精品解析：上海同济大学附属澄衷中学等学校2025-2026学年下学期期中诊断练习 七年级数学学科试卷

2025学年第二学期期中诊断练习 七年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．本试卷含五个大题，共27题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解题的主要步骤； 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：移项得，2x≤3+1， 合并同类项得，2x≤4， 系数化为1得，x≤2， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键． 2. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，逐一判断选项即可求解． 【详解】解：选项A中，里未知数的最高次数为2，不符合一元一次不等式的定义，该项错误． 选项B中，是等式，不是不等式，不符合要求，该项错误． 选项C中，含有两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，该项错误． 选项D中，是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边均为整式，符合一元一次不等式的定义，该项正确． 3. 已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形的三边关系求出的取值范围，判断选项中的数据是否满足范围即可得出答案． 【详解】解：∵ 三条线段能围成三角形， ∴ ， ∴ ， 则四个选项中，只有符合取值范围． 4. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 5. 健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，即可． 【详解】， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，在中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，， ∴； 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示：“4减去的倍的差是一个非负数”_______． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出的倍，再表示出4减去该式的差，根据非负数为大于或等于0的数，即可列出不等式． 【详解】解：由题意可得： ． 8. 根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 9. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：不等式组的解集是． 10. “如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【解析】 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据对顶角的性质判断逆命题的真假． 【详解】解：原命题的逆命题为：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 根据对顶角相等可知，该逆命题是真命题． 11. 关于的不等式组无解，应满足的条件________． 【答案】 【解析】 【分析】已知不等式组无解，根据不等式组解集的规律列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 移项得 ， 合并同类项得． 12. 登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山，若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．则登山有______人． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的运用，理解数量关系，关键是设出人数，表示出瓶数，根据不等量关系列不等式组求解． 设有x人登山，由此列出不等式组，求解即可． 【详解】解：设登山有x人，根据题意得不等式组， 解不等式： ， 解不等式： ， 解得：， 所以， 故答案为：5． 13. 小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为_________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：由题意可得． 14. 如图，点B，C在直线上，且，的面积．若P是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为_______ cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是明确垂线段最短的性质，利用三角形面积求出最小值． 【详解】解：P是直线上任意一点，连接，则线段时，最小， 此时，， 因为， 所以， 故答案为：8． 15. 小明在玩 “平衡积木挑战” 游戏，如图，他用若干块长度为、材质均匀且质量相等的长方体积木整齐叠放（每块积木重心均在其中心）．沿水平方向依次向外延伸，保证积木在不倾倒的前提下尽可能伸远：保持积木①、②的相对位置不变，将它们作为一个整体向外推出，这个组合最多能比积木③的右边缘伸出_________的长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，得到积木①的最远延伸距离是，继而求出积木②的最远延伸距离是，即可解答． 【详解】解：每块积木的重心初始水平位置均为，积木①推动距离为， 积木①的重心水平位置， 积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘， ， 解得：， 积木①的最远延伸距离是， 积木①、②组合重心的水平位置， ， ， 解得， ∴积木②的最远延伸距离是， ∵， ∴这个组合最多能比积木③的右边缘伸出的长度为． 16. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为______． 【答案】##106度 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质等知识，首先根据对顶角的性质可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【答案】112 【解析】 【分析】根据折叠性质得到，根据求出，进而得到﹒根据求出，即可求出﹒ 【详解】解：由折叠可得﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ 18. 如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】先解不等式，然后将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式的解集是， 故不等式的解集在数轴上表示如下： ． 20. 求不等式的负整数解． 【答案】 【解析】 【分析】先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项及合并同类项，得 系数化为1，得； 所以，不等式的负整数解为． 21. 当为何值时，关于的不等式组恰有一个解？ 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有一个解，即可得出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 根据题意得，， 解得，， 当时，关于的不等式组恰有一个解． 22. 如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： （1）过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； （2）过点C画，交于点E；再画，交于点F； （3）连接，图中与面积相等的三角形是 ． 【答案】（1）图见解析，； （2）见解析； （3） 【解析】 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 点A到的距离是线段的长． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：∵， ∴点E到的距离与点F到的距离相等， ∴， 即与面积相等的三角形是． 四、解答题（本大题共3题，每题7分，满分21分） 23. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：∵（已知）， ∴ （ ） ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换） ∴ （ ） ∴（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质及判定，角平分线的定义解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 24. 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字．如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点P， ∵（已知）， ∴ （ ） （请完成后面的证明过程） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质，推出，从而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可证明结论． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴． 25. 证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ， 则 （ ） 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 上述证明过程的证明方式是 ． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行；反证法． 【解析】 【分析】根据反证法完成填空即可． 【详解】解：填空如下： 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以，直线与不平行． 上述证明过程的证明方式是反证法． 五、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题10分，满分19分） 26. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 型运动跑鞋比型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双型与3双型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定型和型运动跑鞋共需购买50双，且购买型运动跑鞋的数量少于30双，购买型运动跑鞋的数量不超过购买型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买型和型跑鞋的总费用不超过6000元． 请完成下列任务： （1）型、型运动跑鞋的单价分别是多少元？ （2）有哪几种购买方案？ 【答案】（1）型、型运动跑鞋的单价分别是140元、120元 （2）方案一：购买型运动跑鞋20双，购买型运动跑鞋30双；方案二：购买型运动跑鞋21双，购买型运动跑鞋29双 【解析】 【分析】（1）设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元，根据素材二列出一元一次方程，解方程即可解答； （2）先设A型运动跑鞋买双，则B型运动跑鞋买双，再根据素材三列出不等式，然后解不等式；再根据素材四和素材五列出不等式，然后解不等式，综合后可得的取值范围，进而可得购买方案． 【小问1详解】 解：设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元， 根据素材二得，， 解得，， 则． 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元． 【小问2详解】 解：设A型运动跑鞋买双，则B型运动跑鞋买双， 根据素材三得，， 解得，； 根据素材四得， 购买A型运动跑鞋的费用为：（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为：（元）； 根据素材五得， ， 解得，， 综上所述，． 又为整数， ，， 相应的，， 故有以下两种方案： 方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双； 方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双． 27. 在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． （1）阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． （2）方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： （3）深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行， （2），见解析 （3）①42°；② 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． 【小问2详解】 解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中诊断练习 七年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．本试卷含五个大题，共27题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解题的主要步骤； 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示：“4减去的倍的差是一个非负数”_______． 8. 根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 9. 不等式组的解集是_______． 10. “如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 11. 关于的不等式组无解，应满足的条件________． 12. 登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山，若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．则登山有______人． 13. 小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为_________． 14. 如图，点B，C在直线上，且，的面积．若P是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为_______ cm． 15. 小明在玩 “平衡积木挑战” 游戏，如图，他用若干块长度为、材质均匀且质量相等的长方体积木整齐叠放（每块积木重心均在其中心）．沿水平方向依次向外延伸，保证积木在不倾倒的前提下尽可能伸远：保持积木①、②的相对位置不变，将它们作为一个整体向外推出，这个组合最多能比积木③的右边缘伸出_________的长度． 16. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为______． 17. 如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 18. 如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． 20. 求不等式的负整数解． 21. 当为何值时，关于的不等式组恰有一个解？ 22. 如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： （1）过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； （2）过点C画，交于点E；再画，交于点F； （3）连接，图中与面积相等的三角形是 ． 四、解答题（本大题共3题，每题7分，满分21分） 23. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：∵（已知）， ∴ （ ） ∵平分（已知）， ∴ （角平分线的定义）， 同理， ， ∴（等量代换） ∴ （ ） ∴（ ） 24. 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字．如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点P， ∵（已知）， ∴ （ ） （请完成后面的证明过程） 25. 证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ， 则 （ ） 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 上述证明过程的证明方式是 ． 五、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题10分，满分19分） 26. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 型运动跑鞋比型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双型与3双型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定型和型运动跑鞋共需购买50双，且购买型运动跑鞋的数量少于30双，购买型运动跑鞋的数量不超过购买型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买型和型跑鞋的总费用不超过6000元． 请完成下列任务： （1）型、型运动跑鞋的单价分别是多少元？ （2）有哪几种购买方案？ 27. 在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． （1）阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． （2）方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： （3）深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $