精品解析：江西 赣州市 大余县部分学校2025～2026学年度下学期期中考试八年级数学试题卷

2025～2026学年度下学期期中考试 八年级数学试题卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边的三角形是直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，7，8 D. 5，12，13 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　） A. AB＝5 B. ∠C＝90° C. AC＝2 D. ∠A＝30° 6. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：=_____． 8. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 9. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为_______米． 10. 如图，在平行四边形中，，，于，则_____． 11. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的周长为________． 12. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）． 14. 如图，平行四边形ABCD，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交对角线BD于点E，连结AE并延长交CD于点F，求证：DF＝DE． 15. 请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法） （1）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点，请在边上找点，使； （2）如图，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高． 16. 如图，等边中，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若等边的边长为6，求的长． 17. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． （1）求小溪流的长； （2）求四边形的面积（结果保留根号）． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，是边上的中线，分别过点C和点D作，两线交于点E，且交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 20. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． （1）t取何值时，四边形为矩形？ （2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件解得： ∴， ∴原式 ． 【启发应用】 （1）按上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； （3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 22. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是 ； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形： （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与探究【问题情境】 如图，已知正方形和正方形，点B在的延长线上，点G在边上． （1）线段与的数量关系为 ；证明你的结论． （2）现将正方形绕点A按顺时针方向旋转（），在旋转过程中，探究下列问题： ①当正方形旋转至下图位置时，分别交，于点M，N．求证：； ②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度下学期期中考试 八年级数学试题卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可． 【详解】最简二次根式的定义为：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，对选项逐一判断： A选项 ，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式． B选项 ，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． C选项 ，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式． D选项 ，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 2. 以下列各组数为边的三角形是直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证三角形两短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形，逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，对各选项逐一判断： 选项A ：，，，所以不能构成直角三角形，不符合题意； 选项B： ，，，所以不能构成直角三角形，不符合题意； 选项C ：，，，所以不能构成直角三角形，不符合题意； 选项D：，，满足，所以能构成直角三角形，符合题意． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和运算，利用二次根式的性质和运算法则对各选项逐个判断即可得解，掌握相关法则是解题的关键． 【详解】A、，故计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=3，BO=BD=4， 在△AOB中， 4-3<AB<4+3 ∴1<AB<7， 结合选项可得，AB的长度可能是6， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 5. 如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　） A. AB＝5 B. ∠C＝90° C. AC＝2 D. ∠A＝30° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据每个小正方形的边长为1，结合勾股定理求出AB、AC、BC的长，进而判断A、C的正误；再判断较短的两边的平方和与较长边的平方是否相等，进而可判断B的正误；在上步提示的基础上，判断BC与AB是否存在二倍关系，进而即可判断D的正误. 【详解】∵每个小正方形的边长为1， 根据勾股定理可得：AB＝5，AC＝2，BC＝. 故A、C正确； ∵2＋(2)2＝52， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°. 故B正确； ∵∠C＝90°，AC＝2BC，而非AB＝2BC， ∴∠A≠30°. 故D错误. 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形是解题的关键. 6. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理证明即可． 【详解】解：∵点分别在轴，轴正半轴上，点分别在轴，轴负半轴上， ， ∵四边形都是矩形，， ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简即可. 【详解】= 8. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 9. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 所以（米． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 10. 如图，在平行四边形中，，，于，则_____． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，又因为，所以，再根据可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的周长为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的画法，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据作图得平分，根据平行四边形的性质得出线段之间的关系，即可求得三角形的周长． 【详解】解：由作图得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长为 故答案为：． 12. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________． 【答案】或或5 【解析】 【详解】解：如图所示： ①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴底边PE=AE=； ②当PE=AE=5时， ∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP===； ③当PA=PE时，底边AE=5； 综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5； 故答案为或或5． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法，零次幂，再合并即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 14. 如图，平行四边形ABCD，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交对角线BD于点E，连结AE并延长交CD于点F，求证：DF＝DE． 【答案】 证明：由作图可知：BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DFE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF． 【解析】 【分析】欲证明DE=DF，只要证明∠DEF=∠DFE． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 15. 请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法） （1）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点，请在边上找点，使； （2）如图，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】（）连接，交于，连接并延长交于，可证可得，所以点即为所求作． （）连接交于，再连接交于，根据菱形的性质可证得，进而可证得得到，所以即为所作． 【小问1详解】 解：如图所示，点F即为所求． 【小问2详解】 如图所示，DF即为所求． 【点睛】本题考查直尺作图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 16. 如图，等边中，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若等边的边长为6，求的长． 【答案】 （1）证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC， ∵CF=BC， ∴DE=CF， 又∵DE∥CF， ∴四边形DCFE是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明DE∥BC，DE=BC，即可解决问题； （2）由四边形DCFE是平行四边形，可得EF=DC，由等边三角形的性质和勾股定理求出CD的长，即可得出答案， 【详解】（1）略 （2）∵四边形DCFE是平行四边形， ∴EF=DC， 在等边△ABC中，D为AB的中点， ∴CD⊥AB且BD==， ∴在Rt△BCD中，BC=， ∴， ∴EF=DC=． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 17. 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． （1）求小溪流的长； （2）求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】（1）千米 （2）平方千米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理已知直角边求斜边即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：∵（千米），千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，是边上的中线，分别过点C和点D作，两线交于点E，且交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后结合直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）先证明是等边三角形，然后由勾股定理求解，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 在中，是边上的中线， ∴． ∴． ∵，即 ∴四边形是平行四边形 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 19. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； 【小问2详解】 解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 20. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． （1）t取何值时，四边形为矩形？ （2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）时，四边形为矩形； （2）4或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定，当时，四边形为平行四边形，又由，平行四边形是矩形，列出方程求解即可； （2）是动点，点在点的左边和右边所构成的四边形都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，则，，则， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 则有，解得， 答：时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，是上一点，即， ①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， ②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， 综上所述s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件解得： ∴， ∴原式 ． 【启发应用】 （1）按上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； （3）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，再化简即可； （2）先判断，，再化简即可； （3）由三角形三边关系得，，，再化简即可. 【小问1详解】 解：由二次根式有意义的条件得，即， 则， ∴原式. 【小问2详解】 解：由数轴知，且， 则，， ∴原式． 【小问3详解】 解：由三角形三边关系得，，， ∴原式. 22. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是 ； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形： （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质可知，，根据已知条件求出其长度即可； （）由折叠可知线段相等，角相等，结合D是中点，可求得，进而求得，且即可； （）根据菱形的性质，分别以为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线，再利用勾股定理求出即可求出其他的线段，从而求出点的坐标． 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵在第二象限， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是中点， ∴， ∵折叠 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵为顶点的四边形是菱形，分别以为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与y轴交点得出点M，如图所示： ∵，， ∴ ∴，， ∴，，，． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与探究【问题情境】 如图，已知正方形和正方形，点B在的延长线上，点G在边上． （1）线段与的数量关系为 ；证明你的结论． （2）现将正方形绕点A按顺时针方向旋转（），在旋转过程中，探究下列问题： ①当正方形旋转至下图位置时，分别交，于点M，N．求证：； ②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度． 【答案】（1），证明见解析 （2）①见解析；② 为或 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，，然后利用证明即可； （2）①首先根据题意证明出，然后得到，然后利用三角形内角和定理即可得到，进而证明出； ②根据题意分三种情况讨论：点在直线上，点在直线上和点在直线上，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，， 在正方形和正方形中， ，，， ． ∴． 【小问2详解】 证明：①， ， ． ，， ， ． ， ， ． ②在正方形中， 平分， ， 根据正方形的顶点（点除外）在直线上，分以下三类： Ⅰ、如图3，当在直线上时，过点作于点，则， ， ，， ， ． Ⅱ、如图4，当在直线上时，在正方形中，平分， ， ，， ，，三点共线， ． Ⅲ、如图5，当在直线上，过点作于点， ， ， ，， ， ． 综上所述：为或． 第1页/共1页 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