10.2 事件的相互独立性 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.2 事件的相互独立性 1. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 3. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 4. 某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 5. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与相互独立 6. 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 7. （多选）已知为两个随机事件，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 8. （多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 9. （多选）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件两次的点数之和为偶数，两次的点数之积为奇数，第一次的点数大于2，则（） A． B． C． D．与相互独立 10. （多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 12. 在太空中为了完成某项科学实验，由甲乙两名宇航员分别独立进行，已知甲乙二人独立完成该实验的概率分别为和，则这项实验能完成的概率为______． 13. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 14. 在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 15. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 事件的相互独立性 1. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 2. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】独立事件的判断、确定所给事件的包含关系、判断所给事件是否是互斥关系 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 3. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（   ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 4. 某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作， 则，且、、相互独立， 由题意可得， 所以 . 5. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与相互独立 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、容斥原理 【分析】对A，根据容斥原理判断；对B，根据互斥定义判断；对C，由古典概型概率计算公式计算；对D，由相互独立的定义判断. 【详解】对于A：由可得，A正确； 对于B：由可知，事件与不互斥，B错误； 对于C：由图知，，所以，C错误； 对于D：因为， 所以，D错误； 故选：A. 6. 甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 7. （多选）已知为两个随机事件，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B错误； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 故选：ACD 8. （多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 9. （多选）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件两次的点数之和为偶数，两次的点数之积为奇数，第一次的点数大于2，则（） A． B． C． D．与相互独立 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】先求基本事件总数，再分别分析各事件的基本事件数，结合概率公式、独立事件的判定条件逐一验证各选项. 【详解】连续抛掷两次骰子，基本事件总数为. 选项A：由于“奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数”，因此发生的条件是两次点数均为奇数. 骰子的奇数点数为，共3种，故包含的基本事件数为. 因此：，故选项A正确； 选项B：第一次点数大于2的情况为，共4种，第二次点数无限制，共6种， 故包含的基本事件数为. 因此：，故选项B正确； 选项C： 事件：两次点数之和为偶数（条件是“同奇或同偶”）； 由于事件（两次均为奇数）满足“同奇”，故， 因此：，故选项C错误； 选项D：事件：“两次积为奇数”且“第一次点数大于2”，需满足“第一次是大于2的奇数（，共2种）、第二次是奇数（3种）”，故包含的基本事件数为， 因此：，又， 由于，故与相互独立，故选项D正确. 故选：ABD 10. （多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【难度】0.51 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】记从甲袋中摸出红球为事件，从乙袋中摸出红球为事件，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球为事件， 易知事件发生与否对事件发生的概率没有影响，所以相互独立， 所以． 12. 在太空中为了完成某项科学实验，由甲乙两名宇航员分别独立进行，已知甲乙二人独立完成该实验的概率分别为和，则这项实验能完成的概率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】先求出甲乙两人都不能完成实验的概率，再利用对立事件的概率公式求出这项实验能完成的概率． 【详解】设甲能独立完成的事件为，乙能独立完成的事件为， 甲乙二人独立完成该实验的概率分别为和， 又甲乙两名宇航员分别独立进行，即事件相互独立， “甲乙均不能完成实验”的概率为：， “甲乙均不能完成实验”的对立事件为“这项实验能完成”， “这项实验能完成”的概率． 故答案为： 13. 西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.75 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 14. 在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解出的值； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）方法一：利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； 方法二：利用对立事件的概率公式和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． （2）记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. （3）记“至少有一人通过体能测试”为事件． （方法一）； （方法二）． 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 15. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $