专题01 数据的分析易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题01 数据的分析易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、极差及未知数据求值 1 题型二、方差及未知数据求值 2 题型三、根据方差判断稳定性 3 题型四、运用方差做决策 5 题型五、求离差平方和 6 题型六、离差平方和的应用 8 题型七、根据数据描述求频数、频率 9 题型八、频数分布表 11 题型九、频数分布直方图 11 题型十、用样本的频数估计总体的频数 11 题型十一、用样本所占百分比估计总体的数量 11 题型十二、用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 11 题型十三、求四分位数 11 题型十四、画箱线图 11 题型十五、方差综合题 11 题型十六、离差平方和综合题 11 题型十七、频数分布表与频数分布图综合题 11 题型十八、四分位数与箱线图综合题 11 题型一、极差及未知数据求值 1．初三年级6名教师某周使用人工智能（AI）备课的次数分别为：3，4，5，7，6，5．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是5 D．极差是3 【答案】C 【分析】先将数据排序，再依次计算各统计量，即可判断选项． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， 平均数：，故选项A错误； 中位数：共个数据，中位数为第、第个数据的平均数，即，故选项B错误； 众数：数据中出现的次数最多，为次，众数是，选项C正确； 极差：极差最大值最小值，故选项D错误． 2．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是2 【答案】A 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和极差等知识，熟练掌握统计的基本概念是解题的关键； 根据众数、中位数、平均数和极差的定义逐项判断即可得解. 【详解】解：在这组数据中，5出现了两次，最多，所以这组数据的众数是5，故选项A说法正确； 将这组数据从小到大排列：3，4，5，5，6，7，中间第3和第4个数的平均数是5，所以这组数据的中位数是5，故选项B说法错误； 这组数据的平均数，故选项C说法错误； 这组数据的极差是，故选项D说法错误； 故选：A. 3．若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 【答案】或 【分析】本题考查极差，熟练掌握计算法则是解题关键．根据极差的定义求解．分两种情况：为最大值或最小值 【详解】解：一组数据，，，，，的极差为， 当为最大值时，，； 当是最小值时，，解得：． 故答案为：或． 题型二、方差及未知数据求值 4．某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 【答案】2 【分析】先根据平均数的定义求出的值，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差为． 5．若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【答案】12 【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 6．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 题型三、根据方差判断稳定性 7．八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题根据平均数和方差的意义选择参赛同学，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩越稳定，据此决策即可． 【详解】解：∵丙、丁同学的平均数为，大于甲、乙同学的平均数， ∴应从丙和丁同学中选择， ∵丙同学的方差小于丁同学的方差， ∴丙同学的成绩更好且状态稳定，应选丙同学． 8．图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2025年5月27日至31日每天的最高气温，设两组数据的方差分别为和，则__________．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解． 【详解】解：由图象可知，乙地的气温波动大，更不稳定，甲地的气温波动小，比较稳定， ∴． 9．一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【答案】(1)165；； (2)，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：165，； （2）解：． 而由（1）得， ∴方差分别是 ， ． 由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 题型四、运用方差做决策 10．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产A，B两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． A款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 A a 4 b 4 B 5 5 5 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在A款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在B款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则_______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)5；4 (2)款情绪机器人的表现更优秀，分析见解析 (3) 【分析】本题考查了中位数，众数，方差等知识． （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）分别从平均数和方差角度分析即可； （3）根据平均数的定义判断出，判断出比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； ∵4出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：5；4； （2）解：平均数都是5， 从平均数角度两款机器人情绪价值一样． ， 从方差角度B款机器人的情绪价值比A款机器人的情绪价值更稳定， 款情绪机器人的表现更优秀； （3）解：在A款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数共6，9两次， ， B的中位数是5， B的数据从小到大排列后至少从第4个数据大于或等于5， ， ． 故答案为：． 11．某校八年级一班和二班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩（单位：分；满分：100分）分别是： 一班：，，，，； 二班：，，，，． 两个班前5名成绩的有关统计量如下表： 平均数分 中位数分 众数分 一班 85 二班 85 85 请解决下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)计算二班前5名的成绩的方差； (3)已知一班前5名的成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 【答案】(1)，， (2)二班前5名的成绩的方差为 (3)八（2）班前5名的整体成绩较好，见解析 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据方差的计算方法即可求解； （3）根据八（2）班的平均分高，方差小即可求解． 【详解】（1）解：； 八（1）班的成绩从高到低依次是：，，，，， 中位数，众数； 故答案为：，，； （2）， 则二班前5名的成绩的方差为； （3）从平均分上分析，八（2）班的平均分分大于八（1）班的平均分分；从方差上分析，八（2）班的方差小于八（1）班． 八（2）班前5名的整体成绩较好． 12．【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 a b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 c 0.0669 【问题解决】 (1)求a，b，c的值； (2)A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 同学． 【答案】(1)3.74，3.75，2.0 (2)B 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数定义即可得到答案； （2）根据题目给出的数据判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为， ∴， 观察10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是， ∴； （2）解：∵， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理， ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴B同学说法合理； 故答案为：B． 题型五、求离差平方和 13．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 14．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 15．若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 题型六、离差平方和的应用 16．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 17．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况． 【答案】 小 大 7 【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可． 【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况． 故答案为：小，大，7． 18．现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【答案】{}，{，，，，} 【分析】根据组内离差平方和的性质求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排列，得，，，，，， 将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 计算结果表明，当按第1个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此把螺丝帽按直径大小分成两组为{}，{，，，，}． 题型七、根据数据描述求频数、频率 19．某班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在之间（含70分和90分）的频数是（    ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 【答案】C 【分析】利用所有分组的频率和为1，先求出成绩在分之间的频率，再根据频数总人数频率计算结果即可． 【详解】解：∵全班总人数为40，所有分组的频率和为1， ∴成绩在之间的频率为， ∴成绩在之间的频数为（人）． 20．为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查频数与频率的关系，解题思路是利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数=总数×频率”先求出第4小组的频数，再计算第5小组的频数． 【详解】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为， ∴ 第4小组的频数为 ， ∵ 前3个小组的频数分别为，，， ∴ 前4个小组的频数和为 ， ∴ 第5个小组的频数为 ． 21．某班体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的成绩，列出频数分布表如下： 个数x（个） 频数 11 13 16 7 3 已知跳绳成绩160个以上为优秀，则该班学生1分钟跳绳成绩优秀率为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数分布表的知识，根据频数分布表，确定优秀人数为成绩在160个以上的频数之和，总人数为所有频数之和，优秀率等于优秀人数除以总人数乘以． 【详解】解：根据题意，可知优秀人数为人，总人数为人， ∴优秀率为． 故答案为：． 题型八、频数分布表 22．一组数据的最大值是183，最小值是145，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________； 【答案】8 【分析】先求出数据的极差，再根据组数的计算方法，对计算结果向上取整即可得到组数． 【详解】解：极差为， 计算得， 对结果向上取整，得组数为． 23．将个数分成组并列出频数分布表．若第一组与第五组的频数分别为和，第二组和第三组的频率之和是，则第四组的频数是___________． 【答案】 【分析】根据频率与频数的关系，先计算第二组和第三组的频数和，再用数据总数减去已知各组的频数，即可得到第四组的频数． 【详解】解：由题意得，数据总数为， ∵第二组和第三组的频数和为：，第一组与第五组的频数分别为和， ∴第四组的频数为：． 24．某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． (1)求表中的值，的实际含义是什么？ (2)根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 【答案】(1)，，的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为 (2)优秀学生总人数约为人 【分析】（1）先计算总人数，再用总人数乘以即可求得，用除以总人数，即可求得，再说明的实际意义即可； （2）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：总人数为人， ， ， 的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为； （2）解：（人）， 答：优秀学生总人数约为人． 题型九、频数分布直方图 25．为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 【答案】130 【分析】根据总数乘以体重小于80千克且不小于70千克的频率求解即可． 【详解】解：． 26．如图是某班40名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数直方图，从左起四个小长方形的高的比依次为，那么该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有______人． 【答案】20 【分析】根据频数分布直方图得出一分钟跳绳次数在100次以上的即第三、四组所占比例，然后用：100次以上的学生数总人数比例，计算即可． 【详解】解：从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为，即各组频率之比为； 一分钟跳绳次数在100次以上的即第三、四组，所占比例为， 故该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有(人)． 27．某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： (1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【答案】(1)83 (2)720人 【分析】本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数， 由条形统计图可得第25，26个数据在组， 而， ∴第25，26个数据为，， ∴中位数为， 故答案为：； （2）解：（人）， 答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人． 题型十、用样本的频数估计总体的频数 28．为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 6 a 中等活跃 14 高活跃 b c 超高活跃 8 信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： (1)计算： ______， ______， ______； (2)求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； (3)若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 【答案】(1)；12； (2)17分钟 (3)510人 【分析】（1）由“超高活跃”的频数和频率，根据抽取人数频数频率，先求得的抽取学生总人数，进而求得a、b、c的值； （2）根据求平均数公式解答； （3）根据总学生人数乘以达到中等活跃及以上的频率总和解答． 【详解】（1）解：抽取学生总人数为（人）， 则， ， ； （2）解：（分钟）， 答：所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数为17分钟． （3）解：（人）， 答：估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数有510人． 29．某校为了积极推进“书香校园”建设，培养学生良好的阅读习惯，对全校学生的每日课外阅读时间（单位：分钟）进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 课外阅读时间频数分布表 阅读时间/分钟 频数 频率 6 8 m a 2 请你根据图表中的信息，解答下列问题． (1)频数分布表中a的值为________，m的值为________． (2)补全频数分布直方图． (3)若该校共有学生1500人，试估计该校学生每天课外阅读时间不低于40分钟的有多少人． 【答案】(1)4； (2)见解析 (3)450人 【分析】本题考查了频数分布直方图，频数与频率，用样本估计总体等，弄清题意，读懂统计图表，从中找到必要的信息是解题的关键． （1）求出调查的总人数，即可求解； （2）根据（1）中的结果即可补全频数分布直方图； （3）用1500乘以每天课外阅读时间不低于40分钟的频率即可求解． 【详解】（1）解：调查的总人数为人， ，； 故答案为：4；； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（人）． 答：估计该校学生每天课外阅读时间不低于40分钟的有450人． 30．为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人． 次数x分组 频数 2 6 10 2 (1)补全频数分布直方图． (2)抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________． (3)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 【答案】(1)见解析 (2)“”组 (3) 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数的概念以及用样本估计总体，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据在“”组频数为，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：补全频数分布直方图如图： （2）解：由频数分布表可得，“”组人数是2，“”组人数是， 由中位数的定义可得，中位数为第10，11个数据， 而“”组人数为， ∴中位数位于的组别是“”组， 故答案为：“”组； （3）解：， 答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数是． 题型十一、用样本所占百分比估计总体的数量 31．在第31个世界读书日来临之际，某校开启2026年春季读书节活动，读书节以“书海启航·智未来”为主题，在全校学生中开展了读书活动．活动结束后，学校为了解学生的读书情况，随机抽取若干名学生，统计每人的读书数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 被抽取的学生读书数量的扇形统计图 被抽取的学生读书数量的人数统计表： 本数/本 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 6 请根据以上信息，解答下列问题： (1)表中 ，被抽取的学生读书数量的中位数为 本、众数为 本； (2)求被抽取的学生读书数量的平均数； (3)若该校有1000名学生，请你估计该校此次读书活动中学生的读书总量． 【答案】(1)，， (2)3 (3)本 【分析】本题考查统计图表，求中位数、众数、平均数，利用样本估计总体，从统计图表中有效地获取信息，是解题的关键： （1）先用读书数量为2本的人数除以所占的比例求出调查的人数，再用总数减去其它组的数量求出的值即可；根据中位数、众数的定义即可得出被抽取的学生读书数量的中位数、众数； （2）根据数据求平均数即可； （3）利用样本平均数估计总体的数量. 【详解】（1）解：（人）； ∴； 将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3，∴中位数为3； 数据中，3本的次数最多，故众数为3本. （2）解：被抽取的学生读书数量的平均数为：（本）， （3）解：此次读书活动中学生的读书总量（本）. 32．身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．中国人的BMI等级为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖．某校为了解学生的身体质量指数（）分布情况，分别从七、八、九三个年级中各随机抽取了50名学生，获得了他们的数据，并将这些数据整理后绘制成如下统计表，同时绘制了被抽取学生中各年级BMI等级为正常的人数占正常总人数的比例扇形统计图． 被抽取学生等级人数分布统计表 等级 范围 人数 偏瘦 20 正常 100 偏胖 24 肥胖 6 (1)求被抽取学生中的人数，并对这些学生提一条合理的建议． (2)若该校九年级共有375名学生，估计其中等级为正常的人数． 【答案】(1)，加强体育锻炼，合理膳食 (2)285人 【分析】（1）根据分布表进行计算即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：被抽取学生中的人数为． 建议：加强体育锻炼，合理膳食．（答案不唯一，合理即可） （2）解：∵， ∴估计九年级学生中等级为正常的人数为285人． 33．新冠肺炎疫情初期，某教育局积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中课堂”，为了解某中学九年级学生每天听“空中课堂”的时间，随机调查了该校部分九年级学生．根据调查结果，绘制出如图统计图、表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题． 时间/h 2 3 4 人数 2 6 6 m 4 (1)本次共调查的学生人数为 ，在表格中， ． (2)统计的这组数据中，每天听“空中课堂”时间的中位数是 ，众数是 ． (3)请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法． 【答案】(1)，； (2)， (3)见解析 【分析】（1）从两个统计图中可知“时间为”的频数是2人，占调查人数的，根据，可求出调查人数，进而求出m的值； （2）根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可； （3）根据样本中，“空中课堂”学习时间的长短提出合理化建议． 【详解】（1）解：（人）， （人）， 故答案为：，； （2）将调查的名学生“空中课堂”的时间从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是， 出现次数最多的是，共出现次，因此众数是， 故答案为：，； （3）从统计表中可以看出，“空中课堂”学习时间在及以上的居多，建议还要加强课外自主学习． 题型十二、用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 34．某校课外兴趣小组为了解市民对垃圾分类知识的了解情况．在当地小区中随机抽取部分居民进行问卷调查，并统计分数如下表： （分数） 人数 频率 5 0.1 0.14 12 10 0.2 合计 1 (1)请根据统计表的相关信息填空：_____________，_____________． (2)现将分数“”定为“不了解”，将分数“”定为“比较了解”，将分数“”定为“非常了解”．若小区共有1000人，估计小区垃圾分类知识“比较了解”的人数． 【答案】(1)50，0.32 (2)560 【分析】本题主要考查了频数、频率统计表的相关知识以及利用样本频率估计总体的知识，解决问题的关键是充分利用统计表的数据． （1）利用分数段的人数除以其所占频率即可求出总人数，进而即可求出分数段的人数，则问题随之得解； （2）先求出“比较了解”在样本中的频率，再乘以小区总人数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，总人数为分数段的人数为， 分数段的人数为， 分数段的频率． 故答案为：. （2）解：样本中“比较了解”的人数所占频率为， 小区垃圾分类知识“比较了解”的人数约为． 35．某实验中学为进一步提升学生阅读水平，组织全校1600名学生参加阅读大赛，然后从中随机抽取部分学生阅读大赛的成绩x（单位：分）绘制成如图所示不完整的统计图表． 成绩频数分布表 成绩（x） 频数 百分数 16 30 m 80 24 根据以上信息，解答下列问题： (1)求本次抽样的样本容量并补全频数分布直方图； (2)若把抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，求“”所在组对应的扇形圆心角的度数； (3)若成绩超过80分为优秀，估计该校此次大赛成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)样本容量为200，见解析 (2) (3)832人 【分析】本题考查了求样本容量、求圆心角度数、补全频数分布直方图、由样本估计总体，熟练掌握样本容量、圆心角度数、由样本估计总体的计算方法，是解题的关键． （1）由的频数及频率可得样本容量，样本容量乘70＜x≤80人数所占百分比可得其人数，从而补全图形； （2）用360°乘对应的百分比即可； （3）总人数乘优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）本次抽样调查的样本容量为：， ∴， 补全频数分布直方图如图所示： （2）“”所在组对应的扇形圆心角的度数是： （3）（3），（人）， 答：估计该校此次大赛成绩优秀的学生人数为832人． 36．某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以激励学生养成良好的锻炼习惯．现随机抽取若干名学生，统计其每天使用体育云平台打卡的运动时长，整理数据后，绘制了统计表和统计图（不完整）．请解答下列问题： 每天在体育云平台打卡的运动时长频数表： 组别/分钟 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数（学生人数） 5 m 35 25 15 (1)本次调查的样本容量是多少？ (2)求m的值，并计算第2组所在扇形的圆心角度数； (3)若该校有2000名学生，估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数． 【答案】(1)100 (2)20， (3)1500人 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图的综合应用，通过频数与频率的关系求解相关问题是解题的关键． （1）由第3组的人数及其所占百分比可得样本容量； （2）根据各组人数之和等于总人数求出m的值，用乘第2组人数所占比例即可； （3）用总人数乘以样本中运动时长不少于60分钟的学生人数所占比例即可． 本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． 【详解】解：（1）本次调查的样本容量是； （2）（人）， 第2组所在圆心角度数为； （3），人， 答：估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数约为1500人． 题型十三、求四分位数 37．将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数与箱线图，理解箱线图各数字表示的含义是解题的关键．根据箱线图从上到下的数据依次是极大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值求解即可． 【详解】解：根据题意得，这10名同学身高的上四分位数是． 故选：B． 38．有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的下四分位数是3 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是18 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和四分位数，理解箱线图中数据表示的统计量是解答的关键．根据箱线图中数据逐项判断即可． 【详解】解：A、由图知，这组数据的下四分位数是4，原说法错误，不符合题意； B、由图知，这组数据的中位数是10.5，原说法错误，不符合题意； C、由图知，这组数据的上四分位数是15，原说法错误，不符合题意； D、由图知，最小值是3，最大值是18，则被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，原说法正确，符合题意； 故选：D． 39．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 【答案】295，250 【分析】本题考查四分位数的计算，解题关键是先将数据从小到大排序，再根据四分位数的位置公式计算对应位置，进而确定第一、第三四分位数的值． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列：188，240，260，284，288，290，300，360， 数据共有个， 第一四分位数的位置为：，当位置为整数时，第一四分位数为排序后第2项与第3项数据的平均值，即， 第三四分位数的位置为：，当位置为整数时，第三四分位数为排序后第6项与第7项数据的平均值，即． 故答案为：295，250． 题型十四、画箱线图 40．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 41．某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 【答案】(1)86，85，90 (2)85.6 (3)作图见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义解答； （2）先求出两个年级的总分，再除以总人数即可； （3）先确定，再确定最大值和最小值为100和65，画出箱线图即可； （4）根据箱线图的特点解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：， 所以这两个年级学生的平均得分是85.6分； （3）解：如图所示； （4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高； 八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小． （选择任意一条即可，答案不唯一）． 42．2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【答案】(1)，， (2)图见解析，八年级名学生的成绩更集中、稳定，详见解析 【分析】（1）将七、八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）求出七年级成绩的下四分位数、上四分位数，求出中位数，作图比较即可得解； 【详解】（1）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，， 中位数， 八年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． 中位数，众数． （2）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． ∴上四分位数为，下四分位数为， 中位数， 作图如下， ∵八年级箱线图的范围（最小值到最大值）为到，下四分位数、上四分位数的范围为到，七年级为到，下四分位数、上四分位数的范围为到， ∴八年级的箱线图更短，中位数都为，说明八年级成绩的波动更小， ∴八年级名学生的成绩更集中、稳定． 题型十五、方差综合题 43．小新、小蔷在学习了“估计心脏的跳动次数”后，想了解谁的心跳次数更好一些．她们一起找李老师来做评价，李老师建议两名同学在正常休息时各测量心跳6次．每次测得每分钟的心跳次数情况见下表： 姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 小新 84 88 85 88 90 93 小蔷 88 87 89 87 90 87 (1)请你根据图中的数据填写下表（除不尽的保留两位小数）： 姓名 平均数 众数 中位数 方差 小新 88 88 9 小蔷 88 87.5 (2)假设你是李老师，请从不同的角度分析谁的心脏更好些？ 【答案】(1)见解析 (2)小蔷的心脏更好些，理由见解析 【分析】（1）根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案； （2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】（1）解：小新的平均数是：（次）； ∵87出现了3次，出现的次数最多， ∴小蔷的众数是87次； 小蔷的方差是：； 故填表如下： 姓名 平均数 众数 中位数 方差 小新 88 88 88 9 小蔷 88 87 87.5 1.33 （2）解：两人的平均心跳次数相同，但从稳定性角度看，小蔷的方差更小，心跳更稳定；从中位数和众数来看，小蔷的数据（中位数87.5，众数87）比小新（中位数88，众数88）更低，说明通常情况下心跳次数更少．综合来看，小蔷的心脏更好． 44．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中的值为___，的值为____，的值为___； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 【答案】(1) (2)二 (3)人 【分析】（1）先求出一班、二班得分人数，再由众数、中位数和平均数的求法求解即可； （2）通过比较题中数据里方差的大小即可得到答案； （3）由题中得分情况、得分中位数及众数分析即可得到答案． 【详解】（1）解：学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分， 一班得分的人数为；二班得分的人数为； 则一班得分的众数为，即；一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，为，即；二班成绩的平均数为，即； （2）解：由题中数据可知，一班成绩的方差为；二班成绩的方差为， ， 二班得成绩比较整齐； （3）解：设得7分、8分、9分、10分的人数分别为， 全班同学的评分中位数为8.5， 由一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，可知第名成绩为分、第名成绩为分， 则班级得分学生的总人数为人，即， 一班成绩的众数为9， ， 则， ， 则取得的最小整数为，此时有最大值，为， 当全班得或分的人数不超过人时，即、时，分为10分的同学最多，有人． 45．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 (1)求a，b，c的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 【答案】(1)；； (2)图见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，即应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 【详解】（1）解：； 第二组中分的人数最多，有人，故； 根据第三组数据，中位数在第和人处，两个数据均为3，故； 则；；； （2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分， 即将人对应分，人对应分，人对应分，人对应分，人对应分； 要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 题型十六、离差平方和综合题 46．某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【答案】75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组 最小值为62.5 【分析】本题考查组内离差平方和，熟练掌握离差平方和公式是解题的关键． 根据题意将各数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可． 【详解】解：将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， ①，； ②，； ③，； ④，； 分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 125 125 ② 12.5 50 62.5 ③ 50 12.5 62.5 ④ 125 0 125 由表可知，当75，80一组，85，90，95一组或75，80，85一组，90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 47．某工厂生产一批零件，随机抽取6个零件的直径（单位：）为10.2，10.3，10.5，10.8，11.0，11.2．质检部门想将零件分为“合格组”和“待复检组”，要求组内直径波动最小，如何分组？计算最小组内离差平方和（结果保留小数点后两位）． 【答案】分组为和，第一组为“合格组”，第二组为“待复检组”； 最小组内离差平方和为0.13 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关 键． 分别列出可能的分组情况和该分组的组内离差平方和进行比较，选出最小的组内离差平方和即可． 【详解】解：将数据分成两组，共有5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0.00 0.53 0.53 第2个间隔 0.01 0.27 0.28 第3个间隔 0.05 0.08 0.13 第4个间隔 0.21 0.02 0.23 第5个间隔 0.45 0.00 0.45 由表可知，当按第个间隔分组时，组内离差平方和最小为，即分组为和，第一组为“合格组”，第二组为“待复检组”． 48．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 题型十七、频数分布表与频数分布图综合题 49．为了宣传“国家安全、人人有责”，学校组织了国家安全知识竞赛活动，并从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（成绩用x表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级20名学生的测评成绩：70，74，76，79，81，82，87，87，87，90，90，94，95，96，97，98，98，99，100，100． 九年级20名学生测评成绩在C组的是：83，84，86，87，89，89． 年级 平均数 中位数 众数 方差 八 89 90 b 83 九 89 a 92 81.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，_____，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若成绩不低于90分为优秀，该校八年级有500名学生、九年级有600名学生，请估计该校八、九年级学生成绩达到优秀的人数共有多少？ 【答案】(1)88，87，40 (2)九年级学生的知识测评成绩更好，两个年级的平均数相同，九年级的众数高于八年级，方差小于八年级 (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识测评成绩达到优秀的共有515人 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、众数、方差的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：八年级20名学生的竞赛成绩是：70，74，76，79，81，82，87，87，87，90，90，94，95，96，97，98，98，99，100，100． 九年级20名学生测评成绩在C组的是：83，84，86，87，89，89． 根据扇形图可知，测评成绩在A、B的人数为（人）， 又20名学生测评成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 根据数据，八年级20名学生的测评成绩中，87出现次数最多， 所以众数， 九年级20名学生测评成绩在D组的人数是， ∴， ∴； （2）解：九年级学生的知识测评成绩更好， 因为两个年级的平均数相同，九年级的众数高于八年级，方差小于八年级， 故九年级的学生测评成绩更好． （3）解：根据数据，八年级学生知识测评成绩达到优秀占， 又八年级有500名，所以知识测评成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识测评成绩达到优秀占40%， 又九年级有600名，所以知识测评成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识测评成绩达到优秀的共有515人． 50．为提高中学生的思维创新能力，某市举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下： a．甲校学生成绩的扇形统计图如图： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：，，，，，，，． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分） 如表： 学校 平均数 中位数 甲 75.6 乙 76.1 77.5 (1)在抽取的同学中，甲校同学A组人数为______，C组人数为______，______，______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有人，则______（填“”或“”） (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)乙校学生的“思维创新能力”更强，因为抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大（合理即可）． 【分析】（1）此题考查了扇形统计图的解读与计算，利用扇形百分比计算各组人数、补全百分比． （2）此题考查了中位数的定义与计算，根据样本容量和数据排序，确定中位数位置并计算． （3）此题考查了平均数的理解和应用，统计量的实际意义分析，利用平均数、中位数指标，分析两组数据的整体水平与能力差异． 【详解】（1）解：已知甲校抽取了40名学生，根据扇形统计图： A组占比，人数：人， B组占比，人数：人， E组占比，人数：人， C组人数为8人， D组人数：人． 因为C组人数为8人，所以甲校C组人数所占百分比：． 中位数是40个数据从小到大排列后，第20、21个数的平均数． A组(6人)、B组(11人)，共人． C组(8人)，A、B、C三组人数和为25人． 所以第20、21个数在C组里，按顺序排列后第20、21个数是73和75． 所以中位数． （2）解：抽取的甲校学生中，平均分为75.6，所以． 乙校平均数：76.1，中位数为77.5，由(1问)可知，40的中位数为按顺序排列后的第20、21位数，说明乙校有一半以上的人成绩大于等于77.5分，即，即． （3）解：乙校学生的思维创新能力更强，理由如下： 平均分更高：乙校平均分76.1分，高于甲校的75.6分，整体成绩更好． 中位数更高：乙校中位数77.5分，高于甲校的74分，说明中等水平学生表现更优． 高分段表现更突出：乙校高于平均分的人数更多，高分段学生比例更高，更能体现竞赛中的创新能力． 51．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 题型十八、四分位数与箱线图综合题 52．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【答案】（1）（2）三个年级中九年级男子接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（3）①；②；③九（3）班的交接棒训练时长为小时 【分析】（1）把八年级成绩按照从小到大排列，求其下四分位数即可； （2）从集中趋势或离散程度比较两个年级成绩，说法合理即可； （3）①设一次函数关系为，因为当时，；当时，代入即可求得解析式； ②由题意，米接力成绩y秒四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间，据此列出关系式即可； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，九（3）班的交接棒训练时长为小时，设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒，设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒，由①②可知：，，因为九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒，即，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1）x的值为八年级成绩的下四分位数，将八年级成绩由小到大排列， ， 这组数据的下四分位数为． 故答案为：； （2）发现：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小； 原因：九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子米接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多； （3）①设平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）的一次函数关系为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴故t关于x的函数表达式为； ②由题意得． 故答案为：； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒， 设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒， 由①②可知： 即， ， 即， ∵九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒， ∴， 即， 解得， 则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 答：九（3）班的交接棒训练时长小时． 【点睛】本题考查箱线图，下四分位数数，用统计量进行判断，一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 53．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 54．【数据收集】某实验室为了从甲、乙两个图像分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在10轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（）： 甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90 乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图：    【数据分析】 (1)若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，___________．再计算方差，___________． 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 (2)若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 【答案】(1)85，60 (2)80，90，90 (3)选择乙模型，理由见解析 【分析】（1）利用平均数的公式以及方差公式求解； （2）利用四分位数、箱线图的定义求解； （3）平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【详解】（1）解：， ； （2）解：根据四分位数、箱线图①处应填，②处应填，③处应填； （3）解：选择乙模型，理由如下： 通过平均数可得； 通过方差可得，乙模型表现更为稳定； 通过四分位数和箱线图可得，乙模型四分位距更小，更稳定； ∴选择乙模型． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据的分析易错压轴题型专训 目录 A题型建模・专项突破 题型一、极差及未知数据求值 1 题型二、方差及未知数据求值 2 题型三、根据方差判断稳定性 3 题型四、运用方差做决策 5 题型五、求离差平方和 6 题型六、离差平方和的应用 8 题型七、根据数据描述求频数、频率 9 题型八、频数分布表 11 题型九、频数分布直方图 11 题型十、用样本的频数估计总体的频数 11 题型十一、用样本所占百分比估计总体的数量 11 题型十二、用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 11 题型十三、求四分位数 11 题型十四、画箱线图 11 题型十五、方差综合题 11 题型十六、离差平方和综合题 11 题型十七、频数分布表与频数分布图综合题 11 题型十八、四分位数与箱线图综合题 11 题型一、极差及未知数据求值 1．初三年级6名教师某周使用人工智能（AI）备课的次数分别为：3，4，5，7，6，5．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是5 D．极差是3 2．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是2 3．若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 题型二、方差及未知数据求值 4．某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 5．若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 6．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 题型三、根据方差判断稳定性 7．八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2025年5月27日至31日每天的最高气温，设两组数据的方差分别为和，则__________．（填“”，“”，“”） 9．一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 题型四、运用方差做决策 10．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产A，B两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． A款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 A a 4 b 4 B 5 5 5 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在A款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在B款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则_______（填“>”“=”或“<”）． 11．某校八年级一班和二班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩（单位：分；满分：100分）分别是： 一班：，，，，； 二班：，，，，． 两个班前5名成绩的有关统计量如下表： 平均数分 中位数分 众数分 一班 85 二班 85 85 请解决下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)计算二班前5名的成绩的方差； (3)已知一班前5名的成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 12．【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 a b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 c 0.0669 【问题解决】 (1)求a，b，c的值； (2)A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 同学． 题型五、求离差平方和 13．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 14．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 15．若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 题型六、离差平方和的应用 16．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 17．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况． 18．现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 题型七、根据数据描述求频数、频率 19．某班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在之间（含70分和90分）的频数是（    ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 20．为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 21．某班体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的成绩，列出频数分布表如下： 个数x（个） 频数 11 13 16 7 3 已知跳绳成绩160个以上为优秀，则该班学生1分钟跳绳成绩优秀率为__________． 题型八、频数分布表 22．一组数据的最大值是183，最小值是145，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________； 23．将个数分成组并列出频数分布表．若第一组与第五组的频数分别为和，第二组和第三组的频率之和是，则第四组的频数是___________． 24．某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． (1)求表中的值，的实际含义是什么？ (2)根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 题型九、频数分布直方图 25．为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 26．如图是某班40名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数直方图，从左起四个小长方形的高的比依次为，那么该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有______人． 27．某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： (1)所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． (2)请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 题型十、用样本的频数估计总体的频数 28．为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 6 a 中等活跃 14 高活跃 b c 超高活跃 8 信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： (1)计算： ______， ______， ______； (2)求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； (3)若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 29．某校为了积极推进“书香校园”建设，培养学生良好的阅读习惯，对全校学生的每日课外阅读时间（单位：分钟）进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 课外阅读时间频数分布表 阅读时间/分钟 频数 频率 6 8 m a 2 请你根据图表中的信息，解答下列问题． (1)频数分布表中a的值为________，m的值为________． (2)补全频数分布直方图． (3)若该校共有学生1500人，试估计该校学生每天课外阅读时间不低于40分钟的有多少人． 30．为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人． 次数x分组 频数 2 6 10 2 (1)补全频数分布直方图． (2)抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________． (3)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 题型十一、用样本所占百分比估计总体的数量 31．在第31个世界读书日来临之际，某校开启2026年春季读书节活动，读书节以“书海启航·智未来”为主题，在全校学生中开展了读书活动．活动结束后，学校为了解学生的读书情况，随机抽取若干名学生，统计每人的读书数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 被抽取的学生读书数量的扇形统计图 被抽取的学生读书数量的人数统计表： 本数/本 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 6 请根据以上信息，解答下列问题： (1)表中 ，被抽取的学生读书数量的中位数为 本、众数为 本； (2)求被抽取的学生读书数量的平均数； (3)若该校有1000名学生，请你估计该校此次读书活动中学生的读书总量． 32．身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．中国人的BMI等级为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖．某校为了解学生的身体质量指数（）分布情况，分别从七、八、九三个年级中各随机抽取了50名学生，获得了他们的数据，并将这些数据整理后绘制成如下统计表，同时绘制了被抽取学生中各年级BMI等级为正常的人数占正常总人数的比例扇形统计图． 被抽取学生等级人数分布统计表 等级 范围 人数 偏瘦 20 正常 100 偏胖 24 肥胖 6 (1)求被抽取学生中的人数，并对这些学生提一条合理的建议． (2)若该校九年级共有375名学生，估计其中等级为正常的人数． 33．新冠肺炎疫情初期，某教育局积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中课堂”，为了解某中学九年级学生每天听“空中课堂”的时间，随机调查了该校部分九年级学生．根据调查结果，绘制出如图统计图、表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题． 时间/h 2 3 4 人数 2 6 6 m 4 (1)本次共调查的学生人数为 ，在表格中， ． (2)统计的这组数据中，每天听“空中课堂”时间的中位数是 ，众数是 ． (3)请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法． 题型十二、用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 34．某校课外兴趣小组为了解市民对垃圾分类知识的了解情况．在当地小区中随机抽取部分居民进行问卷调查，并统计分数如下表： （分数） 人数 频率 5 0.1 0.14 12 10 0.2 合计 1 (1)请根据统计表的相关信息填空：_____________，_____________． (2)现将分数“”定为“不了解”，将分数“”定为“比较了解”，将分数“”定为“非常了解”．若小区共有1000人，估计小区垃圾分类知识“比较了解”的人数． 35．某实验中学为进一步提升学生阅读水平，组织全校1600名学生参加阅读大赛，然后从中随机抽取部分学生阅读大赛的成绩x（单位：分）绘制成如图所示不完整的统计图表． 成绩频数分布表 成绩（x） 频数 百分数 16 30 m 80 24 根据以上信息，解答下列问题： (1)求本次抽样的样本容量并补全频数分布直方图； (2)若把抽取的学生成绩绘制成扇形统计图，求“”所在组对应的扇形圆心角的度数； (3)若成绩超过80分为优秀，估计该校此次大赛成绩优秀的学生人数． 36．某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以激励学生养成良好的锻炼习惯．现随机抽取若干名学生，统计其每天使用体育云平台打卡的运动时长，整理数据后，绘制了统计表和统计图（不完整）．请解答下列问题： 每天在体育云平台打卡的运动时长频数表： 组别/分钟 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数（学生人数） 5 m 35 25 15 (1)本次调查的样本容量是多少？ (2)求m的值，并计算第2组所在扇形的圆心角度数； (3)若该校有2000名学生，估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数． 题型十三、求四分位数 37．将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 38．有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的下四分位数是3 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是18 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 39．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 题型十四、画箱线图 40．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 41．某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 42．2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 题型十五、方差综合题 43．小新、小蔷在学习了“估计心脏的跳动次数”后，想了解谁的心跳次数更好一些．她们一起找李老师来做评价，李老师建议两名同学在正常休息时各测量心跳6次．每次测得每分钟的心跳次数情况见下表： 姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 小新 84 88 85 88 90 93 小蔷 88 87 89 87 90 87 (1)请你根据图中的数据填写下表（除不尽的保留两位小数）： 姓名 平均数 众数 中位数 方差 小新 88 88 9 小蔷 88 87.5 (2)假设你是李老师，请从不同的角度分析谁的心脏更好些？ 44．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中的值为___，的值为____，的值为___； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 45．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 (1)求a，b，c的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 题型十六、离差平方和综合题 46．某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 47．某工厂生产一批零件，随机抽取6个零件的直径（单位：）为10.2，10.3，10.5，10.8，11.0，11.2．质检部门想将零件分为“合格组”和“待复检组”，要求组内直径波动最小，如何分组？计算最小组内离差平方和（结果保留小数点后两位）． 48．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 题型十七、频数分布表与频数分布图综合题 49．为了宣传“国家安全、人人有责”，学校组织了国家安全知识竞赛活动，并从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（成绩用x表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级20名学生的测评成绩：70，74，76，79，81，82，87，87，87，90，90，94，95，96，97，98，98，99，100，100． 九年级20名学生测评成绩在C组的是：83，84，86，87，89，89． 年级 平均数 中位数 众数 方差 八 89 90 b 83 九 89 a 92 81.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，_____，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若成绩不低于90分为优秀，该校八年级有500名学生、九年级有600名学生，请估计该校八、九年级学生成绩达到优秀的人数共有多少？ 50．为提高中学生的思维创新能力，某市举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下： a．甲校学生成绩的扇形统计图如图： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：，，，，，，，． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分） 如表： 学校 平均数 中位数 甲 75.6 乙 76.1 77.5 (1)在抽取的同学中，甲校同学A组人数为______，C组人数为______，______，______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有人，则______（填“”或“”） (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由． 51．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 题型十八、四分位数与箱线图综合题 52．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 53．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 54．【数据收集】某实验室为了从甲、乙两个图像分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在10轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（）： 甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90 乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图：    【数据分析】 (1)若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，___________．再计算方差，___________． 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 (2)若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $