 3.C4.A5.D6.B7.D8.B9.C10.B 二、填空题 11.s3,且x4012.85-813.3元 14.3 15.√2 三、解答题 -2c0s45°+V2-2+(m-2026)°+v8 卡4-2x2-(2-21+22 …5分 =4-√2+2-√2+1+22. …6分 =7。 …7分 17.解不等式①，得：x>-4… …2分 解不等式②，得：x≤2 …4分 不等式组的解集为-4Kx≤2…6分 .不等式组的整数解为-3，-2，-1,0,1,2 ∴.所有整数解之和为-3(-2)+(-1)+0叶1+2=-3… …7分 18.证明：四边形ABCD是平行四边形 ..AB//CD,AB=CD,AD=BC ∴.∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE… …3分 E为BC的中点 。.EB=EC… 4分 ∴.△ABE≌△FCE(4AS… …5分 ∴AB=CF ,AB∥CF .四边形ABFC是平行四边形… …6分 AF-AD ∴.BC=AF 平行四边形ABFC是矩形.…7分 数学参考答案第1页，共9页 19.(1)四边形OCDE始终为平行四边形，OE=8cm .CD=OE=8C…1分 ,当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上 .AB=DE+DB=DE+CD+BC=16+8+17=41(Cm)…3分 答：滑动轨道AB的长度为41cm: (2)如图，四边形OCDE为平行四边形，过点C作CH⊥AB交AB于点H, F D A B H .ED=CO=16cm :CH⊥AB,∠COB=30° 在R△0CH中，CH=C0=8Cm,cos∠COH=cos30°=O5=5 2 2 0H=00-c0s30°=16Xg8N86m）………5分 又，CH⊥AB,CB=17cm 在直角三角形BCH中，由勾股定理得：BH=√BC2-CH2=l5(cm)…7分 .OB=OH+HB=15+83(cm), :.限位器P的位置离A点41-15+8v3)=26-8V3(cm), 答：限位器P应装在离A点(26-8√3)c的位置.…8分 20.（1)证明：连接OF ED⊥AF,EG⊥CF .∠DEA=∠EGF=90° 在Rt△DEA和Rt△EGF中 「AE=GF D AD=EF '.RtDEA≌RtAEGF(HL) ..∠GFE=∠EAD .OF=OA ..∠OFA=∠OAF :CA是OO的切线，点A为切点 数学参考答案第2页，共9页 ∴.∠DA0=90° .∴.∠DAE+∠FAO=90° ∴.∠GFE+∠OFA=90,即∠CFO=90° ,OF是⊙0的半径 CF是⊙O的切线；… …4分 (2)解：：∠BAC=90°，AC=6 sin B=AC=6 2 BC BC3 .CB=9 ..BA=BC2-AC2=192-62=35 ,∠CFO=90° ∴.∠BFO=180°-∠CFO=90° 在Rt△BFO中，sinB=OF=_OF OF 2 OBAB-A03√5-OF 0r=65 即00的半径为5 电年。电。事。。。。用由。。。。用用用 …8分 21.（1)② …1分 (2)6;51;45… …4分 （3)53,72… …6分 (4)300×(25%+10%)=105(人) 答：超过60分钟的学生人数为105人.… …9分 22.（1)设每个篮球的售价为a元，每个足球的售价为b元， 3分 由2意可得：气02}240.…34 解和g0 答：每个篮球的售价为120元，每个足球的售价为80元；… …5分 (2)设购买篮球x个，则购买足球（100-x)个，总费用为w元， 由题意可得：w=120x+80（100-x)=40x叶8000…7分 w随x的增大而增大 ,足球个数不超过篮球个数的4倍 ∴.100-x≤4x 解得之20… …9分 数学参考答案第3页，共9页 ,∴.当x=20时，w取得最小值，此时w=8800,100-x=80 答：费用最少的购买方案是购买篮球20个，足球80个，该方案所需费用为8800元.…10分 23.(1)设直线AB的解析式为Jy=mx+n 将点A(-2,0),点B(0,2)代入 (r0 解得 ..y=x+2 将C(a4)代入y=x+2中 ∴.H2=4 解得作2… …1分 .C2,4) 将c0,4代入月 .k=8 反比例函数解折式为y是：…2分 (2),“△ACE的面积与且△ACD的面积相等， E点在过D点且与AB平行的直线上， 设过D点与直线AB平行的直线解析式为Jy=x+b, .4+b=0, 解得=-4， Jy=X-4…3分 0"=x-4 联立方程组 解得232或x-23+2 …5分 Uy=2V3-26y=-2V3-2 ,点E在点C的右侧 ∴.E(2V+2,2V√3-2)：… …6分 (3)(g,3)或5-V17,5+V17.… …10分 设M,8)e0) 当F点在直线AB上时，过点M作GH//x轴，过点F作FG⊥GH交于G点，过点D作DH⊥GH交于点 H 数学参考答案第4页，共9页 .∠FMD=90 ∴.∠GMF+∠HMD=90° .'∠GMF+∠GFM=90° ∴.∠HMD=∠GFM FM-MD G M H ∴.△MFG≌△DMH(4AS ..MH-GF,GM-HD ,88 F4+0 D 8 8 4t+2 解得 M(33): 当N点在直线AB上时，过点D作PQ∥y轴，过点M作MP⊥PQ交于点P,过点N作NQ⊥PQ交于点 Q 同理可得△MPD≌△DQN(AAS) ..MP=DQ,PD=NQ M 8 N4-4) 冰4+2 0 解得t5+V17或t5-√17 ,M点在D点的左侧 .M5-V17,5+V17: 综上所述：M点坐标为(，3)或(5-√17,5+VT7. 24.解：(1)抛物线y=x2+x+c经过点A(1,0),C(0,-3), ÷003解得： .抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3: …4分 (2)①若点P在x轴下方，如图1 延长AP到H,使AH=AB,过点B作BI⊥x轴，连接BH,作BH中点G 连接AG并延长AG交BI于点F,过点H作HI⊥BI于点I 数学参考答案第5页，共9页 当x2+2x-3=0,解得：x1=-3,=1 .B(-3,0) A(1,0),C(0,-3) ∴.0A=1,0C=3 B AC-V12+32=V10,AB=4 F △0C中，m∠AC02晋cos∠Ac0-G AC 10 AB=AH,G为BH中点 图1 .AG⊥BH,BG=GH ∴.∠BAG=∠HAG,即∠PAB=2∠BAG ,∠PAB=2∠ACO ∴.∠BAG=∠ACO 在RIAABG中，∠AGB=9°，sin∠BAG=-BC-o AB 10 .BG-AB- .BH-2BG-4V10 5 ,∠HB+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°， '.∠HBI=∠BAG-∠ACO, Rt△BHI中，∠BIH-90,sin/HBI=--YD, BI 3V 10 Ba10,cos∠HBI=a10, ∴证巴Bm专B肛NGBm号 xr-3+g号m号 即取共号》 设直线AH解析式为Jy=k+a, (k+=0 {号+号解得： 3 5 -4 33 .直线AH:J=x4 解每：即点0， 5 4 0y=x2+2x-3 y2= 16 939 P(416方 ②若点P在x轴上方，如图2， 数学参考答案第6页，共9页 在AP上截取AH=AH,则H与H关于x轴对称， (号，号》， 设直线AH解析式为y=k'x+d, (+'=0 ,解得： k- + (.3. B 5 F 直线少子 H 4 :子号解科：即点0， 图2 4 by=x2+2x-3 7 y2=16 -50, 综上所述，点P的坐标为(？)或（宁） …8分 (3)DM什DN为定值.…9分 抛物线y=x2+2x-3的对称轴为：直线x=-1, ∴.D(-1,0),XM-XN-1, 设Qt,P+2t-3)(-3<K1), 设直线AQ解析式为y=+e, 做+23解得：3 .直线AQ:y=(什3)x-t-3, 当x-1时，JyM=-t-3-t-3=-2t-6, ∴.DM=0-(-2t-6)=2+6, 设直线BQ解析式为Jy=mx+n, (4243解得： .直线BQ:y=(t-1)x+3t-3, 当-1时，Jyw=-1+3t-3=2t-2, .DN=0-(2t-2)=-2t+2, ∴.DM什DN=2什6叶(-2t什2)=8，为定值.…12分 25.（1）120°；17… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …4分 （2)如图，将△BPC绕点B顺时针旋转120°得△BP"C,则PC=PC,且△BPP中BP=BP,∠PBP=120°. 过点B作BN⊥PP,垂足为N, 数学参考答案第7页，共9页 (D) :∠B2N=号∠PBP=号X120=60,PP=2PW 2 六在Rt△BPV中，PN=BP-sin∠PBN=BP.sin60=5 BP PP=2PN=2xBP=B 2 .PD+3PB+PC PD+PP'+P'C .过点C作CH LAC,垂足为H,当PP都在CH上，且点D与H重合时，PD+√3PB+PC有最小 值，最小值为CH的长度…6分 如图，过点C作CM⊥CB,垂足为M,由旋转得，BC=BC=4,∠CBC=120°， .∠MBC=60°， ÷在Rt△BCM中，CM=CB-sim∠CBM=4sin60=4×5-2N5 2 BM=CB.cos∠CBM=4cos60°=4× 2 .CH⊥AC,∠ACB=45° ∴.△CEH为等腰直角三角形 .∴.∠HEC=45o ∴.∠MEC=45 ∠M=90°， .△ECM为等腰直角三角形 ∴.ME=MC'=2√5 ME CE= 2V3 cos∠MEC,cos45° 25s 2 =26 ∴.BE=MB-BM=2√5-2 BC=4 数学参考答案第8页，共9页 ∴.CE=BC-BE=4-(2W3-2)=6-2W5 ∴在等腰Rt△CEH中，BH=CE∠C8H=6-2W)cos45°-6-2.5-32-G .CH=C"E+EH=2W6+(3v2-V6)=3W2+V6 即PD+√5PB+PC的最小值3√2+√6… …9分 （8)）以片阴+9rC的最小值为2N行…11分 2 如图，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得△B'PC,作CP和CB的中点M,N,当A,P,M,N四点共 线时，PA+PB+5PC最小，P点位置如下右图所示. 2 2 A A P B M P N B' 8. …12分 数学参考答案第9页，共9页章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试题分选择题和非选择题两部分.选择题部分共2页，满分为40分，非选择题部分共6页，满分 为110分.本试题共8页，满分为150分.考试时间120分钟.本考试不允许使用计算器.。 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求) 1.下列各数中，绝对值最大的数是 A.元 B.√2 C.-3 D.0 2.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是 D 3.国家纳米中心DNA折纸肿瘤纳米机器人由国家纳米科学中心团队研发，是全球首款医用DNA结构纳 米手术机器人.2026年3月该款机器人完成新一代升级，尺寸仅有60-100纳米(1纳米=1×109m),其 中60纳米用科学计数法可表示为 A.6×10-10米 B.60×109米 C.6×10-8米 D.0.6×10-7米 4.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的 是 5.下列运算结果正确的是 A.x23x2=x9 B.2x2+3x23=5x6 C(2x2'=6x6 D.(2+3x)(2-3x)=4-9x2 6.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是 b a A.ac>bc B.2a>a+b C.1-a>1-b D.la> 数学试题（第1页共8页) 1计体己2品的结果等于 A.3 B.、3 C.-3 D.、3 x-2 x+2 调分 8.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，一次化学课上，老师让学生用酚酞溶 液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫 酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）·小东随机选2瓶溶液，将酚酞溶 目要 液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为 A. B c D. 2-3 9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB>BC.按以下步骤作图： ①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AC于点D: ②分别以点D,C为圆心，大于，CD长为半径画弧，两条弧交于点L,连接B观交线段CD于点： ③以点A为圆心，AD长为半径画弧，与边AB相交于点E: ④分别以点D,点E为圆心，大于DE长为半径画弧，两条弧交于点下，连接AF并延长，交线段 BC于点P.若AD=?, ，BH=4,则CP长为 纳 其 20 A. B.3 C.25 9 D.5 10.若函数y的图象上存在点M,函数y2的图象上存在点N,且M、N关于原点成中心对称，则称函 数y和y2存在“奇对称点”，此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”.下列结论： ①函数片=x+2与函数y2=3x-1存在奇对称点： @函数%2+2与函数%=是的“奇对称值”为2或5！ @洁反是函数%=2x+3与西数%-兰的“奇对称值”，则长=一1度-石： ④若函数y,=-x2+2x(0≤x≤2)与函数y2=x+t(x<0)存在奇对称点，则-0.25≤1≤2. 其中正确的是 A.①③ B.①③④ C.①④ D.②⑧④ 数学试题（第2页共8页） 章丘区2026年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1.若代数式B-x有意义，则x的取值范围为 12.中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割.如 扇面高度（AB)与扇柄长度(AC)之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适.若AB=I6cm,则 BC- cm.（结果保留根号) C D 第12题图 第13题图 13.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点0为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C,交0B于点 D,若OA=3,则阴影都分的面积为 14.如图所示，点A在函数y=“(x>0)的图象上，连接40并延长，交函数=冬(x<0)的图象于 点B,点C为x轴上一点，且AO=AC,连接BC,若△ABC的面积是9，则k的值为 C E 第14题图 第15题图 15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=4V瓦，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一 次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为MN;第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C落在C处， 折痕为FH,则tan∠EHF=」 三、解答题：（本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分7分) 计算：（习2-2c0s45°+2-2+(r-2026°+⑧. 17.(本小题满分7分) 3x+2>2(x-1) ① 解不等式组 x+2_2x-121②’ 并求出它的所有整数解之和。 23 数学试题（第3页共8页） 18.（本小题满分7分) 如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F,且 AF=AD,连接BF,求证：四边形ABFC是矩形 19. (本小题满分8分) 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图①，②是这种平开窗的实物展 示图.把上述实物图抽象成如图③所示的示意图.已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固 定在窗页底边，点B,C,D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落 在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE=8cm,DE=l6cm, BC=17cm,窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB.出于安全考虑，部分公共场合的平开 窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即∠COB≤30°）， F D E 0 ① ② ③ (1)求滑动轨道AB的长度， (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P,控制平开 窗的开启角度，当点O滑动到点P时，∠COB=30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留 根号) 20.(本小题满分8分) 如图，CA是⊙O的切线，点A为切点，点F为⊙O上一点，射线CF,AO交于点B,连接AF,点 E在AF上，过点E作ED⊥AF,交CA于点D,作EG⊥CF,垂足为点G,AE=GF,AD=EF (1)求证：CF是⊙0的切线； B (2若4C=6,a8-号求00的半轻， G D 数学试题（第4页共8页） 21.(本小题满分9分) 为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时 间取整数，不足一分钟按一分钟算)的情况进行了调研.。 【确立样本】 (1)已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一 种是 ·（只需填上正确答案的序号) ①在每班抽取10个成绩较好的学生. ②在每班按照学号随机抽取10名学生， ③在前3个班每班随机抽取20人进行调查， 【收集数据】 利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下： 39,39,39,41,42,44,46,53,53,53,53,54,56,58,59,61,62,72,75. 【整理数据】 按照每天阅读的总时长分为A,B,C,D,E五组，相关信息如下： 该组内学生每天阅读总 组别 每天阅读的总时长【（分钟）频数 (每天阅读的总时长) 时长的平均值（分钟) 各组人数分布扇形统计图 A组 0≤1<20 12 10 B组 25% B组 20≤1<40 15 32 C组 A组 20% C组 40≤1<60 12 6 D组 E组 25% 10% D组 60≤t<80 15 70 E组 t≥80 90 【数据分析】 根据以上信息，解答下列问题： (2)a= ；b= ；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为 分钟. (3)C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的 圆心角为 度 (4)已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数. 22.（本小题满分10分) 按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球.已知 购买10个篮球和15个足球共需2400元，购买3个篮球和2个足球共需520元. (1)求每个篮球、足球的售价： (2)如果学校计划购买这两种球共100个，足球个数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最 少的购买方案，并求出该方案所需费用。 23. (本小题满分10分) 如图1，在平面直角坐标系中，点A(一2,0)，点B(0,2),直线4B与反比例函数y=k(k≠0) 的图象在第一象限相交于点C（a,4), (1)求反比例函数的解析式： (2)如图2，点D(4,0),连接CD,点E是反比例函数y=k(k≠0)图象第一象限内一点，且 点E在点C的右侧，连接AE,CE,若△ACE的面积与且△ACD的面积相等，求点E的坐标； (3)在(2)的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结MD,并在MD左侧 作正方形MDNF.当顶点F或顶点N恰好落在直线AB上，直接写出点M的坐标， 图 图2 备用图 24.(本小题满分12分) 如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,一3). (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图①，连接AC,点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标； (3)如图②，点2为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线A2、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请 说明理由， D 图① 图② 数学试题（第7页共8页） 25.(本小题满分12分) 皮埃尔•德•费马是17世纪法国著名的数学家，1643年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提 到过这样一个问题：“能否在平面内找到到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问 题.如图1，P为△ABC内一点，连接PA,PB,PC,是否存在一点P,使PA+PB+PC最小，最小值为多 少？ 对于三个内角均小于120°的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路： 如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60得△BP'C,则PC=P"C,连接PP,易证△BPP是等边三角 形，则PP=BP,因此PA+PB+PC-PA+PP+P"C,如图3，当A,P,P,C共线时，PA+PP+PC最小， 即PA+PB+PC最小. A C 图1 图2 图3 (1)当PA+PB+PC最小时，∠APC-=·,若∠ABC=75°，AB=7,BC=8V2,则PA+PB+PC的 最小值为 ； (2)如图4，P是锐角△ABC内部一点，D是线段AC上一动点，连接PB,PC,PD,若BC=4, ∠ACB=45°，求PD+√5PB+PC的最小值； (3)如图5，P是等边△ABC内部一点，连接PA,PB,PC,若等边△ABC边长为4，直接写出 PA+PB+PC的极小值，并在各用图中作出点P的位肾简要脱明作法) 图4 图5 备用图 数学试题（第8页共8页）