精品解析：重庆市秀山土家族苗族自治县多校2025-2026学年下学期八年级数学期中作业设计

2026年春期八年级数学期中作业设计 （训练范围：19-21章 满分150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A. 15 B. 30 C. 75 D. 60 7. 如图，直线上摆放有三个正方形A、B、C，若A、C的面积分别为3和6，则B的面积是（ ） A. 3 B. 9 C. 45 D. 81 8. 如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（ ） A. 400 B. 350 C. 300 D. 250 9. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，满足，则_______． 12. 一个n边形的内角和比四边形的内角和多，则n为______． 13. 实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为_____． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 15. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 16. 已知将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除，也称这个数为“美好数”．例如：将数1078分解为8和107，，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“美好数”．判断1169是不是“美好数”______．若一个四位自然数是“美好数”，设的个位数字为，十位数字为，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记，则的最大值为______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请将必要的演算过程或推理步骤书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 尺规作图： （1）如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中，于点E，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，，①__________． ∵． 在和中，， 。 ∴，②__________． ∴，即③__________． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形（④__________）． 四、解答题（本大题7小题，每小题10分，共70分）请将必要的演算或推理步骤书写在答题卡中对应的位子上． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． （1）作关于直线对称的； （2）求出的面积． 21. 为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集中在类和类两种，且类比类的单价贵10元，已知用450元购买的类足球数与用350元购买的类足球数相等，现准备同时购买、两类足球． （1）请问类、类足球单价各多少元？（用方程解决问题） （2）若准备同时购进两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 22. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 23. 如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 25. 观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： （1）______； （2）当为正整数时，______； （3）计算的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级数学期中作业设计 （训练范围：19-21章 满分150分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此作答即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．不是最简二次根式，不符合题意； C．不是最简二次根式，不符合题意； D．不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，此选项计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故结论A、B正确； ∴，故结论C正确； 无法证明，故结论D错误； 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．利用二次根式的减法化简，再根据无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 估计的值应在1和2之间． 故选：B． 6. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A. 15 B. 30 C. 75 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 7. 如图，直线上摆放有三个正方形A、B、C，若A、C的面积分别为3和6，则B的面积是（ ） A. 3 B. 9 C. 45 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】如图，先根据正方形的性质可得，，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据勾股定理可得，由此即可得出答案． 【详解】如图， 由题意得，， ，， ， 在和中，， ， ， 在中，， 则正方形B的面积为9， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 8. 如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（ ） A. 400 B. 350 C. 300 D. 250 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【详解】解：， 图1中正方形的面积和为： ， 图2中所有正方形的面积和为： ， 图3中所有正方形面积和为： ， …… …… 图11中所有正方形的面积为． 故选：C 9. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 10. 对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 若，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 12. 一个n边形的内角和比四边形的内角和多，则n为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，即可求解． 【详解】解：∵n边形的内角和比四边形的内角和多， ∴， 解得：． 13. 实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，数轴，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握． 由数轴可得，，则，，再把化为，然后去绝对值，进行整式的加减运算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 【答案】 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴（），（）， 在中，（）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 15. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 16. 已知将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除，也称这个数为“美好数”．例如：将数1078分解为8和107，，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“美好数”．判断1169是不是“美好数”______．若一个四位自然数是“美好数”，设的个位数字为，十位数字为，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记，则的最大值为______． 【答案】 ①. 是 ②. 4 【解析】 【分析】根据定义直接判断1169即可；由已知这个四位数的千位数字是，百位数字是，且，，由已知可得能被7整除，分别代入数验证可得，；，；，；，；，，即可求解． 【详解】解：1169：个位数字为9，个位之前的数为116． 计算：． ∵，能被7整除， ∴1169是“美好数”． ∵的个位数字为，十位数字为，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13， ∴这个四位数的千位数字是，百位数字是， ∴且 ， 且， 四位数是“美好数”， 能被7整除，即能被7整除， ∵， ∴能被7整除， ，；，；，；，；，； 的最大值是4． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）请将必要的演算过程或推理步骤书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2）11 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 尺规作图： （1）如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中，于点E，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，，①__________． ∵． 在和中，， 。 ∴，②__________． ∴，即③__________． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形（④__________）． 【答案】（1）见解析 （2）；；；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）由平行四边形的性质和全等三角形的判定定理证明得到，再证明，则可证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理即可证明结论． 【小问1详解】 解：解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中， ， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 四、解答题（本大题7小题，每小题10分，共70分）请将必要的演算或推理步骤书写在答题卡中对应的位子上． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． （1）作关于直线对称的； （2）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积为： ； 21. 为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集中在类和类两种，且类比类的单价贵10元，已知用450元购买的类足球数与用350元购买的类足球数相等，现准备同时购买、两类足球． （1）请问类、类足球单价各多少元？（用方程解决问题） （2）若准备同时购进两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 【答案】（1）类足球的单价是45元，类足球的单价是35元； （2）购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个． 【解析】 【分析】（1）设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购进类足球个，则购进类足球个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：类足球的单价是45元，类足球的单价是35元； 【小问2详解】 解：设购进类足球个，则购进类足球个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， 有2种购买方案： ①购进类足球1个，类足球19个； ②购进类足球2个，类足球18个． 答：购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个． 22. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【答案】南偏东度 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向． 【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里）， 乙船1小时的路程：（海里）， ∵， 即 ∴， ∵C岛在A北偏东方向， ∴ ∴B岛在A南偏东方向． ∴乙船航行的角度是南偏东方向． 23. 如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线得，再用三角形中位线定理证，得，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出的长，由算出，再结合第一问的等角对等边得出即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 25. 观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： （1）______； （2）当为正整数时，______； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【小问1详解】 ． 故答案为： 【小问2详解】 ． 故答案为： 【小问3详解】 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $