精品解析：广东东莞市虎门第四中学2025-2026学年第二学期期中质量自查 八年级 数学

虎门四中2025—2026学年第二学期期中质量自查 八年级数学 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，两点被池塘隔开，过点，分别作直线，相交于点，点，分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 4. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 8. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 10. 跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离．若，且，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 菱形的对角线，，则菱形的面积是________． 12. 计算：______． 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是___________． 14. 如图，点在数轴上表示的数为，在数轴上取一点，使，过点作直线，在直线上取点，使，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是______． 15. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，若，，，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（一）（本大题4小题，每小题6分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，求的长度． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲 亭亭多姿湖中立，突逢狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 18. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 19. 如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）求的面积． （2）是直角吗？为什么？ （3）点A到的距离为______． 21. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 22. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，_________，_________； （2）已知：，求的值． （3）计算：． 24. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）______，______，______； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虎门四中2025—2026学年第二学期期中质量自查 八年级数学 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，，两点被池塘隔开，过点，分别作直线，相交于点，点，分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线，根据题意得到是的中位线，得到，计算即可． 【详解】解：点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ． 故选：． 4. 木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量对角线是否互相垂直 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减乘除运算，据此逐一判断即可．熟记二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、不是同类二次根式，无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意， 故选：D． 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形； ②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形； ③添加∠ACB=45°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ACB=∠BAC=45°， ∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形； ④∵矩形ABCD中， ∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形； 综上，①②③符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 8. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故选：． 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 10. 跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离．若，且，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 菱形的对角线，，则菱形的面积是________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，代入已知对角线的长度即可求解． 【详解】解：由菱形的面积公式得，代入，，得． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，n边形的内角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是8， 故答案为：8． 14. 如图，点在数轴上表示的数为，在数轴上取一点，使，过点作直线，在直线上取点，使，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理得出，可得，即可得点表示的数． 【详解】解：∵直线，点、在直线上， ∴， ∵ ，， ∴， ∴点表示的数是． 15. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，若，，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，通过解直角三角形，即可得到的长，进而得到平行四边形的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积等于平行四边形面积的． 【详解】解：如图所示，过作于，则， ， ， ， 平行四边形的面积， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，有 ， 则， ， 图中阴影部分的面积等于平行四边形面积的， 即图中阴影部分的面积． 三、解答题（一）（本大题4小题，每小题6分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，求的长度． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲 亭亭多姿湖中立，突逢狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】的长度为尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的长度为尺． 18. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长加宽乘以2即可求解； （2）将大矩形面积减去阴影面积即可求解． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为：； 【小问2详解】 种植青菜部分的面积为： ． 答：种植青菜部分的面积是． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． 19. 如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，由已知可得，可得，即可证得结论； （2）由，可得，可得四边形的对角线互相平分，即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又∵，四边形的对角线交于点， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）求的面积． （2）是直角吗？为什么？ （3）点A到的距离为______． 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据割补法计算即可； （2）根据勾股定理逆定理判断即可； （3）根据等面积法计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即是直角； 【小问3详解】 解：设点A到的距离为h， ∵，， ∴， 解得：， 即点A到的距离为． 21. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， 的面积． 22. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 【答案】（1）长为；（2）的长度为；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， 答：OA长为； （2）， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （3）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，_________，_________； （2）已知：，求的值． （3）计算：． 【答案】（1），， （2）36 （3）2025 【解析】 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解： ； ； ∴ ； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）______，______，______； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 【答案】（1），， （2）证明过程见解析； （3）当t时，四边形为菱形，菱形的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，由角所对的直角边与斜边的关系，可得； （2）由（1）可得，，结合已知可得，即可证得结论； （3）由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，可得，，由菱形的性质可得，由割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∵于点， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：在中，，， ， ， ， ， ， 若平行四边形为菱形，则， 即， 解得t． 即当t时，四边形为菱形． 此时， ， ， ， ∴菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $