专题1.6 线段的垂直平分线与角平分线（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题1.6 线段的垂直平分线与角平分线 教学目标 1. 探索并证明线段垂直平分线的性质与判定定理，理解其上的点到线段两端距离相等。 2. 探索并证明角平分线的性质与判定定理，理解其上的点到角两边距离相等。 3. 能运用这两条基本尺规作图，并利用其性质解决几何证明、计算及实际应用问题。 教学重难点 重点： 1. 线段垂直平分线的性质与判定的掌握，能灵活应用于线段相等关系的证明。 2. 角平分线的性质与判定的掌握，能灵活应用于角度、距离相等关系的证明。 教学难点： 1. 性质与判定定理的互逆关系理解，以及在证明中的正确选择与逻辑表述。 2. 在实际问题或复杂图形中，识别或添加垂直平分线、角平分线作为辅助线解决问题。 知识点1：线段的垂直平分线性质与判定 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【即学即练】1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形．已知是等边三角形，，过点A作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理及性质，等边三角形的性质，平行线的性质及解含的特殊直角三角形． （1）利用等边三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定定理可得点C在的垂直平分线上，同理由可得点A在的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线可证得结论； （2）先利用等边三角形的性质和平行线的性质得出是等边三角形，再由已知条件求出的长度，进而利用解含的特殊直角三角形求出的长度，即可求出的长度，由（1）的结论可得，最终可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， 又∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点2：角平分线性质与判定 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【即学即练】3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若面积为4，，则面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理． 过点 作交于点，可证，，根据面积为4，，求出面积为2，，即，，根据计算即可． 【详解】解：如图；过点 作交于点 ∵，是的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵面积为4，， ∴面积为2， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·辽宁营口·月考），直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 题型01 线段垂直平分线的性质求解 【典例1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵， 根据勾股定理，得． ∵是的中垂线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，为中点，延长至点，延长至点．连接、．当，时，的长为 ． 【答案】5 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，，，利用勾股定理求出，然后得到，证明出，得到，，设，则，利用勾股定理表示出， ，然后利用垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接，，， ∵在中，，，， ∴ ∵为中点， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的长为5． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，如图，在中，的垂直平分线交于点是直线上的一动点．连接，若，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置. 根据线段垂直平分线的性质即可得出点关于直线的对称点为点，当和重合时，的值最小，最小值等于的长，即可求解. 【详解】解：∵是的垂直平分线，是直线上的一动点， ∴，关于直线对称， 设直线交于，如图： ∵， ∴， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是：. 题型02 线段垂直平分线的判定定理 【典例2】（25-26八年级上·贵州·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求的度数； (2)求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，则有，进而问题可求解； （2）连接、、，由题意易得，然后问题可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、、， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：，， 在与中， ， ， （2）证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式2】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握这些知识是关键． （1）在中，求出即可解决问题； （2）只要证明，利用等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 【变式3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若的周长是，的长是，求的周长． (2)若，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是16，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为； （2）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点E在线段的垂直平分线上． 题型03 角平分线性质定理 【典例3】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，的内角的外角平分线与的外角平分线相交于点，若点到的距离为，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作于点，作于点，作于点，由角平分线的性质推得即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ， 即点到的距离为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，平分，，点分别为边上的动点，连接，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短及直角三角形的性质，先利用角平分线的性质进行转化，求得；再分析何时取得最小值，最终求得最小值为BE的长度即可. 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，，此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：. 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为的中线，为的角平分线，在中作边上的高． （1）若，，的度数为 ； （2）在（1）的条件下，若的面积为40，，则的长为 ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形中线的性质，三角形外角的定义，等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， ； 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 故答案为：； 题型04 角平分线的判定定理 【典例4】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， ， 平分． （2）证明：在与中 ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理和垂直平分线性质求出，证明，得出． 【详解】（1）证明：过点C作交延长线于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使，连接， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)14 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明； （2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长； （3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 题型05 线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例5】（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）某景区有一块三角形的草坪，、、是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意． 根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 【详解】解：∵凉亭到三个商店的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边垂直平分线的交点上． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：当该勘探站到这三个埋藏点A，B，C的距离都相等时，则该勘探站应建在的三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 题型06 作垂线与角平分线（尺规作图） 【典例6】（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，，垂足点． (1)尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； (2)连接，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质定理等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线与的交点即为所求的点E； （2）由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，是的角平分线，再求出，即可求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：如图：点E即为所求． （2）解：∵在中，，，， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称），要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置．保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，由题意可知，发射塔点G为的角平分线与线段的中垂线的交点，利用尺规作出的平分线，线段的中垂线即可． 【详解】解：由题意点G如下图所求： 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 题型07 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 【典例7】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 【详解】（1）证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握角平线的性质定理是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到点在的垂直平分线上，再证，得到，点在的垂直平分线上由此即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合周长的计算即可求解． 【详解】（1）证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 是的垂直平分线； （2）解：，， ， ，， ， ， ， 的周长是． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查三角形综合，涉及角平分线性质、垂直平分线性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由垂直平分线的性质得到，从而由两个直角三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）先求出，再由三角形全等的判定得到，进而得到，表示出即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题关键， （1）根据证明，进而解答即可； （2）根据证明，进而利用全等三角形的性质与等式的性质解答即可； （3）根据证明，进而利用全等三角形的性质与线段的关系解答即可． 【详解】（1）证明：O是的中点， ， ， ， ， ， ， 所在直线是的垂直平分线； （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，三角形面积公式，过点D作于H，由角平分线的性质定理可得，由勾股定理可得，再由，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点D作于H，如图： ∵，平分， ∴． 由勾股定理得． ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，平分，过点作于点，若，则的值为（    ） A．7 B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握角平分线性质，全等三角形的性质与判定，是解题的关键． 过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：过点D作交延长线于E， ∵平分，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，的平分线交于点F．若，则的长与的度数分别是（   ） A．4， B．3， C．4， D．3， 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意可得 为等腰三角形，再由线段垂直平分线的性质可得 是等腰三角形，从而得到，继而 ，则 是等腰三角形，，和是等腰三角形，再由等量代换即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选C． 5．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，D为的中点，，交于E，F为上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④，其中正确的结论个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，连接，由等腰三角形的性质可以推出；对于②，在①的基础上，用三角形内角和定理可以计算出，因而得证；对于③，作点F关于的对称点，结合已知条件证明出，则，从而证出；对于④，由③可知，则．因为，，通过等量代换，可以证明． 【详解】解：如图，连接，作点F关于的对称点，设， 对于①：∵D为的中点，， ∴是的垂直平分线， 由垂直平分线的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故②正确； 对于③：由轴对称的性质可知，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； 对于④：由轴对称的性质可知，， ∵， ∴， ∴ ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，①②③④均正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 二、填空题 6．（25-26八年级上·上海·期末）中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵是两内角平分线的交点， ∴平分， ∴， ∵，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴到的距离是． 故答案为： 7．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、三角形外角的性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 先利用垂直平分线的性质求出，，再运用三角形外角的性质求出，最后通过所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点，，， ∴，． ∵是的外角， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，点D在的外部，连接，过点D作，交的延长线于点E，于点F，若．则的度数为 ． 【答案】52 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键． 根据题意得出平分，利用三角形的外角性质求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：，，， 平分， ∵， ∴， ， 故答案为：52． 9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过点分别作，的垂线，垂足为，，若，，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，过点P作于点H，连接，由角平分线的性质得到，可证明，得到，同理可得，再证明，，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作于点H，连接， ∵的平分线交于点，点是上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴的周长 ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 若，则， ∵，， ∴，矛盾，故不可能； 若，则， 在中， ，即， ∴， 又，， ∴， 解得； 若，则， 又， ∴，， 解得， 综上，为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，在中，为线段的中点，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （2）设，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据三角形内角和定理得出，根据，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴为等腰三角形底边上的中线， ∴， 即； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 12．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，在四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：是的平分线． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质与判定定理、全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质与判定定理、全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）过点E作于点F，由题意易得，则有，然后根据角平分线的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知：，则有，然后可得，，，同理可得：，进而可得，最后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：过点E作于点F，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点E在的角平分线上，即是的平分线． （2）解：由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，直线，分别是边，的垂直平分线，交于点，，且直线，交于点，连接，，，． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理的应用； （1）连接．根据垂直平分线的性质可得，，则，即可得证； （2）根据三角形内角和定理可得，根据垂直平分线的性质可得，，根据等边对等角可得，，则，进而求得的度数． 【详解】（1）证明：连接． ∵直线，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴点在的垂直平分线上． （2）解：∵， ∴． ∵直线，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴． ∴． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． (1)如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； (2)如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． () 作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； ()先借助()的结论得出平分，得，再利用分别平分的外角，结合内角和求出的度数，进而算出外角和；最后通过三角形外角性质推导的度数，再根据角平分线求出的度数． 【详解】（1）证明：过点分别作，，，垂足分别为，，． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）解：由得， ∴． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，． 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D是边上一点，连接． ①若，则的度数为_______°； ②若平分，，求证：点B在线段的垂直平分线上． 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某公园中的一片花海，在B处有一座观景台，在C处有一座凉亭，是两条小路，现要对这片花海进行扩建，将分别延长交于点E，得到扩建后的花海为，并在E处设立游客服务中心．已知平分，，，，求凉亭到游客服务中心的距离．（观景台、凉亭和游客服务中心的大小及小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①70，②证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，垂直平分线的判断以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①运用三角形外角的性质求解即可；②证明即可； （2）在上取，连接，设，得，证明，求出，证明，可得，故可得结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， 故答案为：70； ②证明：，， 平分， ， ， 点B在线段的垂直平分线上 （2）在上取，连接，设． ， ． 在和中，，，， ． ，， ， ． ， ， ． ， ，即， 解得， ，， ， ， ∴， ，即凉亭到游客服务中心的距离为． 16．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系： ． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得，再由角性质得到，则． 【详解】解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.6线段的垂直平分线与角平分线 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：线段的垂直平分线性质与判定 知识清单 知识点2：角平分线性质与判定 题型01线段垂直平分线的性质求解 线段的垂直平分线与 题型02线段垂直平分线的判定定理 角平分线 题型03角平分线性质定理 题型04角平分线的判定定理 题型精讲 题型05线段垂直平分线与角平分线的实际应用 题型06作垂线与角平分线（尺规作图） 题型07线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.探索并证明线段垂直平分线的性质与判定定理，理解其上的点到线段两端距离相等。 教学目标 2.探索并证明角平分线的性质与判定定理，理解其上的点到角两边距离相等。 3.能运用这两条基本尺规作图，并利用其性质解决几何证明、计算及实际应用问题。 重点： 1.线段垂直平分线的性质与判定的掌握，能灵活应用于线段相等关系的证明。 2.角平分线的性质与判定的掌握，能灵活应用于角度、距离相等关系的证明。 教学重难点 教学难点： 1.性质与判定定理的互逆关系理解，以及在证明中的正确选择与逻辑表述。 2.在实际问题或复杂图形中，识别或添加垂直平分线、角平分线作为辅助线解决问题。 知识清单 知识点1：线段的垂直平分线性质与判定 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上， 【即学即练】1.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在ABC中，DM,EN分别是边AB,AC的垂 直平分线，BC=8,则ADE的周长 D 2.(25-26八年级上河南周口月考)从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形.已知△BCD是等边三角形， AB=AD,过点A作AE∥DC,交BC于点E,交BD于点F,连接AC· (I)求证：AC垂直平分线段BD; (2)若AE=8,BE=3,求BD的长. 知识点2：角平分线性质与判定 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【即学即练】3.(25-26八年级上·浙江金华期中)如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分 线，点E在边AC上，连接DE,且DE=DB.若ADE面积为4，AE=2EC,则ABC面积=一 4.(25-26八年级上辽宁营口月考)∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC=DC,直线AD与BE交于点F. 2/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，若LCEB=90°，求证：FC平分∠BFD: (2)如图2，若∠CEB≠90°，(1)中的结论是否成立？说明理由. 题型精讲 题型01线段垂直平分线的性质求解 【典例1】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D,交BC于点E,连接AE.若∠BAE=I0°，则∠C的度数是 Bh E 【变式1】(25-26八年级上·北京通州期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，MN是BC的中垂线，交 AB于点E,如果AC=2,BC=6,那么△ACE的周长为一 M B 【变式2】(25-26八年级上江苏泰州月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,D为 AC中点，延长BA至点E,延长CB至点F.连接DE、DF.当DE⊥DF,BF=2时，AE的长为 B 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上四川南充期末)已知，如图，在ABC中，BC的垂直平分线m交BC于点 D,P是直线m上的一动点.连接BP,CP,AP,若AB=7,AC=3,BC=8,则△APC的周长的最小值 为」 m 题型02线段垂直平分线的判定定理 【典例2】(25-26八年级上·贵州期末)如图，在ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线分别交AB, BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (I)求∠FAN的度数； (2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上. 【变式1】(25-26八年级上：云南昆明期末)如图，AD与BC相交于点0，AB=CD,∠A=∠C, BE =DE. A B E (I)求证：△AB0≌△CD0; (2)求证：OE垂直平分BD. 【变式2】(25-26八年级上·全国假期作业)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC, DE⊥AB于E 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若∠BAC=40°，求∠EDA的度数； (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线 【变式3】(25-26八年级上广东肇庆期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB 于点D,交BC于点E,连接CD,AE. D B (I)若△ABC的周长是16，AD的长是3，求△AEC的周长. (2)若LDAE=∠CAE,求证：点E在线段CD的垂直平分线上. 题型03角平分线性质定理 【典例3】(25-26八年级上·四川南充期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=10cm ,BD=7cm,则点D到AB的距离为」 B 【变式1】(25-26八年级上山东德州期末)如图，ABC的内角∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角 平分线CE相交于点P,若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为 A B 【变式2】(25-26八年级上海南省直辖县级单位·期中)如图，在ABC中，AB=8,AD平分∠BAC, ∠BAD=15°，点P、Q分别为边AD,AB上的动点，连接BP、PQ,则∠BAC=,BP+PQ的最小 值为 D 【变式3】(25-26八年级上·安徽合肥期末)如图，AD为ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，在 △BED中作BD边上的高EM. 5/15 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B DM (1)若∠BED=40°，∠BAD=25°，∠ABD的度数为 (2)在(1)的条件下，若ABC的面积为40，BD=5,则EM的长为」 题型04角平分线的判定定理 【典例4】(25-26八年级上上海崇明·期末)如图，在ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、BC上， AD=CE,作EF⊥BC于E,交边AC于F,DF=CF. B (I)求证：BF平分∠ABC; (2)求证：BC+BD=2BE. 【变式1】(25-26八年级上·全国假期作业)如图，点D是ABC外一点，连接AD,CD,过点C作 CE1AB,垂足为E.AD=7,CE=4,AB=13,△ADC的面积为14. D E (I)求证：AC是∠BAD的平分线. (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC. 【变式2】(25-26八年级上·四川南充期末)如图，将ABC的边BA、BC延长到E、F,∠ABC、 ∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,连接CP,∠BPC=25°，过点P作BE、BF的垂线，垂足分别为M, N. E B C NF (1)求证：点P在∠ACF的角平分线上； (②)用等式表示AC、AM、CN的数量关系，并说明理由； 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)求LCAP的度数. 【变式3】(25-26八年级上上海闵行·期末)如图，己知AD∥BC,BC>AD,∠A=90,点E是线段AB的 中点，DE平分∠ADC. D D (备用图) (1)求证：CE平分LBCD; (2)如果AD=1,BC=4,求四边形ABCD的周长； (3)将线段EC沿着经过点E的一条直线翻折，点C恰好落在射线AD上的点P处，过点P作PQ∥DE,交边 CD于点Q,试猜想线段AD与CQ之间的数量关系，并进行证明. 题型05线段垂直平分线与角平分线的实应用 【典例5】(25-26八年级上·上海金山期末)上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，ABC是一个正 在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是 ABC的() B A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三角形的内心 D.三角形的外心 【变式1】(25-26八年级上·天津·期末)某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带 AB∥CD,绿化带MN交AB于点M,交CD于点N,若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等， 则可供选择的喷灌处修建点有() B D A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【变式2】(25-26八年级上·江苏南京·期中)某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在() 云 A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 【变式3】(25-26八年级上·山西吕梁·期中)某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点A, B,C,为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站O,要求该勘探站O到这三个埋藏点 的距离都相等，则勘探站应建在() A.ABC三条中线的交点处 B. ABC三条高线的交点处 C. ABC三个角的角平分线的交点处 D. ABC三条边的垂直平分线的交点处 题型06作垂线与角平分线（尺规作图） 【典例6】(25-26八年级上山东德州·月考)如图，在ABC中，AB=AC. (I)尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若AD=CD,求∠BAD的度数. 【变式1】(25-26八年级上福建厦门·月考)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，AD1BC,垂 足点D, (I)尺规作图：在线段AD上，求作一个点E,使得AE=CE; 8/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)连接BE,求∠EBD度数. 【变式2】(25-26八年级上·甘肃天水·期末)天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称5G),要 求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MW、PQ的距离也必须相等，发射塔点G应修 建在什么位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置.保留作图痕迹，不写做法） 9 A· ●B 以O p 【变式3】(25-26七年级上·山东威海期中)如图，在ABC中，AB=AC,点D在AC上，连接BD,并 延长至点E,连接AE,使AE=AB. E B (I)作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)的条件下，连接CF,求证：∠ABE=∠ACF. 题型07线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 【典例7】(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F G E B (I)求证：BE=CF; (2)若AF=6,BC=10,求ABC的周长 【变式1】(2425八年级下·陕西宝鸡期末)如图，P是∠A0B平分线上的一点.过点P作PC10A, PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD 9/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：OP是CD的垂直平分线； (2)若∠A0B=60°，0P=6,求△C0P的周长. 【变式2】(25-26八年级上江西宜春·期中)已知：如图，ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线 交于点D,DF⊥AC于点F,DE⊥AB交AB的延长线于点E. D (1)求证：BE=CF; (2)若AC=16,BE=4,求AB的长. 【变式3】(25-26八年级上：广东广州期中)已知：如图ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC的角平分 线上一点，且DB=DC,过D作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点， E (1)连接OD,求证：OD所在直线是BC的垂直平分线； (2)求证：LBDC=LEDF; (3)判断AB,AC,CF之间的数量关系，并说明理由. 强化训练 一、单选题 1,(25-26八年级上全国·期末)如图，在ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于D.若AB=5, BC=12,则△ADC的面积为() 10/15