2026年山东省济南市市中区数学二模试卷

九年级二模测试数学答案 一、 选择题 1 2 3 4 6 7 8 9 10 A B C D A B D 二、填空题 11.x≥1即可 (答案不唯一) 12. 2-5 13.63°14.1 选填压轴解析： 10.【解答】 图形G的分段函数为： -x2+2x+3,x<-1 y2 x2-2x-3, x≥-1 分段图像为：=一1左侧的函数图象记为y1,一1右侧的函数图象记为y2 ①当什3≤-1时，（即t≤-4），恒有y<y ②当-1<+3≤2时，（即-4<≤-1），若有<y 则-+21+3≤+3到2-2+3)-3，结合图像，得1≤7-」 2 综合得：·4<1sV万」 2 t-1t-1 ③当2<什3<3时，（即-1<K0),显然不满足<2 ④当3≤什3时，即t≥0时，恒有<为 综合得1sV7-1或120 2 故选：D. 15.【解答】 由勾股定理可得EH=4, 根据黄绿两个三角形相似，可设GD=t,则HG=2t 由折叠的性质得∠BFE=∠NFE,由平行可得∠BFE=∠DEF,所以∠NFE=∠DEF,∴.GE=GF,∴.GF=4+2t 在黄色三角形中应用勾服定理可得1手，得D-华 4 可得BC=BF+FC=NF+HD=13.5 M N E A 23 6 /4+2t B C 三、解答题 16.(本小题满分7分) +(226-r-（周+5-2斗-2cs30 原式=2W5+1-5+2-5-2x 2 …5分 =-2 …7分 17.(本小题满分7分) 2(x-3)<-x+6① 2x-15x+3② 3 2 解：解不等式①得，x<4… …2分 解不等式②得，X≥-1…4分 所以不等式组的解集为：-1≤x<4… 6分 则该不等式组的正整数解为：1,2,3…7分 D 18.(本小题满分7分) E 证明： ,四边形ABCD是菱形 ∴.AB=BC=CD=AD,∠A=∠C… …3分 又，DE=DF .'.AD-DE=CD-DF,AE=CF. …5分 ,△ABE≌△CBF …6分 ∠ABE=∠CBF…7分 19.(本小题满分8分) 解：(1)'AM⊥MD, .∠AMC=90° 在Rt△ACM中，∠AMC=90° sin∠ACM=AM Ac AM=AC●sin∠ACM=130×sin67° 2分 ≈130×0.92=119.6(m) 答：无人机的飞行高度AM为119.6m;…3分 (2)过点B作BN⊥MD于点N ∴.∠BND=∠BNM=90° AF //MD, ,∠ABN=∠BND=90°，∠FBD=∠BDN=33 ∴.∠AMC=∠MNB=∠ABN=90° .四边形AMB为矩形… …4分 ..AM-BN,AB=MN 在Rt△ACM中，∠AMC=90° cos∠ACM=MC AC .MC=AC●cos∠ACM=130×cos67°≈130×0.39=50.7 …5分 在Rt△BDN中，∠BND=90° tan∠BDN= BN DN BN 119.6119.6 .DN= tan∠BDN tan3?3o≈0.65 =184.0 7分 ·.CD=MD-MC=N+DN-MC≈30+184.0-50.7=163.3(m) 答：CD的长为163.3m. 。。。。。。。。。。。。。。。。 …8分 20.(本小题满分8分)解：(1)如图，连接OD, D FD为⊙O的切线， ∴∠ODF=90° …1分 .∠ADF+∠ADO=90 由题可知AB是⊙O的直径 ∠ADB=90° …2分 ∴.∠ADO+∠ODB=90° .∠ADF=∠ODB OD-OB ∠ODB=∠OBD…3分 AD-AD ∴，∠ACD=∠OBD ∠ACD=∠ADF… …4分 (2)连接DG CG是⊙O的直径 .∠CDG=∠ADB=90° .CD-CD .∠DAE=∠DGC …5分 ∴.△DAE∽△DGC ∠AED=∠GCD… …6分 在Rt△GCD中，∠CDG=90 sin∠GCD= DG v13 CG5 设DG=V13x,CG=5x DG2+CD2=CG2,即(V13x)2+62=(5x)2 …7分 解得x=√3 :.cG55 …8分 21.(本小题满分9分) 解：(1)15÷256=60（人) 答：随机抽取的学生人数为60人。…2分 (2)12,18… …4分 (3)补全频数分布直方图为： 30人数（频数） 25 20 ---16 15i2 …5分 0 306090120 t/分钟 (4)62… …7分 (5)4200×20+12 …8分 60 =2240(人) 答：估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人.…9分 22.（本小题满分10分) 解：(1)设A型网箱的单价是x万元，则B型机器人的单价是(x+40)万元…1分 由题意得：180-300 …3分 xx+40 解得：X=60,… …4分 经检验x=60是原方程的根，且符合题意 …5分 ∴.x+40=60+40=100 答：A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元…6分 (2)设购买A型网箱m个，则购买B型机器人(20-)个， 由题意得：20-m≥二m, 3 解得：m≤15，… …7分 设投资总额为w万元， 由题意得：1=60m1+100(20-m)=-401+2000, …8分 .-40<0, ∴r随的增大而减小， .当m=15,1w有最小值 …9分 此时1p=-40×15+2000=1400(万元) 答：采购A单元15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元.…10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)：正比例函数y=x经过点A(2,, a=2 …】分 点A(2,2) :反比例函数y-经过点42,2) k=2×2=4… …2分 :一次函数y=x+3经过点A(2,2) .2=2+3 1 =2 …3分 (2),OA沿AP方向平移得到PQ ∴.OA∥PQ且OA=P2 ∴.四边形OAPQ为平行四边形 连接OP ,平行四边形OAPQ为的面积为6 .△OPA的面积为3 4分 .S△coP-SACOA=3 1 :一次函数y=- 5x+3 ∴.C(0,3) 4. 设Pp, 则上x3p- ×3×2=3 2 2 …5分 解得p=4 .P(4,1） …6分 (3) 过点B作BG⊥BC,交CQ的延长线于点G 过点B作y轴的平行线1，过点C和点G,分别作CML1,GN⊥1. .∠CMB=∠GNB=90° y ∴.∠MCB+∠MBC=90° 又.∠GBN4∠MBC=90° B ∴.∠MCB=∠GBN G .△MCB∽△NBG BN GN BG CM MB BC :tan∠BCQ=3 1 BG 1 BC3 一次函数y=2 1 x+3 ∴B(6,0) .BN GN 1 6=3=3 .BN=2,.GN=1 G(5,-2) …7分 又C(0,3) .CQ解析式：y=-x+3… …8分 设Q(t,-什3) ,四边形OAPQ为平行四边形 ,P(什2，-什5) P在反比例函数上 .(t什2)(-什5)=4… …9分 解得1=3+35=3=丽 2 2 (舍去) 10分 24.(本小题满分12分) 解答：(1).y=x2+bx+c过A(-1,0),B(3,0); 0=1-b+c,解得b=-2 …2分 0=9+3b+c c=-3 .抛物线的表达式y=x2-2x一3，… …3分 (2),直线y=x+n过点A(-1,0) ∴.= .∴yx+ 抛物线的对称轴为直线x=1 ∴.E(（1,2m) ………4分 .点B(3,0)和C(0,-3) .BE2=4+4m2,BC2=18,CE2=1+(2+3)月 若△CBE是直角三角形，则只能∠CBE=90°或∠CEB=90 若∠CBE=90°，则BE2+BC2=CE2,解得m=1 …6分 若∠CBB=90°，则BE2+CB2=BC2,解得m=-3+回 4 :△CBB是锐角三角形，综合得3+7 <<1 4 …………8分 (3)连接BC,由点B3,0)和C(O,-3),则直线BC的解析式为y=x-3, 过点M作MQ/y轴，交BC于点Q, 设点M的坐标为(a,a2-2a-3),点Q的坐标为(a,a-3) .MQ=a-3-(ad-2a-3)=-ad2+3a …9分 8 ,时，△BCP的面积最大，最入 8 …10分 ,=1 ∴.直线AD的解析式为y=x+1 .AD∥BC ∴N到BC的离=A到BC的距离（或D到BC的距离) 1 ·.S△BCN=S△ABC=号×4×3=6，为定值 △BW面积的最大值为6+27-5 88…12分 25.(本小题满分12分) 解：(1)判断：AE=2BD...... 1分 证明：，在Rt△ABC中，BC=4,AC=8 ,BC_1 AC-2 .CE =2CD CD 1 CE2 B CD BC ·CEAC …2分 .∠DCE=∠ACB=90 ∴.∠ECD-∠BCE=∠ACB-∠BCE 、∠DCB=∠ECA …3分 :.△DCB∽△ECA BD CD 1 ∴AECE即AB=2BD …4分 (2)由(1)得△DCB∽△ECB,AE=2BD .∠CAE=∠CBD, 又，∠CHA=∠DHB .∠ADB=∠ACB=90°… …5分 DB=DE,AE=2BD,A、E、D三点共线 AD=3BD…6分 ,在Rt△ABC中，BC=4,AC=8 由勾股定理得AB=4V5 D ,在Rt△ABD中 BD2+(3BD2=45)2 B BD=22 .AE=2BD=42 …8分 (3)过点P作PQ⊥AE交AB于点Q ∴.∠AFE=∠APQ=901 ,∠PAQ=∠FAE .△APQ∽△AFE… …9分 Ag、A 91 ·A正AF=2 ,BD=2 ..AE-2BD=4 AQ=2…10分 ,∠APQ=901 ∴点P有以40为直径的圆周上运动（一段网），记同心为0.半径40-1 当OPLAB时，△ABP取最大值，…I1分 AB=45 .OB=45-1 所以此时BP2=(4V5-1+12=82-85 12分样题由济南市 市中区教研室提供 2026年九年级学业质量检测 的 数学试题 第1卷（选择题共40分) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.在-2,0， 21中，最小的数是 A.-2 B.0 C. D.1 2 2.下列几何体中，左视图和俯视图相同的是 B C D 3.根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国 芯片产业的强大实力，数据431840000000用科学记数法可以表示为 如 A.4.3184X1010 B.43.84X1010 C.4.3184×1011 D.0.43184×1012 4.如图，△ABC≌△DEF,∠B=40°，∠D=80°，则∠F的度数是 到 A,100° B.80° C.60° D.40° 5.下列各式计算正确的是 尾容 A.a2+2a3=3a B.(a2)3=a C.a6÷a2=a3 D.a2a23=a5 6.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是 54321012345 A.a+b>0 B.a-b>a-c C.ac>bc D.ab>ac 试卷第1页，共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 1 7.如图，在正五边形ABCDE中，连接对角线AC,AD,则 ∠CAD的度数是 A.30° B.35° C.36° D.40° D 8.不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、 铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别.从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放 回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图 案的概率是 A c.I 9.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作 弧，两弧相交于点M和N,作直线MN交AC于点D,再以点B为圆心，以AB的长为 半径作弧交直线MN于点E,连接BE交AC于点F,连接CE.以下结论不一定正确的 是 EF BC A.∠ABE=60° B.BFAB C.BE2=AF。AC D.AC平分∠BCE 10.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=x2-2x-3,将其图象在直线x=-1左侧 部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G.M(:,),N(x2,2)是图形G 上两点，若对于1-1<：<1，x2=1+3,都有为<y2,则1的取值范围是 A.1s-万+1或12≥0 B.-万-1<7-1 -≤1≤ 2 2 2 C.127-1 D.1s万-1或20 2 2 试卷第2页，共8页 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 2. 第卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案 11.若二次根式在√x-1实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值： 12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色 外完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为】 13.将一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置.若∠1=27°，那么∠2的 度数是 14.共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A,B两种品牌的共享电动车，图象反映 了收费y（元)与骑行时间x（分钟)的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应 y1,B品牌共享电动车的收费方式对应y2.当骑行时间为25分钟时，A品牌共享电动 车比B品牌共享电动车收费少 元 y/元 6 10 20 x/分钟 第13题图 第14题图 15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线翻折， 使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕EF交BC于点F.若 EF=213,DN=3,则BC= 试卷第3页，共8页 CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描ApP 3 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分7分)计第：反+2026-P-（)+5-斗-2cos30. 2(x-3)<-x+6① 17.（(本小题满分7分)解不等式组 2x-15x+3② ,并写出所有正整数解。 3 2 18.（本小题满分7分)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AD,CD边上，DE=DF, 求证：∠ABE=∠CBF. E 19.(本小题满分8分)数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动.如图所 示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的C处，沿仰角∠ACM=67°方向飞行130米到达点A 处，然后无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得此时河对岸D处的俯角为 ∠FBD=33°，线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M,C,D在同一条直线上. (1)求无人机的飞行高度AM: (2)求CD的长 (结果精确到0.1m.参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65， sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36) 20.（本小题满分8分)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上，过点D作 ⊙O的切线DF交BA延长线于点F,对角线AC,BD交于点E,CG是⊙O的直径， (1)求证：∠ADF=∠ACD 2》若C0=6,血∠MD=店，求直径cG的长 E 0 试卷第4页，共8页 ▣▣ CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描APP 4 21.(本小题满分9分)某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的 情况开展了统计活动， 【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收 集得到“问题1”和“问题2”的数据.（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你日常体育锻炼的主要项目是（ (单选) A.跑步类B.球类C.健身操类D.其他 问题2：你每周体育锻炼的时间是 分钟. 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图： 第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间1（分钟）整理分成4组：①0≤t<30, ②30≤1<60，③60≤1<90，④90≤t≤120，并绘制成如下的频数分布直方图， 学生体育锻炼项目的人数统计表和扇形统计图 学生每周体育锻炼时间的频数直方图 人数（频数） 项目 人数 30 25 A 30 B 20 20 A B m C25% 15 f12 15 10 D 3 306090120 /分钟 (1)求随机抽取的学生人数： (2)统计表中的m=, 扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为 度： (3)补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 (4)已知“60≤1<90”这组的数据是：60,61,63,63,64,65,65,65,70,70， 75,75,75,75,75,80,80,80,80,85.被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位 数为 分钟： (5)若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60 分钟的学生人数， CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描App .5 22.（本小题满分10分)为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两 种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人.已知用180万元购买A型网箱的 数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多 40万元： (1)求A型网箱和B型机器人的单价： (2)若该海域计划共采购A,B两种单元共20个（两种单元均需采购)，且采购B型 机器人的数量不少于A型网箱数量的二，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最 少投资总额为多少万元？ 23.(本小题满分10分)己知反比例函数y=k(x>0)的图象与正比例函数y=xx>0)的 图象交于点A(2,a),一次函数y=x+3的图象经过点A,交x轴于点B,交y轴于点C. P为反比例函数图象上点A右侧一动点，连接AP，将OA沿着AP的方向平移，A的对应 点为P,O的对应点为Q,连接OQ （1)求k,m的值： (2)如图1，若四边形OAPQ的面积为6，求P坐标： (3)如图2，连接C2,若tan∠BC0=3,求2的坐标. 第23题图1 第23题图2 试卷第6页，共8页 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 24.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点 A(-1,0),B(3,O),与y轴交于点C.直线y=mx+n经过点A,与y轴交于点D. (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，E为直线AD与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接BC,BE,CE, 若△CBE是锐角三角形，求m的取值范围： (3)如图2，若n=1,点M是抛物线第四象限图象上一点，连接MC并延长，交直线 AD与点N,连接BM,BN,求△BMN面积的最大值. 第24题图1 第24题图2 试卷第7页，共8页 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 7 25.(本小题满分12分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,AC=8,在Rt△EDC 中，∠ECD=90°，且CE=2CD,连接AE,BD. 【初步感知】 (1)如图1，判断线段BD与AE的数量关系并给出证明： 【深入探究】 (2)如图2，点E在Rt△ABC在内部，若A,E,D共线，且DE=BD,求线段AE 的长； (3)如图3，点D在Rt△ABC在内部，BD=2,过点E作EF⊥AB于点F,点P为线 段AE上一点，且AP=】AF,连接BP,当△ABP的面积取最大值时，求BP的值 2 第25题图1 第25题图2 第25题图3 试卷第8页，共8页 CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描APP …8