精品解析：江西省九江市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2024级初二下学期期中检测性作业——数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能与自身重合的图形， 根据定义对各选项图形进行分析即可． 【详解】 解：A、赵爽弦图是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、科克曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、笛卡尔心形线是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、斐波那契螺旋线既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 3. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ） A. 有一个角是钝角或直角 B. 每一个角都是锐角 C. 每一个角都是直角 D. 每一个角都是钝角 【答案】B 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 5. 如图，，点在的平分线上，，垂足为点，点在上，若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等角对等边，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点E作于点，根据角平分线的性质定理，得到，然后根据30度所对直角边等于斜边的一半，得到，接着由三角形外角的定义与性质，得到，最后根据等角对等边即可求得． 【详解】解：如图，过点E作于点， ∵平分，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先由等边三角形性质、含直角三角形性质，将转化，从而得到，再结合等边三角形性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在等边中，，则平分，是边上的中线， ，， 则等边的边长为， 在中，，，则， ， 即当三点共线，且时，有最小值，为长， 在等边中，，则是边上的中线， ， 在中，，则由勾股定理可得， 则当有最小值时，最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知一个正多边形的外角是，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．根据多边形外角和定理，正多边形的每个外角相等，用外角和除以每个外角的度数即可得到边数． 【详解】解：多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，且已知一个外角为， 边数． 故答案为：． 8. 如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标平移变化规律，向上平移纵坐标增加，横坐标不变，得到平移后点的坐标，结合x轴上点的纵坐标为0，求出的值，代入即可得到点的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度后，所得点的坐标为，即． 平移后点落在轴上， ． 将代入点的坐标得，横坐标，纵坐标， 则点的坐标为． 9. 某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴求不等式组的解集，会利用数轴求不等式组的解集，理解含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈是解题的关键． 【详解】解：由数轴得 这个不等式的解集是， 故答案：． 10. 如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 11. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值，根据两条直线的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，， 解得：， 由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 12. 定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若是奇妙三角形，，为钝角，则所有可能的度数______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据奇妙线的定义可得出奇妙线必经过三角形的顶点，然后分奇妙线经过点A、点B、点C讨论，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵奇妙线将原三角形分成两个等腰三角形， ∴奇妙线必经过三角形的顶点， 当奇妙线经过点A时，如图， ∵，是钝角， ∴是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴， ∴； 当奇妙线经过点C时，如图， 同理可求，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当奇妙线经过点B时，如图， ①当时，， ∴， 若，则， ∴， ∴，符合题意； 若，则， ∴，不符合题意，舍去； 若，则， ∴，不符合题意，舍去； ②当时， 则， ∴， 若是等腰三角形，则， ∴， ∴，符合题意； ③当时， 则， ∴， 若是等腰三角形，则， ∴， ∴，符合题意； 综上，所有可能的度数为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】解集为，整数解为，，， 【解析】 【分析】由不等式组的解法步骤先求出解集，再求出满足范围的整数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为； 则它的整数解为，，，． 14. 如图，在中，，点P为射线上一点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即； 【小问2详解】 证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点． （1）画出绕点O顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标：___________． （2）画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形． （3）与关于点D中心对称，请标出点D的位置． 【答案】（1）见解析，如图 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，平移变换，中心对称图形，根据相关知识点正确作图即可． （1）根据旋转的性质作图，再写出坐标即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）连接、，交点即为点D的位置． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求作． 16. 在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 17. 如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）图中与长度相等的线段有_________； （2）若，求的长； （3）若，求的度数． 【答案】（1）、 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴， ∵， ∴， 【小问3详解】 解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴，， ∴ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 整理并用好错题本，是提高学习成绩的有效方法之一．下面是小明记录在错题本上的解不等式的过程和自我反思，请认真阅读并完成相应任务： 解答过程 自我反思 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化1，得…第五步 第一步正确，其依据是★： 第二步符合去括号法则： 第三步开始出错了！ 任务： （1）以上求解过程中，去分母这步的依据★是（ ） A．不等式的性质1 B．不等式的性质2 C．不等式的性质3 （2）第三步出错的原因是_____． （3）请你帮小明写出正确的解答过程，并在下列数轴上表示该解集： 【答案】（1）B （2）移项时，移动的项没有变号 （3），数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解不等式以及不等式的性质、运用数轴表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质进行作答即可； （2）结合上下式子，得出第三步出错的原因是移项时，移动的项没有变号； （3）先去分母再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，即可作答． 【小问1详解】 解：去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 故选：B． 【小问2详解】 解：移项时，移动的项没有变号； 【小问3详解】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 该不等式解集在数轴上表示为： ． 19. 某校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．乙旅行社说：包括校长在内全部按票价的六折优惠．若全票价为元，两家旅行社的服务质量相同，设三好学生的人数有人． （1）分别写出该校向甲乙两家旅行社支付的旅游费元与三好学生的人数人之间的函数关系式； （2）你认为选择哪一家旅行社才比较合算？ 【答案】（1）； （2）当时，选择乙旅行社合算；当时，选择甲、乙旅行社一样；当时，选择甲旅行社合算 【解析】 【分析】（1）根据题意直接得出该校向甲乙两家旅行社支付的旅游费元与“三好学生”的人数人之间的函数关系式； （2）通过两家旅行社费用的比较可以得出结论． 【小问1详解】 解：设”三好学生”人数有人，甲旅行社的费用为，乙旅行社的费用为， 根据题意得：； ； 【小问2详解】 当时，， 解得， 选择乙旅行社合算； 当时，， 解得， 选择甲、乙旅行社一样； 当时，， 解得， 选择甲旅行社合算． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出函数解析式． 20. 已知关于，的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 由①②得， 则， ， ，解得； 【小问2详解】 解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及线段长度的计算，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等传递线段关系． （1）由已知通过证明，即可求解； （2）连接，可得，通过证明可得的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ． 22. 八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）在同一平面直角坐标系中，直接画出函数的图像，并结合图象，直接写出不等式的解集__________． 【答案】（1）①1；见解析 （2）①；2；②或 （3）见解析； 【解析】 【分析】（1）①把代入解析式即可求得；②描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）①②根据图象即可得到答案； （3）先画出对应的函数图象，再观察图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：①在中，当时， ， ； ②函数图象如图所示； 【小问2详解】 解：①由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由函数图象可知，当时，或， ∴方程的解是或． 【小问3详解】 解：画出直线如图， 观察图象可知，不等式的解集是． 六、解答题（本大题12分） 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级初二下学期期中检测性作业——数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ） A. 有一个角是钝角或直角 B. 每一个角都是锐角 C. 每一个角都是直角 D. 每一个角都是钝角 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，点在的平分线上，，垂足为点，点在上，若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（ ） A. B. C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知一个正多边形的外角是，则这个多边形的边数是______． 8. 如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 9. 某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是________． 10. 如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________． 11. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 12. 定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若是奇妙三角形，，为钝角，则所有可能的度数______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组：，并写出它的整数解． 14. 如图，在中，，点P为射线上一点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点． （1）画出绕点O顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标：___________． （2）画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形． （3）与关于点D中心对称，请标出点D的位置． 16. 在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 17. 如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）图中与长度相等的线段有_________； （2）若，求的长； （3）若，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 整理并用好错题本，是提高学习成绩的有效方法之一．下面是小明记录在错题本上的解不等式的过程和自我反思，请认真阅读并完成相应任务： 解答过程 自我反思 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化1，得…第五步 第一步正确，其依据是★： 第二步符合去括号法则： 第三步开始出错了！ 任务： （1）以上求解过程中，去分母这步的依据★是（ ） A．不等式的性质1 B．不等式的性质2 C．不等式的性质3 （2）第三步出错的原因是_____． （3）请你帮小明写出正确的解答过程，并在下列数轴上表示该解集： 19. 某校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．乙旅行社说：包括校长在内全部按票价的六折优惠．若全票价为元，两家旅行社的服务质量相同，设三好学生的人数有人． （1）分别写出该校向甲乙两家旅行社支付的旅游费元与三好学生的人数人之间的函数关系式； （2）你认为选择哪一家旅行社才比较合算？ 20. 已知关于，的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）在同一平面直角坐标系中，直接画出函数的图像，并结合图象，直接写出不等式的解集__________． 六、解答题（本大题12分） 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $