10.3频率与概率讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3　频率与概率 知识归纳与试题检测(学生版) 问题式教材知识归纳 【1】．频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐_________事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 【2】．随机模拟 （1）产生随机数的方法 ①利用计算器或计算机软件产生随机数． ②构建模拟试验产生随机数． （2）随机模拟方法（蒙特卡洛方法） 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的______来估计_____，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 基于教材的检测题 一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 3．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 4．下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 5．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 6．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 二、多选题 9．把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 10．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 11．（多选）样本量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 下列说法正确的是（   ） A．第三组的频率是0.14 B．第三组的频数是14 C．第三组的频率是 D．第三组的频数是24 三、填空题 12．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 13．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 14．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 四、解答题 15．对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 16．对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 17．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么连续3次投篮，恰有2次投中的概率大概是多少？ 18．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，应用随机数计算频率估计恰好成活4棵的概率． 19．运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3　频率与概率 知识归纳与试题检测(详解版) 问题式教材知识归纳 【1】．频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐_________事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 【答案】稳定于 【2】．随机模拟 （1）产生随机数的方法 ①利用计算器或计算机软件产生随机数． ②构建模拟试验产生随机数． （2）随机模拟方法（蒙特卡洛方法） 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的______来估计_____，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 【答案】 频率 概率 基于教材的检测题 一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 2．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 3．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【分析】根据频数与总数的比为频率，由此能求出结果． 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 4．下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的稳定值，概率是频率的近似值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地均匀 D．通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为 【答案】D 【分析】由概率的定义及概率与频率的关系判断A、B，根据描述分析判断C，应用列举法求古典概型的概率判断D. 【详解】A：中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，错误； B：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，错误； C：由10次掷骰子都出现1点，说明骰子的质地可能不均匀，错误； D：由题意，满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为，正确. 故选：D 5．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 6．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率. 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组， 所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故选：B. 7．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 8．下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 二、多选题 9．把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】BD 【分析】正面向上的频率是随机的，故AC说法过于绝对，对于B，若频率为0.48，经计算正面朝上972次时满足条件，对于D，由于0.4与0.5差距较大，则有可能满足D中描述的硬币质量分布可能不均匀. 【详解】对于A，正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误； 对于B，因为是整数，正面朝上的次数有可能是972次，故B正确； 对于C，正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，C的说法过于绝对，故C错误； 对于D，随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5，0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀（即正面朝上的概率）的可能，故D正确. 故选：BD. 10．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 11．（多选）样本量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 下列说法正确的是（   ） A．第三组的频率是0.14 B．第三组的频数是14 C．第三组的频率是 D．第三组的频数是24 【答案】AB 【分析】由样本总量可得第三组频数，然后可得频率. 【详解】由题，第三组的频数为， 则第三组的频率为． 故选：AB 三、填空题 12．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 【答案】 【分析】利用独立重复试验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故答案为： 13．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 14．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75/ 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 16．对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075； (2)0.075； (3)75件. 【分析】（1）根据频率的定义可得每次检出次品件数除以当次抽取总件数即为对应的频率，即可一一填写； （2）经验概率即为6次检出次品频率的稳定值，计算其平均值可得其值约为0.075； （3）由（2）中求得的经验概率可得1000件西装中的次品件数，可得需要预备的正品件数. 【详解】（1）利用频率的计算公式可得， 每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数， 所以从左到右的6次检测对应的频率分别为： ，，， ，， 所以，对应的频率表格如下： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 0.1 0.07 0.06 0.075 0.07 0.075 （2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值， 即， 所以抽到次品的经验概率约为； （3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品， 所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换. 17．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么连续3次投篮，恰有2次投中的概率大概是多少？ 【答案】 【分析】通过设计模拟试验的方法，产生随机数，通过计算频率得到概率的近似值. 【详解】利用设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数． 用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是． 因为是投篮3次，所以将每3个随机数字作为一组． 例如，产生18组随机数： 812，932，569，683，271，989，730，537，925， 907，113，966，191，431，257，393，027，556． 这就相当于做了18次试验． 在一组数中，如果恰有2个数字在1，2，3，4中，那么表示恰有2次投中，它们分别是812，932，271，191，393，共有5组数， 所以我们得到了3次投篮中恰有2次投中的概率近似为． 18．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，应用随机数计算频率估计恰好成活4棵的概率． 【答案】 【分析】根据随机数得出30组数据，再应用频率计算得出概率近似值. 【详解】利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0代表不成活，1到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9． 因为是种植5棵树苗，所以每5个随机数作为一组，产生30组随机数． 69801  66097  77124  22961  74235  31516  29747  24945  57558 65258  74130  23224  37445  44344  33315  27120  21782  58555 61017  45241  44134  92201  70362  83005  94926  56173  34783 16624  30344  01117 这就相当于做了30次试验． 在这30组随机数中，如果恰有一个是0，则表示恰有4棵成活，共有9组， 于是得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为． 19．运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由频率计算公式即可求解； （2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解； （3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断. 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $