精品解析：广东广州协和学校2025－2026学年下学期初二期中数学练习

初二数学练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可判断A，根据二次根式的加法运算即可判断B，根据二次根式的乘法运算即可判断C，根据二次根式的除法运算即可判断D． 【详解】解：A. ，故A计算错误，不符合题意； B. ，故B计算错误，不符合题意； C. ，故C计算错误，不符合题意； D. ，故D计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． 3. 为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∴，即之间的距离是， 故选：． 【点睛】本题主要考查中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 4. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，面积等于底×高．由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积． 【详解】解：平行四边形的周长为， ， 设为， 平行四边形面积， ， 解得， 平行四边形的面积为， 故选：C． 7. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形“对角线互相平分”的性质即可求解． 【详解】解：因为四边形是平行四边形 故选：C 【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握相关结论是解题的关键． 9. 如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE=，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度． 【详解】解：在矩形中，， ∴∠B=90°， ∴， 由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF， ∴CF=53=2， 在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE的长度． 10. 如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则对角线长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作交于， ， 为等腰三角形， ， ， 根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含的直角三角形． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 【答案】x≥﹣2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x+2≥0， 解得x≥﹣2， 所以x的取值范围为x≥﹣2． 故答案为x≥﹣2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使二次根式有意义，需让被开方数是非负数即可解决问题． 12. 一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是________． 【答案】13或##或13 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若12是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得：， ∴（负值舍去）， （2）若12是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得：， ∴（负值舍去）， ∴第三边的长为13或． 故答案为：13或． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半， ∴阴影部分面积为， 故答案为：1． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了正方形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理等知识点，结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据正方形的性质及题意可得，可得四边形为菱形，故点的横坐标等于的长度，其纵坐标等于点的纵坐标，由勾股定理求得的长，则可知点的纵坐标． 【详解】解：四边形为正方形，， ， 由题意可知，，，， ∴， 四边形为菱形， ∴， 点的横坐标为2， 的中点是坐标原点， ， 在中，由勾股定理得：， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 _____(填正确的序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，先由判断④正确，得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ∵， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵不垂直， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； 故答案是①②④． 16. 如图，在中，，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，当时，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长到K，使得，延长交于点L，延长，过点E作，根据正方形的性质及全等三角形的判定证明，，，再由其性质及勾股定理求解即可 【详解】解：延长到K，使得， 延长交于点L，延长，过点E作， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴即， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 四、解答题：本题共8小题，共68分． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和完全平方公式，原式可变形为，再利用，，求代数式的值． 【详解】∵， ∴，， ∴原式． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，AC与BD相交于O点．且，，求和的长． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质可得，，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】∵， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 综上：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分． 20. 位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？ 【答案】此时游船移动的距离的长是 【解析】 【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴． 答：此时游船移动的距离的长是． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 21. 已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． （1）是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （2）求平行四边形的面积． 【答案】（1）存在，点D的坐标为或或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； 【小问2详解】 解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积 ． 22. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形，即可求解； （2）根据中位线的性质可得，，可得平行四边形为菱形，利用菱形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点D，E分别是边的中点， ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ 【小问2详解】 解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 23. 如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明 （3）若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析 （2）当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，见解析 （3）13 【解析】 【分析】（1）由E是的中点，，可得，，结合，得到，四边形是平行四边形，由，，根据等腰三角形三线合一，得到，根据矩形的判定定理，即可求证， （2）要使矩形是正方形，则，即，根据直角三角形的性质可得添加条件：是等腰直角三角形， （3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称求最短路径的方法求出最小值． 【小问1详解】 解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 【小问2详解】 解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形， 由（1）知四边形为矩形， ∵，， ∴点D是的中点， ∴， ∴四边形是正方形， 【小问3详解】 解：， ∴， 设点P到的距离为h，则， 解得， ∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点A关于点P所在平行于的直线的对称点G，连接，此时的值最小为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关判断定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，连接，，，，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，同时动点从点出发，沿线段匀速运动，当运动到点时停止运动，设运动的时间为 （1）求证：四边形为平行四边形. （2）若点的运动速度为，点的运动速度为，当运动到以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值. （3）若点的运动速度为，点的运动速度为，以，，，为顶点的四边形能否为菱形，若能，请直接写出与之间的数量关系；若不能，请说明理由. 【答案】（1）见解析； （2）的值为秒或秒; （3）当或时，以，，，为顶点的四边形能为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定证明，再利用平行四边形的判定即可得证； （2）由题意可知，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时，表示出的长，根据平行四边形的性质列方程求解即可得到答案； （3）由题意可知，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时，根据菱形的性质，得到，进而求得，即可得到答案；当点在线段的延长线上时，，连接交于点，根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理求出，进而求得，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， ①当点在线段上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：秒； ②当点在线段的延长线上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：秒， 综上可知，当的值为秒或秒时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：由题意可知，，， ①当点在线段上时，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，即； ②如图，当点在线段的延长线上时，，连接交于点， ∵,, ∴, 四边形是菱形， ，，， ∴, ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 综上可知，当或时，以，，，为顶点的四边形能为菱形． 【点睛】本题考查了平行线得的判定及性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 25. 在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． （1）如图1，过点作于，求证：； （2）如图2，点为的中点，连接，求证：； （3）如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，再证，然后由证即可； （2）过点作于，交的延长线于，先证，得，再证，得，，则四边形是正方形，得，则，进而得出结论； （3）取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由（2）得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形的性质得，，则，证出，最后证点在线段上运动，由等腰直角三角形的性质得，即可求解． 【小问1详解】 解：证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：过点作于，交的延长线于，如图2所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于， 设， 由（2）得：， ， ，点为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点在线段上运动，是等腰直角三角形， ， 点的运动轨迹的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 7. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 9. 如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则对角线长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 12. 一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是________． 13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为___________． 15. 如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 _____(填正确的序号)． 16. 如图，在中，，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，当时，则的长为_________________． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 17. 计算：． 四、解答题：本题共8小题，共68分． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，AC与BD相交于O点．且，，求和的长． 20. 位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？ 21. 已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． （1）是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （2）求平行四边形的面积． 22. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明 （3）若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案） 24. 如图，在四边形中，，，连接，，，，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，同时动点从点出发，沿线段匀速运动，当运动到点时停止运动，设运动的时间为 （1）求证：四边形为平行四边形. （2）若点的运动速度为，点的运动速度为，当运动到以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值. （3）若点的运动速度为，点的运动速度为，以，，，为顶点的四边形能否为菱形，若能，请直接写出与之间的数量关系；若不能，请说明理由. 25. 在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． （1）如图1，过点作于，求证：； （2）如图2，点为的中点，连接，求证：； （3）如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $