10.2 事件的相互独立性讲义（知识梳理+3题型探究）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“事件的相互独立性”核心知识点，系统梳理概念（含定义及P(AB)=P(A)P(B)判断方法）、性质（对立事件独立性）、推广（多事件同时发生概率），并通过对比表格区分互斥与独立事件，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料以“判断独立事件、乘法公式应用、复杂赛事问题”三类题型为主线，结合射击、电路元件、乒乓球比赛等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理计算、用数学语言建模的能力。课中辅助教师分层教学，课后A/B/C层练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

10.2 事件的相互独立性 讲义 【题型一：判断是否为独立事件】 【题型二：用独立事件的乘法公式求概率】 【题型三：复杂赛事下事件的独立性的应用】 1. 理解概念：通过具体实例，理解相互独立事件的定义，掌握用 P(AB)=P(A)P(B) 判断两个事件是否相互独立的方法。 2. 掌握性质：熟记相互独立事件的核心性质，能熟练运用对立事件与独立事件的关系进行概率计算。 3. 区分易混点：清晰区分互斥事件与相互独立事件，明确二者的侧重点与判定依据，避免概念混淆。 4. 会用公式：熟练运用独立事件概率乘法公式，解决 “同时发生”“恰有一个发生”“至少一个发生” 等基础概率问题。 5. 能解综合题：结合赛事、闯关、电路 / 系统可靠度等实际情境，解决较复杂的独立事件概率问题，提升建模与运算能力。 【知识点一：事件的相互独立性】 1概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. 注：①如果两个事件相互独立，那么这一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率，如果要判断事件与是否独立，可以检验是否成立. ②必然事件和不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响. 2、性质 如果事件与事件相互独立，那么事件与，与，与也相互独立. 3、推广 若事件，，，相互独立，则这个事件同时发生的概率. 【知识点二：区分互斥事件和相互独立的事件】 侧重点 计算公式 互斥事件 强调两个事件不能同时发生，即 相互独立事件 强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 【例 1】已知事件与事件相互独立，且，，则 . 【答案】 【解析】因为事件与事件相互独立，所以与也相互独立， 故. 【例 2】甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，甲、乙两人是否击中目标互不影响，则甲、乙同时击中目标的概率为 ；甲、乙两人至少有一人击中目标的概率为 . 【答案】； 【解析】记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，则由题意，与相互独立， 所以甲、乙同时击中目标的概率为； 甲、乙至少有一人击中目标，可能的情况较多，但其对立事件只有甲、乙都未击中目标一种情况，故用对立事件求概率更方便， 由，相互独立得，也相互独立， 所以甲、乙都未击中目标的概率， 所以甲、乙至少有一人击中目标的概率为. 【题型一：判断是否为独立事件】 【例1】（2025春•浦东新区校级期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；②若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．则：（　　） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】C 【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假． 【解答】解：某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩， 当该家庭中有两个小孩时， 样本空间为Ω＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}， M＝{（男，女），（女，男）}，N＝{（男，男），（男，女），（女，男）}，MN＝{（男，女），（女，男）}， 则M与N不互斥，故命题①错误； 当该家庭中有三个小孩时， 样本空间为Ω＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}， M＝{（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）}， N＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}， MN＝{（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}， 则， ∴P（MN）＝P（M）P（N）， ∴M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 【变式1】（多选）（2026•东湖区校级一模）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件A为“第一次朝下的面上的数字为1或2”，事件B为“两次朝下的面上的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（　　） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【答案】AC 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案． 【解答】解：根据题意，连续抛掷这个正四面体玩具两次，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数， 则Ω＝{11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44}，∴n（Ω）＝16， 事件A＝{11，12，13，14，21，22，23，24}，n（A）＝8， 事件B＝{12，14，23，34，21，41，32，43}，n（B）＝8， 依次分析选项： 对于A，，故A正确， 对于B，由于A∩B＝{12，14，21，23}，事件A、B可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，故B错误， 对于C，，， 则有，即事件A与事件B相互独立，故C正确， 对于D，A∪B＝{11，12，13，14，21，22，23，24，32，34，41，43}，n（A∪B）＝12，则，故D错误． 故选：AC． 【题型二：用独立事件的乘法公式求概率】 【例2】（2026春•北京校级月考）某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为0.5，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件Ai：元件i（i＝1，2，3）正常工作，记事件A：该部件正常工作，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率． 【解答】解：记事件Ai：元件i（i＝1，2，3）正常工作，记事件A：该部件正常工作， 则A1，A2，A3相互独立， 由题意可得P（A1）＝P（A2）＝P（A3）， 所以 ． 故选：A． 【变式1】（2025秋•渭南期末）某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为　 　 ． 【答案】0.973． 【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，小王答对每道题目的概率都是0.7， 则3次都没有答对的概率为（1﹣0.7）3＝0.027， 所以小王最终通过面试的概率为1﹣0.027＝0.973． 故答案为：0.973． 【变式2】（2026•梅州模拟）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元．根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立．然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（　　）元． A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解． 【解答】解：甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局． 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， ∴甲赢得比赛的总概率为． 同理可求得乙赢得比赛的总概率为． ∴奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配， 甲分得奖金为元． 故选：C． 【题型三：复杂赛事下事件的独立性的应用】 【例3】（2026•杭州校级模拟）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【解答】解：甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局， 每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分， 甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为， 且各局结果相互独立， 在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的情况有四种： 情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率． 综上，在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是： ． 故选：A． 【例4】（多选）（2026春•红花岗区校级月考）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（　　） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解． 【解答】解：甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜， ∴甲队积分为9分的概率为，故A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分，四支球队的积分总和为15分， ∴四支球队的积分总和可能为15分，故B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为，故C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为，故D正确． 故选：ABD． A层基础练 1．（2025春•新泰市校级期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A＝“取出的小球编号为奇数”，事件B＝“取出的小球编号为偶数”，事件C＝“取出的小球编号小于6”，事件D＝“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（　　） A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件 C．C与D互为对立事件 D．B与D相互独立 【答案】C 【分析】分别求出样本空间Q和事件A、B、C、D即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断． 【解答】解：由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 事件A表示{1，3，5，7}，事件B表示{2，4，6，8}，事件C表示{1，2，3，4，5}， 事件D表示{7，8}，A∪B＝Q且A∩B＝∅，所以A与B互斥； A与B互为对立事件，故选项A，B正确， C∩D＝∅且C∪D＝{1，2，3，4，5，7，8}⊆Ω，所以事件C与事件D不为对立事件，故选项C错误； ，，， 故事件B和事件D为独立事件，故选项D正确． 故选：C． 2．（2025秋•湘潭期末）若事件A，B相互独立，P（A）＝2026P（AB）≠0，则P（B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可． 【解答】解：若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）， 因为P（A）＝2026P（AB）， 所以P（A）＝2026P（A）P（B）， 而P（A）≠0， 所以． 故选：C． 3．（2026春•锡山区校级期中）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相互独立事件及互斥事件的概率公式即可求解． 【解答】解：由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为． 乙获胜的概率为． 故选：B． 4．（2025秋•新建区校级期末）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7．已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可． 【解答】解：因为某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6， 若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7， 所以已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为：． 故选：C． （多选）5．（2025秋•韩城市期末）辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体．现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（　　） A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥 B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立 C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立 D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立 【答案】BC 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B 相互独立即可判断B、C、D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误； 对于B，“小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为， 由于，则“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立，B正确； 对于C，“小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为， 由于，则“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立，C正确；对于D，“小林参加B场或C场活动”的概率为，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为， 由于，则“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立，D错误． 故选：BC． B层提升练 6．（2025秋•汉中期末）某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略，三种时段的时间占比为2：2：1．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为0.5和0.5；在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为0.5和0.5；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为0.5和0.5．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头0.02，红外传感器0.02，声音传感器0.02．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（　　） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 【答案】B 【分析】先求出三种时间占比，再求出每种模式误报警的概率，再由全概率公式求解． 【解答】解：∵工作日、周末、法定假日三种时间占比分别为， 由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为0.5和0.5，且两者误报警的概率均为0.02， ∴工作日误报警的概率为0.5×0.02+0.5×0.02＝0.02， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为0.5和0.5，且两者误报警的概率均为0.02， ∴周末误报警的概率为0.5×0.02+0.5×0.02＝0.02， 法定假日摄像头、声音传感器的概率分别为0.5和0.5，且两者误报警的概率均为0.02， ∴法定假日误报警的概率为0.5×0.02+0.5×0.02＝0.02， 由全概率公式得系统发生误报警的概率为： P0.02． 故选：B． （多选）7．（2026春•沙坪坝区校级月考）甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子一次，记甲的点数为x，乙的点数为y，定义事件A：x+y≥8，B：xy是3的倍数，C：|x﹣y|≤1，D：x2+y2≤25，则下列说法正确的有（　　） A． B．B与C相互独立 C． D． 【答案】AC 【分析】求出总样本数，求出事件A的样本点个数，由古典概型概率公式求解即可判断A；由相互独立事件的定义判断B；由B的计算过程可判断C；计算P（D），由概率不可能大于1即可判断D． 【解答】解：甲乙各掷一枚骰子，x，y∈{1，2，3，4，5，6}，总样本数为6×6＝36． 选项A：事件A：x+y≥8，所有满足条件的（x，y）： （2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共15个样本点． 则，故A正确； 对于B：B的对立事件为x，y都不是3的倍数，共4×4＝16个样本点，故， 满足|x﹣y|≤1的样本点：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共16个， 故， 同时满足xy是3的倍数且|x﹣y|≤1的样本点：（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（5，6），（6，5），（6，6），共8个， 故， 则P（B）.，故B与C不独立，故B错误； 对于C：由B分析可知C正确； 事件D：x2+y2≤25， 列举所有满足条件的（x，y）： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共15个， 故，不可能大于，故D错误． 故选：AC． 8．（2026•上海）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 [25，35） 8 45 [35，45） 10 55 [45，55） 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25，35）岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在[35，45）为事件A，记抽到学员爱好摄影为事件B．事件A与B是否独立？请说明理由． 【答案】（1）9人． （2）40.33岁． （3）事件A与B不独立，理由如下： 由题意知，P（A）， P（B） P（AB）， 所以P（AB）≠P（A）P（B）， 故事件A与B不独立． 【分析】（1）根据分层随机抽样按比例分配即可得解； （2）根据平均数的计算方式求解即可； （3）利用古典概型分别计算P（A），P（B）和P（AB）的值，考虑P（AB）＝P（A）P（B）是否成立即可判断． 【解答】解：（1）由表知，年龄在[25，35）岁的人数在总体中的占比为， 所以采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25，35）岁的有30＝9人． （2）该兴趣班150人的平均年龄是（455550）40.33岁． （3）事件A与B不独立，理由如下： 由题意知，P（A）， P（B） P（AB）， 所以P（AB）≠P（A）P（B）， 故事件A与B不独立． C层拓展练 9．（2026•江苏一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析．某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推．现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（　　） A．39% B．51% C．64% D．73% 【答案】C 【分析】分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率，然后将这两个概率相加，得到处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例． 【解答】解：状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推， 设经过3秒处于状态1的概率为P1，粒子要始终停留在状态 1， 需连续3秒都保持状态 1， 根据独立事件概率公式得：； 设经过3秒处于状态2的概率为P2， 情况一：第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为； 情况二：第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三：第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加， 可得． 综上，经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占64%． 故选：C． 10．（2025秋•江西校级期末）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率． 【解答】解：假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为， 且与过去情况相互独立． “至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次． （1）4次均不下雨，概率为； （2）有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：． 故选：C． 11．（2025秋•昭通期末）2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名： 企业 数字人丰富度 数字人传播声量 数字人应用潜力 综合得分 百度 78.0 89.0 85.0 84.1 科大讯飞 78.4 84.3 84.9 82.8 360集团 82.3 82.2 83.1 82.6 小冰公式 85.0 81.9 81.3 82.6 华为 77.0 90.0 79.1 81.7 阿里巴巴 77.0 78.8 84.1 80.4 抖音集团 77.0 80.9 80.9 79.8 哗哩哗哩 77.2 81.8 80.0 79.7 （1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数； （2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差s2（精确到0.1）； （3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件A＝“两数之和大于171.0”，事件B＝“两数之差的绝对值∈[1，6]”，判断事件A与事件B是否相互独立． 【答案】（1）4.4，77.2； （2）平均数82.3，方差4.6； （3）事件A与事件B相互独立． 【分析】（1）由题意，利用极差的定义和百分数的定义进行计算； （2）先计算出平均数，进而求出方差； （3）列举法求古典概型的概率，得到事件A，事件B和事件AB的概率，进而得到事件A与事件B相互独立． 【解答】解：（1）易知这8家企业综合得分的极差为84.1﹣79.7＝4.4， 因为45%×8＝3.6， 所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列， 此时第45百分位数为第4个数据77.2； （2）易知， 所以 ， （3）将这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列， 前5个数据依次为：90.0，89.0，84.3，82.2，81.9， 若从中任取2个不同数据，共有：（90.0，89.0），（90.0，84.3），（90.0，82.2），（90.0，81.9），（89.0，84.3），（89.0，82.2） （89.0，81.9），（84.3，82.2），（84.3，81.9），（82.2，81.9）这10种情况， 若事件A＝“两数之和大于171.0”，事件B＝“两数之差的绝对值∈[1，6]”， 可得A＝{（90.0，89.0），（90.0，84.3），（90.0，82.3），（90.0，81.9），（89.0，84.3），（89.0，82.2）}， 此时， 而B＝{（90.0，89.0），（90.0，84.3），（89.0，84.3），（84.3，82.2），（84.3，81.9）}， 此时， 易得AB＝{（90.0，89.0），（90.0，84.3），（89.0，84.3）}， 所以， 因为P（A）P（B）＝P（AB）， 故事件A与事件B相互独立． 12．（2025秋•海淀区校级期末）早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下： 人大附小 人民英雄 人大附中集团校 人大附中 人才济济 人大代表 人民大学 人大附幼儿园 地灵人杰 学为人师 助人为乐 人大附中东门 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为　 　 ，输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为　 　 ． 【答案】． 【分析】根据古典概型概率公式、相互独立事件概率乘法公式求解． 【解答】解：文本库中包含“人”的所有短语为： 从大附小、人民英雄、人大附中集团校、人大附中、人才济济、人大代表、人民大学、人大附幼儿园、地灵人杰、学为人师、助人为乐、人大附中东门， 统计“人”之后的第一个字： 大（出现于：从大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门，共6次）， 民（出现于：人民英雄、人民大学，共2次）， 才（出现于：人才济济，共1次）， 杰（出现于：地灵人杰，共1次）， 师（出现于：学为人师，共1次）， 为（出现于：助人为乐，共1次）， 总样本数为n＝6+2+1+1+1+1＝12， ∴输出“大”的概率为：， 生成“人大附中”需要依次满足： （1）输入“人”→“大”，概率为； （2）输入“人大”→“附”， 文本库中以“人大”开头的知识为： 从大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门，共6条， 其中“人大”后接“附”的有：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门，共5条，概率为； （3）输入“人大附”→“中”：文本库中以“从大附”开头的短语为： 人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门，共5条， 其中“人大附”后接“中”的有： 人大附中集团校、人大附中、人大附中东门，共3条，概率为， 三步是相互独立事件， ∴输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 事件的相互独立性 讲义 【题型一：判断是否为独立事件】 【题型二：用独立事件的乘法公式求概率】 【题型三：复杂赛事下事件的独立性的应用】 1. 理解概念：通过具体实例，理解相互独立事件的定义，掌握用 P(AB)=P(A)P(B) 判断两个事件是否相互独立的方法。 2. 掌握性质：熟记相互独立事件的核心性质，能熟练运用对立事件与独立事件的关系进行概率计算。 3. 区分易混点：清晰区分互斥事件与相互独立事件，明确二者的侧重点与判定依据，避免概念混淆。 4. 会用公式：熟练运用独立事件概率乘法公式，解决 “同时发生”“恰有一个发生”“至少一个发生” 等基础概率问题。 5. 能解综合题：结合赛事、闯关、电路 / 系统可靠度等实际情境，解决较复杂的独立事件概率问题，提升建模与运算能力。 【知识点一：事件的相互独立性】 1概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. 注：①如果两个事件相互独立，那么这一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率，如果要判断事件与是否独立，可以检验是否成立. ②必然事件和不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响. 2、性质 如果事件与事件相互独立，那么事件与，与，与也相互独立. 3、推广 若事件，，，相互独立，则这个事件同时发生的概率. 【知识点二：区分互斥事件和相互独立的事件】 侧重点 计算公式 互斥事件 强调两个事件不能同时发生，即 相互独立事件 强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 【例 1】已知事件与事件相互独立，且，，则 . 【例 2】甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，甲、乙两人是否击中目标互不影响，则甲、乙同时击中目标的概率为 ；甲、乙两人至少有一人击中目标的概率为 . 【题型一：判断是否为独立事件】 【例1】（2025春•浦东新区校级期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；②若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．则：（　　） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【变式1】（多选）（2026•东湖区校级一模）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件A为“第一次朝下的面上的数字为1或2”，事件B为“两次朝下的面上的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（　　） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【题型二：用独立事件的乘法公式求概率】 【例2】（2026春•北京校级月考）某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为0.5，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025秋•渭南期末）某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为　 　 ． 【变式2】（2026•梅州模拟）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元．根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立．然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（　　）元． A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【题型三：复杂赛事下事件的独立性的应用】 【例3】（2026•杭州校级模拟）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（　　） A． B． C． D． 【例4】（多选）（2026春•红花岗区校级月考）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（　　） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 A层基础练 1．（2025春•新泰市校级期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A＝“取出的小球编号为奇数”，事件B＝“取出的小球编号为偶数”，事件C＝“取出的小球编号小于6”，事件D＝“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（　　） A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件 C．C与D互为对立事件 D．B与D相互独立 2．（2025秋•湘潭期末）若事件A，B相互独立，P（A）＝2026P（AB）≠0，则P（B）＝（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•锡山区校级期中）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•新建区校级期末）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7．已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（　　） A． B． C． D． （多选）5．（2025秋•韩城市期末）辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体．现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（　　） A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥 B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立 C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立 D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立 B层提升练 6．（2025秋•汉中期末）某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略，三种时段的时间占比为2：2：1．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为0.5和0.5；在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为0.5和0.5；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为0.5和0.5．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头0.02，红外传感器0.02，声音传感器0.02．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（　　） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 （多选）7．（2026春•沙坪坝区校级月考）甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子一次，记甲的点数为x，乙的点数为y，定义事件A：x+y≥8，B：xy是3的倍数，C：|x﹣y|≤1，D：x2+y2≤25，则下列说法正确的有（　　） A． B．B与C相互独立 C． D． 8．（2026•上海）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 [25，35） 8 45 [35，45） 10 55 [45，55） 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25，35）岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在[35，45）为事件A，记抽到学员爱好摄影为事件B．事件A与B是否独立？请说明理由． C层拓展练 9．（2026•江苏一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析．某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推．现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（　　） A．39% B．51% C．64% D．73% 10．（2025秋•江西校级期末）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（　　） A． B． C． D． 11．（2025秋•昭通期末）2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名： 企业 数字人丰富度 数字人传播声量 数字人应用潜力 综合得分 百度 78.0 89.0 85.0 84.1 科大讯飞 78.4 84.3 84.9 82.8 360集团 82.3 82.2 83.1 82.6 小冰公式 85.0 81.9 81.3 82.6 华为 77.0 90.0 79.1 81.7 阿里巴巴 77.0 78.8 84.1 80.4 抖音集团 77.0 80.9 80.9 79.8 哗哩哗哩 77.2 81.8 80.0 79.7 （1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数； （2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差s2（精确到0.1）； （3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件A＝“两数之和大于171.0”，事件B＝“两数之差的绝对值∈[1，6]”，判断事件A与事件B是否相互独立． 12．（2025秋•海淀区校级期末）早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下： 人大附小 人民英雄 人大附中集团校 人大附中 人才济济 人大代表 人民大学 人大附幼儿园 地灵人杰 学为人师 助人为乐 人大附中东门 输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为　 　 ，输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $