专题05 一元二次方程易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题05 一元二次方程易错压轴题型专训 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程定义 1 题型二、化为一元二次方程的一般式 2 题型三、由一元二次方程的定义求参数 3 题型四、由一元二次方程的解求参数 5 题型五、一元二次方程解的估算 6 题型六、选用合适的解法解一元二次方程 8 题型七、配方法的应用 9 题型八、换元法解一元二次方程 11 题型九、根据判别式判断一元二次方程根的情况 11 题型十、根据一元二次方程根的情况求参数 11 题型十一、一元二次方程根与系数的关系 11 题型十二、传播问题 11 题型十三、增长率问题 11 题型十四、与图形有关的问题 11 题型十五、营销问题 11 题型十六、工程问题 11 题型十七、行程问题 11 题型十八、握手循环问题 11 题型十九、构造一元二次方程解决问题（压轴） 11 题型二十、一元二次方程的含参问题（压轴） 11 题型二十一、一元二次方程求最值（压轴） 11 题型二十二、一元二次方程根与系数的关系（压轴） 11 题型二十三、一元二次方程的图形、动点问题（压轴） 11 题型二十四、一元二次方程的新定义问题（压轴） 11 题型一、一元二次方程定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 题型二、化为一元二次方程的一般式 4．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 6．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 题型三、由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 9．若关于的方程是一元二次方程，则________． 题型四、由一元二次方程的解求参数 10．若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 11．若m是方程的一个根，则的值为___________． 12．已知关于x的一元二次方程的一个根是，求a的值． 题型五、一元二次方程解的估算 13．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 14．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 15．观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 题型六、选用合适的解法解一元二次方程 16．用合适方法解下列方程． (1) (2) 17．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 18．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 题型七、配方法的应用 19．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 20．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 21．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 题型八、换元法解一元二次方程 22．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 23．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 24．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 题型九、根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．已知关于x的一元二次方程 ． (1)若方程有一根为，求m的值； (2)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 26．已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 27．已知关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为1，求方程的另一个根． 题型十、根据一元二次方程根的情况求参数 28．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 29．若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 30．已知关于x的一元二次方程，其中a为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为． （ⅰ）若，求a的值； （ⅱ）若时，求a的取值范围． 题型十一、一元二次方程根与系数的关系 31．若关于的一元二次方程的两根之积为，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．1 32．若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 33．已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 题型十二、传播问题 34．2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 35．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 36．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 题型十三、增长率问题 37．2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 38．某同学在九月学情分析中数学成绩为分，在十一月学情分析中数学成绩上升到了分，若十月、十一月这两个月数学成绩增长的百分率相同，则这个百分率为_________． 39．暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 题型十四、与图形有关的问题 40．如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 41．某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 42．如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 题型十五、营销问题 43．某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． (1)若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； (2)已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 44．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 45．2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 题型十六、工程问题 46．学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 47．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 48．某企业为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装． (1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8小时，生产工装的总套数不少于380套，则乙厂至少生产这种工装多少小时? (2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间（增加的生产时间不得超过8小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3小时，因为甲厂机器损耗及人员不足，甲厂每增加1小时，该厂每小时的平均产量将减少3套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装总套数为890套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间． 题型十七、行程问题 49．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 50．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为______． 51．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 题型十八、握手循环问题 52．为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 53．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 54．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 题型十九、构造一元二次方程解决问题（压轴） 55．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 56．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 57．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 题型二十、一元二次方程的含参问题（压轴） 58．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 59．实数，，满足和． （1）若和均为正整数，则的值为______； （2）若存在唯一的实数使得这两个关系式都成立，则的值为______． 60．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 题型二十一、一元二次方程求最值（压轴） 61．互不相等的实数，，满足，． (1)若存在最小整数值，求整数． (2)若，为整数，求的值． 62．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 63．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料，解决下面问题： 写出的两种不同形式的配方； 若，求的值； 若关于的代数式是完全平方式，求的值； 用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立． 题型二十二、一元二次方程根与系数的关系（压轴） 64．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 65．能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数． (1)已知a、b、c为勾股数，且，，求证：； (2)以正整数a、b、c为系数的方程有两个实数根、，已知存在实数p满足：，，求证：a、b、c一定是一组勾股数． 66．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 题型二十三、一元二次方程的图形、动点问题（压轴） 67．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 68．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 69．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 题型二十四、一元二次方程的新定义问题（压轴） 70．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 71．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为______． 72．阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程定义 1 题型二、化为一元二次方程的一般式 2 题型三、由一元二次方程的定义求参数 3 题型四、由一元二次方程的解求参数 5 题型五、一元二次方程解的估算 6 题型六、选用合适的解法解一元二次方程 8 题型七、配方法的应用 9 题型八、换元法解一元二次方程 11 题型九、根据判别式判断一元二次方程根的情况 11 题型十、根据一元二次方程根的情况求参数 11 题型十一、一元二次方程根与系数的关系 11 题型十二、传播问题 11 题型十三、增长率问题 11 题型十四、与图形有关的问题 11 题型十五、营销问题 11 题型十六、工程问题 11 题型十七、行程问题 11 题型十八、握手循环问题 11 题型十九、构造一元二次方程解决问题（压轴） 11 题型二十、一元二次方程的含参问题（压轴） 11 题型二十一、一元二次方程求最值（压轴） 11 题型二十二、一元二次方程根与系数的关系（压轴） 11 题型二十三、一元二次方程的图形、动点问题（压轴） 11 题型二十四、一元二次方程的新定义问题（压轴） 11 题型一、一元二次方程定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 2．下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 3．构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 根据题意，二次项系数和一次项系数均为1，可设方程为，其中为常数，选择即可得到简单方程． 【详解】解：一元二次方程的标准形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 本题要求二次项系数和一次项系数都为1，即，， 因此方程形式为（为任意实数）． 为构造简单方程，取，得到． 故答案为． 题型二、化为一元二次方程的一般式 4．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 5．将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开左边，再移项，合并同类项得到一般形式，再根据定义确定一次项． 【详解】解：将原方程左边展开，得， 移项，合并同类项，得， 因此原一元二次方程的一般形式为， 其一次项为． 6．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 题型三、由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 8．若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 9．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 题型四、由一元二次方程的解求参数 10．若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】A 【分析】根据根的定义得到的值，利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ． 11．若m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根，可得，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 12．已知关于x的一元二次方程的一个根是，求a的值． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，把代入求得或，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把代入，得， ， 解得或． ， ， 的值为或． 题型五、一元二次方程解的估算 13．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 14．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 15．观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 【答案】1.7 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根． 通过观察表格中对应的的值，找到函数值最接近0时对应的，即为方程的近似根． 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当时，， 当时，， 可以看到，当时，的值更接近0， 所以一元二次方程最精确的一个近似根是1.7． 故答案为：1.7． 题型六、选用合适的解法解一元二次方程 16．用合适方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择直接开平方法或公式法． （1）方程为完全平方形式，用直接开平方法求解； （2）方程用公式法，先确定系数，计算判别式，再代入求根公式． 【详解】（1）解： 两边开平方得： 当时，； 当时，． 所以方程的解为，． （2）解：对于，，，， 判别式， 由求根公式得：， 所以方程的解为，． 17．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 18．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 题型七、配方法的应用 19．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，配方法的应用，解二元一次方程组的，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：与为同族二次方程， ， ， ∴， 解得：， ， 当时，取最小值为2013． 故选：B． 20．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 21．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 题型八、换元法解一元二次方程 22．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 23．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 24．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 题型九、根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．已知关于x的一元二次方程 ． (1)若方程有一根为，求m的值； (2)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把代入原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明 即可． 【详解】（1）解：把代入原方程得 ， ， ， ， ， ； （2）证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 26．已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)小慧同学的观点正确，理由见详解 【分析】（1）把代入方程，然后根据因式分解法求解方程即可； （2）把代入方程得，然后求解即可； （3）根据题意可分为当和两种情况进行分类求解． 【详解】（1）解：把代入方程得：， 或， 解得：，； （2）解：把代入方程得， 化简得：， 解得：； （3）解：由题意可分为：当时，则方程变为，此时方程有解； 当时， ∵， ∴， ∴方程恒有实数解； 综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解； 即小慧同学的观点正确． 27．已知关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和运算步骤． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）将方程的解代入方程求得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：∵为一元二次方程， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，， 解得， ∴， 整理得， 即， 解得或， ∴方程的另一个根为． 题型十、根据一元二次方程根的情况求参数 28．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义，得到二次项系数不为0，且根的判别式大于0，解两个不等式即可得到m的取值范围，选出正确选项． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， ∴m的取值范围是． 29．若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 30．已知关于x的一元二次方程，其中a为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为． （ⅰ）若，求a的值； （ⅱ）若时，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）计算出即可； （2）①方程代入得关于的方程，求解方程即可； ②求出方程的解，代入求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， ， ∵， ∴， 因此，一元二次方程有实数根； （2）解：①把代入方程得： ， ， ， 解得：； ②， ， ∴方程的根为和， ∵， ∴， ∴， 解得． 题型十一、一元二次方程根与系数的关系 31．若关于的一元二次方程的两根之积为，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：由题意得， 解得． 32．若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 【答案】2026 【分析】首先，根据一元二次方程根的定义，将代入方程，得到关于的等式，再对所求式子进行变形，然后利用根与系数的关系求出的值，最后代入计算即可. 【详解】∵是方程的根， ∴将代入方程可得： ， 移项得： ， 变形得： ， 对于一元二次方程， 由根与系数的关系可得： ， 将 代入 ，得： ∴ 33．已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由根与系数的关系可得出，，， ， ， 解得或， 由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件， 故存在实数． 题型十二、传播问题 34．2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出一元二次方程是关键； 设每一轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总感染人数为144，建立方程，求解得到． 【详解】解：设每一轮传染后平均一个人传染x人． 最初有1人感染，第一轮传染后感染总人数为，第二轮传染后感染总人数为． 由题意，， 即， 解得：（舍去）， 所以． 答：每一轮传染后平均一个人会传染了11个人． 35．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 36．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 题型十三、增长率问题 37．2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 38．某同学在九月学情分析中数学成绩为分，在十一月学情分析中数学成绩上升到了分，若十月、十一月这两个月数学成绩增长的百分率相同，则这个百分率为_________． 【答案】 【分析】本题属于增长率问题，可设增长的百分率为，根据“初始成绩×(增长率)最终成绩”列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解即可． 【详解】解：设这个百分率为， 根据题意可列方程：， 两边同时除以得：， 开平方得：， ∵增长率为正数， ∴， 解得：， 而时，，不符合实际增长的意义，舍去． 故答案为：． 39．暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个 (2)这个增长率为 (3)还需3天就可交货完成此订单 【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可； （2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可； （3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个． （2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得： ， 解得，（舍去）． 答：这个增长率为； （3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则： ， 解得：， 答：还需3天就可交货完成此订单． 题型十四、与图形有关的问题 40．如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 【答案】(1)每个鸡舍的长为，宽为 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程即可求解； （2）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程，判断方程根的情况即可求解． 【详解】（1）解：设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，， 解得， 当时，，符合题意， ∴每个鸡舍的长． 答：每个鸡舍的长为，宽为． （2）解：不能，理由如下： 设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，，整理得， ∵，，， ∴， ∴无实数根， ∴三个鸡舍的总面积不能为． 41．某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 42．如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时,四边形的面积为 (2)时, (3)时, 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据勾股定理得，再列方程求解即可； （3）根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 由题意，得，，，， ， ， 整理，得， ，（舍去）， 当时,四边形的面积为16． （2）解：由勾股定理，得，， 当时，， 所以， 即， 解得,（舍去）， 时,． （3）解：连接， 若， ， ∴， 即， 解得， 时，． 题型十五、营销问题 43．某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． (1)若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； (2)已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意知销售量以每斤4元的价格销售时每天的销售量100斤+(降低价格后的差价)，化简即可； （2）根据题意找出等量关系：每斤的盈利对应的销售量每天的总盈利，然后，得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，即y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 即， 解得,． ∵， ∴． ∴， ∴每斤的售价应定为元． 44．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 45．2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 【答案】(1)35元 (2) 【分析】（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元， 这周的销售量为个， 由题意，得， 整理得，解得，． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元； 答：售价应定为35元． （2）解：设这两周销售量的平均增长率为． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个）， 则， 解得，（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为． 题型十六、工程问题 46．学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 47．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 48．某企业为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装． (1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8小时，生产工装的总套数不少于380套，则乙厂至少生产这种工装多少小时? (2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间（增加的生产时间不得超过8小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3小时，因为甲厂机器损耗及人员不足，甲厂每增加1小时，该厂每小时的平均产量将减少3套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装总套数为890套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间． 【答案】(1)4小时 (2)5小时 【分析】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意求得结果要符合题意． 【详解】（1）解：设乙厂生产这种工装小时，则甲厂生产这种工装小时， 由题意得， 解得， 答：乙厂至少生产这种工装4小时； （2）解：设甲厂实际每天生产工装增加的时间为小时， 由题意得， 解得，（舍去）， 答：甲厂实际每天生产工装增加的时间为5小时． 题型十七、行程问题 49．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 50．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为______． 【答案】 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 51．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 题型十八、握手循环问题 52．为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 53．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析 (2)原来有9人参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可． 【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 54．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 题型十九、构造一元二次方程解决问题（压轴） 55．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 56．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将代入，得，解方程求出正根即可. （2）将变形为，结合，得出a，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答. （3）根据①，②，得出，结合得出③，④，将④代入①，得,将③代入②，得，得出p，q是一元二次方程的两个根，即可求得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 57．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)7 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）由，，将、看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7． 题型二十、一元二次方程的含参问题（压轴） 58．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 59．实数，，满足和． （1）若和均为正整数，则的值为______； （2）若存在唯一的实数使得这两个关系式都成立，则的值为______． 【答案】 3 【分析】（1）根据及，是正整数得出，或，，分别代入得出的值即可； （2）把代入可得，根据存在唯一的实数，得出判别式为，即可求出，代入方程求出，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵，均为正整数且， ∴，或，， ∵， ∴当，时，； 当，时，． ∴的值为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵“存在唯一的实数b”， ∴该方程有且只有一个实数解， ∴， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， ∴． 60．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 题型二十一、一元二次方程求最值（压轴） 61．互不相等的实数，，满足，． (1)若存在最小整数值，求整数． (2)若，为整数，求的值． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查了分式整数解问题以及方程特殊根问题． （1）将变形为，再把和分别代入，将问题转化为求分式的整数解问题，最后结合条件分类讨论即可； （2）利用，得到，将该式变形因式分解为，讨论当，为整数时的特殊值． 【详解】（1）， ， 又， ， 由，， 根据韦达定理可知，是方程的两个根， ， 即， 要使为整数， 则必须是的因数， 或， ①当时，， 此时，； ②当时，， 此时，； ③当时，， 此时，舍去； ④当时，， 此时，； 若存在最小整数值， 则取最小值，此时的值为． 故整数的值为． （2）由，， 可得， 即， ，为整数， ， ①或时，； ②或时，； ③或时，； ④或时，． 综上，的值为或或或． 62．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式； （2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果； （3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方， ； 第二种形式：选取二次项和常数项配方， ； 或 ； 第三种形式：选取一次项和常数项配方， ； （2）解：， 配方，得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键． 63．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料，解决下面问题： 写出的两种不同形式的配方； 若，求的值； 若关于的代数式是完全平方式，求的值； 用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立． 【答案】（1）①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：； ；或；（4）详见解析． 【分析】（1）根据题目中所给的方法解答即可；（2）把化为，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得的值；（3）根据完全平方式的特点，结合根的判别式解答即可；（4）因＞0，由此即可解答. 【详解】(1)①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：； ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 根据题意得， 解得或； 证明：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方是解题的关键． 题型二十二、一元二次方程根与系数的关系（压轴） 64．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 65．能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数． (1)已知a、b、c为勾股数，且，，求证：； (2)以正整数a、b、c为系数的方程有两个实数根、，已知存在实数p满足：，，求证：a、b、c一定是一组勾股数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理得到，则，根据平方差公式得到，即可证明； （2）根据根与系数的关系得到：，，即，，进而得到，即可证明a、b、c一定是一组勾股数． 【详解】（1）证明：∵为勾股数，且，， ∴，则， ∴， ∴； （2）证明：根据根与系数的关系得到：，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 则a、b、c一定是一组勾股数． 66．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】(1)①，；②1 (2)； (3) 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 题型二十三、一元二次方程的图形、动点问题（压轴） 67．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 68．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 69．如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，；当时，；当时，； (3)当的面积为9时或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点P到点C时，所走路程为，根据速度可得出t的值，当点Q到终点时，P点回到中点，可直接求出； （2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）当的面积为9时，类似（2）分三种情况进行讨论可得出结果． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， 则点到点时，所走路程为， ∵速度为每秒2个单位长度 ∴， ∵点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度， ∴当点到终点时，， 则点的运动路程为， ∵点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度， ∴此时点P在边上， ∴点回到中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：分三种情况： ①点P在上时， 则 即，如图所示： 故； ②点P在时， 则， ∴，如图所示： 此时 ③点P在时， ∴ 则，如图所示： 此时； （3）解：①点P在上时，，如图所示： 则，，， ， 解得：，（舍去） ②点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得： ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或． 题型二十四、一元二次方程的新定义问题（压轴） 70．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 71．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为______． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 先根据，可得，分情况进行讨论：（1）时；（2）时；（3）；（4）时；（5）同理可知4 时，方程无解；即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， （1）时，，解得：； （2）时，，解得：或（舍）； （3）时，，解得：（舍）或（舍）； （4）时，，解得：（舍）； （5）同理可知时，方程无解； 综上所述：方程的解为或， 故答案为：或． 72．阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $