安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题

姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 绝密★启用前 安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高一） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页。全卷满 分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。 2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水 签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在 试题卷、草稿纸上答题无效。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.若集合A={x∈Z|x2-x≤6}，B={y|√2y+3≥1}，则A∩B= A.{x-1x3} B.{0,1,2,3 C.{-1,0,1,2,3} D.⑦ 第1页（共6页） 2.若p:直线l与平面a有公共点，q:直线l与平面α相交，则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知非零实数a,b,c满足a>b>0>c,且a十c≠0，则下列说法正确的是 () A.ac >bc C.bc D.么>b-c aa+c a a-c 4.函数f(x)=log2(-2.x2+5x+18)的单调递减区间为 A(,) B(←2) n.(,》 5.已知角0的终边经过点P(3,m),且sin(r-0)+cos(x+0)=5,则m的值为 A.4 B.3 c D. 6.已知等边△ABC的边长为2√3，点P是该三角形所在平面内的一动点，满足PA·PB=1,当 向量CP的模取最大值时，AP与AB夹角的正切值为 () A.-23 C.-23 D.2√3 3 B2 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足osA十cosB=sin Bsin C,a b sin A ,a4+b4+ c4=2b2(a2+c2),则△ABC的外接圆半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知m,m∈1.+o).请足m8”-)=3”=og.则 An∈(2) B.m+n<4 C.m-1>1 D.m+1=logsn 第2页（共6页） 二、选择题（本题共3小题，第10题为选考题，请考生任选一题作答。每小题6分，共18分。在每 小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。) 9.若函数f(x)=Asin(ox十p)(A>0,a>0,9<)的部分图象如图所示，则下列说法正 确的是 A.w=2 B.直线x=-是函数f()图象的一条对称轴 12 7π 12 C.不等式f(x)≥1的解集为 +x,十x∈乙 12 6 D.当m,n∈ [任d请是子m)=fa》=一方则anm+)=复 第9题图 10.【选考人教版】已知复数之满足|之=1，则下列结论正确的是 ( A.若之是之的共轭复数，则x之=1 B.若x十子=0，则：=ii是虚数单位) C.|之一2的最小值为1 D.|之2一之+1|的最大值为3 【选考北师大版】从1,2,3,4,5,6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数 为a,第二次抽到的数为b,定义事件：A=“a是3的整数倍”，B=“b是偶数”，C=“a+b>8”, D=“a十b能被4整除”，则下列结论正确的是 () A.P(A)=3 B.P(C)=18 7 C.事件A与事件B相互独立 D.事件C与事件D相互不独立 -1og4(1-x),x<1, 11.已知函数f(x)= 下面说法正确的是 -(x-2)2+2,x≥1. A.f(0)+f(2)=2 B.f(x)在区间(0,1)上单调递减 C关于x的方程f(:十子-1小=@的实根个数不可能为4个 D.关于x的方程f(:+是-1=a的实根个数可能为6个 第3页（共6页） (在此卷上答题无效) 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知正实数x,y满足x十2y=2xy,则x+y的最小值为 13.若函数f(x)=2sin(ox-）w>0)在区间 云·引上有且只有3个学点，则的取值 范围是 14.已知正方形ABCD边长为2，点P是正方形ABCD边上一动点，满足AP·AB=4,点Q是正 方形ABCD所在平面内一动点，满足|PQ|=1.若AQ=入AB+AD,则A十4的取值范围 是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 1513分设集合P=0十3≤0Q=z2-2江-3≥0， (1)若m=0,求P∩Q; (2)若“x∈P”是“x在Q”的必要不充分条件，求实数m的值. 16.(15分)已知函数f(x)=sin x cos x+m cos'x,其中m∈R. (1)当m=√3时，求f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)的最大值为1-5 2 ①求实数m的值； ②将函数f(x)的图象向左平移红个单位长度得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)图象 6 的对称轴方程. 第4页（共6页） 17.(15分)已知函数f(x)=a2x-2a十m,a>0且a≠1，m∈R, (1)当m=一3时，求关于x的不等式f(x)>0的解集； (2)当a>1时，不等式logaf(x)>x在x∈[0,1]上恒成立，求m的取值范围. (选考题)(17分)（请考生从18一1,18一2两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题 计分。) 18一1.【选考人教版】 如图所示，在直角△ABC中，AB=2,AC=2√3，∠BAC=90°，取BC的中点为D,将△BAD沿 AD翻折到△PAD的位置，使得PC=√10. c A 第18-1图 (1)求证：面PAD⊥面ACD; (2)求点D到面PAC的距离； (3)求直线PC与面PAD所成角的余弦值. 第5页（共6页） 18一2.【选考北师大版】 甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求 至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通 过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为p(0<p<1),乙答对每道 文化测试题的概率为？，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是}，甲乙两人各自参加完 这两项测试，且回答每道题都是独立的. (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的饣的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当力=？时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 19.(17分)我们学习过一些代数式恒等变形的方法，例如：a=(a-B)十B,p4=（p4-p3)十（3 一2)十（p?一1)十p1等等，利用这些知识解决下面的问题 已知定义在N*上的函数f(x)满足f(1)十f(2)+·十f(x)=2f(x)一2+. (1)求f(1),f(2),f(3)的值； 2)设函数g(x)_利用代数式恒等变形的方法，求出函数g(x)的解析式 (8》证明：1.g②.g..g2x-2<1（x>1z∈N. g(1)g(3)g(5)g(2x-1)√g(2x) 第6页（共6页）2026年高一数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D A B C 1.【答案】C 【解析】由A={x∈Zx2-x≤6}={-2，-1,0,1,2,3}，B={yl√2y+3≥1}={yly≥-1}得 A∩B={1,0,1,2,3} 2.【答案】B 【解析】根据p可知直线l在平面内或直线1与平面α相交，故p是q的必要不充分条件. 3.【答案】B 【解析】易知c<bc,·,A错误，B正确，C选项移项作差，bb+C_6a心不可判断，D选项移项作 CC aa+c a(a+c) 差， b_b-C-a-bDc<0,或由糖水不等式知D错误，故选B. a a-c a(a-c) 4.【答案】D 【解析】由-2+5x+18>0得-2<x<号结合复合函数的单调性和二次函数可知，f)的单调递减区间为 5.【答案】A 【解析】由诱导公式知，sin(π-)+cos(π+θ)=sinO-cos6,由三角函数的定义知， sin0-cos0=- gg专甲。片陆m4 6.【答案】B 【解析】以边AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建系，则A(←V3,0),B(W3,0),设P(x,y),则由 PA·PB=1可得，不妨设C(0,3),则 CP=V2+(y-3)2=V4-y)+y-3)2=3-6y,显然当y=-2时，1CP1取最大值，此时P(0,-2),则根据几何 图象易得正切值为25 7.【答案】A 【解析】，bcosA+acos B_sin Bsinc,.sinC_simB.sinC ab sinA,· bsinA sinA bsin B=1. .(d-b2+c2)2=a+b4+c4-22b2+2a2c2-2bc2=2ad2c2 c0B+c一灰士滤到b血B=1,故B号A=2,由正弦定理知2RP2,故R回 2ac sinB 8.【答案】C 【解折】m的-)=可变形为-，令g)产3，因为g<0,g回<0结合图象易知∈Q m-1 答案A是错误的：m,n分别是函数y= x一x>1与函数y=3”和y=lgx图象的交点横坐标，则两个交点分别为 40m门，B0ubg:0由于函数y-和)=g,x图象关于直线y=x对称，而且函数yX>1图家也关于 数学试题第1页（共7页） y=x对称，所以AB两点关于直线y=x对称，故m=lgn,故答案D错误；因为m=log,,所以n=3”,则m=n, 7-1 取倒数变形得1+1-1，所以m+n=0m++马=”"+2≥4，m≠，故m+>4,答案B错误：因为 l nt nnn L,所心1大，则m=m-1马m+121,因为m∈0，，敢加-1，故答案为0 nl n 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.第10题为选考题，请考生任选一题作答。在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。 9 10 11 ABD ACD AD 9.【答案】ABD 【解析】对于A,由图象易知工=亚，所以Q=2答案A正确： 22 对于B,先求出子，放fw)-2n2x+学，则-2，答案B正确： 对于c,由f1符mex+孕号，解得沿血子+胡(e2),答案c错碳： 对于D,由图象的对称性可知m+n=-亚，故tan0m+0= 6 答案D正确。 3, 10.(人教版)【答案】ACD 【解析】对于A,zz=z2=1,答案A正确； 对于B,当z=-i时，z+1=0,答案B错误； 对于C,由几何意义易知，答案C正确： 对于D,(法一)由答案A知zz=1,则z2-z+1月z2-z+zz月z(z-1+z)月z‖z-1+z月z-1+z,设z=a+bi, 则1z2-z+1曰z-1+zH2a-1川，因为z=1,所以a∈[-1,1]，易知2-+1的最大值为3，答案D正确 (法二)1z2-z+1≤22++1=z++1=3.(当z=-1时取等号) (北师版)【答案】ACD 【解析】对于A,P名行答案A正确： 对于B,所有可能出现的样本点有，1,1)，4,2)，，，，(2,1)，(2,2)，，(2,6)，，共36个，其 中a+6>8的有10个故g-8答案B错误： 对FC,0子K4石则P@),答案C正确： 对于Dg06子RCD)。则rcOP0,故答发D重确 数学试题第2页（共7页） 11.【答案】AD 【解析】先画出函数f(x)的图象，如下图1，易知f(O)+f(2)=0+2=2,A正确，f(x)在区间(0,1)上单调递 增，B错误设1=x+-1,画出其图象，如图2，对于选项CD, 当a<1时，方程的实根个数为2个： 当a=1时，方程的实根个数为4个： 当1<a<2时，方程的实根个数为6个： 当a=2时，方程的实根个数为4个； 当a>2时，方程的实根个数为2个. 故C错误，D正确.综上，AD正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】+万 【解析】由x+2y=2w可知2+1=2， 所以x+y=+X2+马)=2+1+2y+52+1+25=35,当且仅当2y=取等 1 2 x v 2 x”y2 13.【答案】宁3 【解析】令0=x子则0e0-牙@，问题转化为函数y-n0在区间9el子如-子-孕上有且只有3个 44’3 4’3 -2K-0-亚≤- 零点，结合正弦函数图象得， 1,解得o宁孕 -<2 0- 3 14【答】4马 【解析】由AP.AB=4得向量AP在向量AB方向上的射影为2，故点P在边BC上，以点A为原点，AB所在的直线为 x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A0,0),B2,0),D0,2)设P(2,a),a∈[0,2]，设点Q(x,y),则 因为1=1，所以有c-2+0-=1,设-2=os9,则=os9+2,放=B,0，D=0,2), y-a=sine y=sine+a AO=(cos日+2，sinB+a),因为A⊙=AB+AD,所以 +u=子m0+coe0+2+a)=V2an0+孕+2+a 2 A1 结合ae0,2引，不难得+ue,5,4+1 2， 21 数学试题第3页（共7页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【答案】(1)P∩0={x|-3<x≤-1}；(2)=2. 【解析】(1)因为P=x-≤0=(3.，Q=x-2x-3≥0)=Kx≥3或x≤-1， x+3 所以P∩Q={x|-3<x≤-1}.… .6分 (2)因为“x∈P”是“xEQ”的必要不充分条件 所以“x∈P”“x是Q”,且“xEQ”→“x∈P” 即“x∈P”书“xEC0”,且“x∈C”→“x∈P” 所以CgP,… .10分 因为P=X-"-s0=0m-3m+,G2=xx-2x-3<0=(1,3), x-m+3 故(-1,3)≤(m-3,1m+1], -1≥-3 ,解得l=2。.13分 3≤m+1 16.(15分) 【答案】(1) [a晋a+周ez:2)0m=6:@x=晋+经 keZ 12 42 【解折】由)sicos+.Bcsm2+5osz+)9m2+马+V3了 2 2 2 ,2分 则2m-亚≤2x+亚≤2π+，keZ,解得m征≤x≤k机+正，keZ, 2 3 12 12 所以侧的年酒运阳天陶为女沿血 ,k∈Z5分 12 (()=sinxcosmcossincos ….6分 -sm2x+)+受共中a9=m, 2 因为函数)的最大值为1-5，所以有㎡+1+-=1-5，解得m-5 2 2 ;.10分 2 2 ②此时f)=sin(2x-马-B 32 .12分 y=g60-sm2+3-引-6 63 令2x=T十机，k∈Z,解出x=+。,k∈Z, 十 42 即=g)图象的对称箱方程为x-行+经青e乙. 42 .15分 17.(15分) 【答案】(1)当a>1时，不等式的解集为1og。3,+∞)，当0<a<1时，不等式的解集为(w,loga3). (2)当1<a时，n的取值范国是(a+如)，当a>时，m的取值范国是（号+）， 【解析】(1)当m=-3时，fx)=a2-2a-3, 下面解不等式a2-2a-3>0,即(a+1)a-3)>0 因为a+1>0所以，a>3:… 3分 当a>1时，解得x>logn3: 当0<a<1时，解得x<log。3,6分 数学试题第4页（共7页） 综上所述，当a>1时，不等式的解集为Qog。3,+∞)， 当0<a<1时，不等式的解集为（←0,1og。3):.7分 (2)当a>1时，不等式1ogaf)>x可变形为f)>a, 即a2x-2a+m>a*，a2x-3a2+m>0 所以问题转化为m>-a2+3a在区间xE[0,1山上恒成立， .9分 令t=a,则teL,a],则m>-t2+3t,故m>(-2+3)ms 令g0=+家=-t+骨t印a】 4 当1<a≤3时，函数g0)在t∈l,a]上单调递增，g0m=-a2+3a,则m>-a2+3a;12分 当a>时，函数g0在：上单调递指、在：∈上单调造减。放g0=},则m>骨： 14分 综上所述，当1<a≤3时，m的取值范围是（←a2+3a,+); 当a>时，m的取值范围是尼，+， ..15分 2 18.(17分) (人教版) 3:3) 【答案】1)略：(2)d,c2y 10: 【解析】(1)在直角△ABC中，AB=2,AC=25,∠BAC=90°，可得BC=4,AD=BD=2, 取AD的中点为E,连接PE,CE, 由△ABD为边长为2的等边三角形得，PE=V5, .2分 在△CDB中，CD=2,DE=1,∠CDE=120°，利用余弦定理可得CE=V7, 因为PC=10,所以CE2+PE2=PC2,即PE⊥CE,4分 又因为PE⊥AD,且AD∩CE=E,所以PE⊥面ACD 因为PEC面PAD,所以面PAD⊥面ACD:.6分 1 （2)由(1)可知，PB1面4CD,则4m=写PB-S.4m=1,7分 在aAC中，AC5,PM2,PC-D,所以cos∠PAC=日 4 则sin∠PAC=3 ,故Se=号PA-AC∠PAC- 2,10分 因为'，-AcD=VD-PAC=1,所以，dD-PAc =3nc=2V39 ..11分 SPAC 13 (3)过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q,连接PQ,.13分 因为面PAD⊥面ACD,且面PAD∩面ACD=AD,CQ⊥AD,所以CQ⊥面ACD, 故∠CP0为直线PC与面PAD所成角，15分 数学试题第5页（共7页） 在△CPg中，PC=0,C0=V3,∠CP=90°， 所以0=V万，cas∠CPe=万-V0 √10-10： 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为y0 1017分 (北师大版) 【容】《D3p0-),当”=专时，段大值为号 (2)①167②838 243；2187 【解析】(1)设A=答对文化测试的第i题，则甲恰好答对两道文化测试题的概率为 P=P(A44)+P(AAA)+P(A4A)=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A) =p(1-p)+p0-p)p+1-p)p2=3p2I-p).2分 由基本不等式可得，2-2p)+P22必- 3 0, 4分 2 当且仅当P=2-2p,即p=3时取等号，此时最大值为g:5分 (2)当p-子时， ①甲通过文化测试的概率为？，则 20 P=P(A4A)+P(A44)+P(A4A)+P(A44)= 27 7分 111 甲，乙两人通过体有测试的概率均为乃，则，乃=3×3) 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，故甲总分为1分的概率为 P月0-10-月0号75g .10分 ②乙通过文化测试的概率为乃，则同理可得B=2, 1 ..12分 设X=甲总分为i分，i=1,2,设Y,=乙总分为j分，j=0,1, p)-品.Px)9器 PG)=ax-D-g号 Pe)=月aga-x男号号 ....15分 数学试题第6页（共7页） 故甲总分高于乙总分的概率为 P=PCX)PG)+PX,)PG)+Px)PW)=167xA+20x4+20×1-838 2439243*g243×2218717分 X 19.(17分) 【答案】(1)f)=4,f(2)=12,f(3)=32;(2)g(x)=x+1:(3)见解析. 【解析】(1)令x=1,可得f)=2f0)-22,所以f1)=4, 令x=2,可得f0)+f(2)=2f(2)-23,所以f(2)=12, 令x=3,可得f(0)+f(2)+f(3)=2f(3)-24，所以f3)=32...… .3分 (2)考虑当x>1时，fI)+f(2)+…+f(x)=2f(x)-2x+1, f1)+f(2)+…+f(x-1)=2f(x-1)-2, 两式作差得，f(w)=2f(x)-2f(x-1)-2x1+2, 即f=2fx-0+2,即f@=f0D+1, 2-1 .6分 函数g(x)=g(x-1)+1,由代数式恒等变形的方法可知， g(x)=[g(x)-8(x-1]+[8(x-1)-8(x-2]+[8(2)-8]+gI) =1+1十…+1+g0）=x-1+=X+1.10分 2 (3)(法一)由(2)知8)=x+1,只需证明135.2x-11 2462x2x+'>LxeN. 出睡水不式知9六 (2462x2462x357…2x1 即1352x-2<1,即1352-1<1 (2462x<2x+1 P2462x√2x+1 ,x>1,x∈N.17分 (法二) (分析法)要证： 1352x-1,11552x-1 2462x√2x+1V3V5V7…V2.x+1 12分 只要证：2x-12x-1 只要证W2x-1·√2x+1<2x 2x v2x+1 4x2-1<4x2显然成立， 2x-1√2x-1 2x√2x+1 15分 上式中取x=1,2,得： 11352x-12x-1 2'45…2x<2x+1 ……17分 相乘即得证. 数学试题第7页（共7页）