专题05 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题05 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：连接交于点，取的中点，连接，，， ∵，，∴， ∵，∴，，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故选：A． （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】如图：连接，交于点O，因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵，∴，∴四边形是菱形． ∴，，∴， ∵四边形面积为，，∴，解得 ．∴ 在中 ．故选：B． 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】在中，，是中点，∴， ∵，∴，∵沿方向向右平移至，∴，故选：B． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，点E为的中点， ，， ，，， ，同理可得，， ，故选：D． 例3（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：，分别为，边的中点，，， ，为边的中点，，故选：B． 例4（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：连接，∵，∴F是中点， ∵，∴，∴， 同理：，∴， ∵M为的中点，∴， ∴．故选：B． 例5（2025·江苏镇江·校考一模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    【答案】 【详解】解：连接、，    ，是的中点，， ， 是等腰直角三角形，，是的中点，， 故答案为：． 例6（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，    在中，，，， 是斜边的中点，， 是的斜边上的中点，且，， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 则的最小值为，故答案为：． 模型2.中位线模型 例1（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取格点、，由网格的性质可知，，    ，，、分别是、的中点， 是的中位线，，故选：B． 例2（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接， ，是的中位线，，， 是中点，，，，， ，．故答案为：． 例3（24-25下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，则的长为（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示：    在正方形中，，点分别是边的中点，， 在中，，由勾股定理可得， 在中，点分别是的中点，则是的中位线， ，故选：B． 例4（2025·湖南·校考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【答案】 【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，    ∵点E是上的中点，点F是上的中点，∴为的中位线，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴，∴ ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为，故答案为：． 例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 例1（24-25下·湖南八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（    ）    A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【详解】解：点分别是四边形边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意； B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意； C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意； D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；故选：D． 例2（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【答案】42 【详解】解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：，故答案为：42． 例3（24-25下·福建·八年级校考期中）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等 【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE， ∵在△AED和△CEF中，∴， ∴，，∴， ∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF， ∴四边形BCFD为平行四边形，∴，， ∵，∴，即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示： ∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，， ∴，，∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形； 根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形； 根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形， 根据解析①可知，，， ∵AC=BD，∴，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等 例4（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接， 由对称性质得垂直平分，∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵H是的中点，E为边的中点，∴， ∴，∴，∴的最小值为，故选：A． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【详解】解：∵在中，，∴， ∵M是的中点，∵，M是的中点， ∴中，．故选：C． 3.（24-25八年级下·成都·期末）如图，的对角线交于点O，E为的中点，F为的中点，若，，，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，， ∵E为中点，∴是的中位线，∴，，∴， ∵，∴，∵于点O，点F是中点， ∴，∴，令，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是矩形时，平分 D．当时，是正方形 【答案】D 【详解】解：A、当时，∵E是的中点，∴垂直平分，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是矩形，故A说法正确，不符合题意； 当时，∵E是的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴F为的中点，∴为的中位线， ∴，∴，∴是菱形，故B说法正确，不符合题意； C、当是矩形时，则， ∵E是的中点，∴平分，故C说法正确，不符合题意； D、当时，无法证明是正方形，故D说法错误，符合题意；故选：D． 5．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，平分，点M，N分别为的中点，连接．在下列结论中：①；②；③平分；④；其中结论正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵，平分，点M为的中点， ∴，， ∴，，， ∵点M，N分别为的中点，∴为的中位线，∴， ∴，∴，故①正确，符合题意；∴， ∵，，， ∴，， ∴，故④正确，符合题意； ∴不平分，故③错误，不符合题意；无法证明②，故不符合题意；故选：B． 6．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，∵于点，∴，∴， ∵，，∴垂直平分，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， ∵点为中点，，∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴，即的最小值为，∴的最小值为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：是的中位线，，， ，，，， 平分，，， ，∴．故答案为：1． 8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵中，，∴， ∵D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，故答案为：1． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知，如图，在中，，点、分别是、的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：，点D是的中点，，，， ∵点D、E分别是、的中点，∴，，， ，故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，的周长为12，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，的平分线垂直于，垂足为M，若，则的长度为 【答案】1 【详解】解：∵的周长为12，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， 同理可得：，，∴， ∵，，∴是的中位线，．故答案为：1． 11．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形中，，，为对角线的中点，为的中点，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，为中点，∴在中，，， ∵，∴，∴为直角三角形， 又∵为中点，∴为的中位线， ∴， ∴；故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，则的长为 ；若为斜边上的高，点分别是的中点，则的长为 ． 【答案】 10 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴，故答案为：； （2）∵点分别是的中点，∴为的中位线，∴， ∵为斜边上的高，∴，∴，∴都是直角三角形， ∵点分别是的中点，∴， ∵，∴是直角三角形， ∵点分别是的中点，∴．故答案为：． 13．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，，，连接使平分，，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 °， ． 【答案】 90 【详解】解：∵在四边形中，平分， ， ∵点是的中点，，， ，， E、F分别为、的中点，， ，， 在中，由勾股定理得：．故答案为：． 14．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H， ∵在中，，，∴，， ∵点E为的中点，∴，∴，∴，， ∵，，∴，在中，，， ∴，， 在中，，∴， ∴，∴，故答案为：3． 15．（25-26八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则 ． 【答案】40° 【详解】解：如图：连接，∵，O为的中点， ∴，∴， ∴， 即：，∵，∴．故答案为：． 16．（23-24八年级下·广东·期中）如图，，点E为的中点，于点F，若，，则的面积为 ． 【答案】12 【详解】解：，点为的中点，， ，，，，， 在中，， 的面积．故答案为：12． 17．（24-25下·山东德州·八年级阶段练习）如图，四边形中，点E、F、G、H分别为的中点，(1)求证：中点四边形是平行四边形； (2)如图2，点P是四边形内一点，且满足，点E、F、G、H分别为的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析(2)菱形，证明见解析 【详解】（1）证明：如图1中，连接， ∵点E、H分别为边的中点，∴, ∵点F、G、分别为的中点，∴， ∴，∴中点四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下：如图2，连接， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵点E，F，G分别为边的中点，∴， 由（1）得：四边形是平行四边形，∴四边形是菱形． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④；①③④(2)详见解析(3)存在， 【详解】（1）解：∵矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，等腰梯形的对角线相等，正方形的对角线相等，且互相垂直，∴菱形和正方形是“十字形”， 矩形，等腰梯形，正方形为“对等四边形” 故答案为：②④；①③④； （2）证明：如图1， 凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，， ，，分别是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ，，四边形菱形，     又，菱形FGMH是正方形； （3）解：如图2，连接，由题意得：，则，     中，， ，，，， 四边形是平行四边形， 当时，是菱形，则， 此时平行四边形是“十字形”，， ，即：当时，四边形为“十字形”． 19．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是的中点， ，，，是等边三角形， 是的角平分线，； （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线，， ，， 是的角平分线，，，，． 20．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长；②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)D(2)①；②的最小值是 【详解】（1）解：如图所示，四边形是平行四边形，且，点是边的中点，连接，∴，，∴， ∴四边形是平行四边形，同理，， ∵，则，∴，∴平行四边形不是“中方四边形”，故A选项不符合题意； 如图所示，四边形是矩形，且，点是边的中点，连接，则，交于点，则，同理，四边形是平行四边形， ∵，∴，∴平行四边形是菱形， ∵，∴，∴矩形不是“中方四边形”，故B选项不符合题意； 如图所示，四边形是菱形，且，点是边的中点，连接， 同理，四边形是平行四边形， ∵，∴，∴菱形不是“中方四边形”，故C选项不符合题意； 如图所示，四边形是正方形，且，点是边的中点，连接，交于点，则，同理，四边形是平行四边形， ∵，∴，∴平行四边形是菱形， ∵，，∴，， ∵，∴，∴菱形是正方形， ∴正方形是“中方四边形”，故D选项符合题意；故选：D； （2）解：①如图所示，记的中点为，连接， ∵四边形是“中方四边形”，分别是的中点， ∴四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴； ②如图所示，设交于点，连接，∵四边形是中方四边形，∴， ∵，∴，垂足为点，∴是直角三角形， ∵分别是的中点，∴，则， 同理，，，∴， ∴当取得最小值时，有最小， ∵，∴当点共线时，取得最小值，最小值为的值， ∵，∴，∴，∴的最小值是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    ) A． B． C． D．无法确定 例4（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ） A．6 B． C． D．8 例5（2025·江苏镇江·校考一模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    例6（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    模型2.中位线模型 例1（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 例2（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为 ． 例3（24-25下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，则的长为（　　）    A． B． C． D．2 例4（2025·湖南·校考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 例1（24-25下·湖南八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（    ）    A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 例2（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 例3（24-25下·福建·八年级校考期中）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 例4（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 3.（24-25八年级下·成都·期末）如图，的对角线交于点O，E为的中点，F为的中点，若，，，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是矩形时，平分 D．当时，是正方形 5．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，平分，点M，N分别为的中点，连接．在下列结论中：①；②；③平分；④；其中结论正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为 ． 7．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为 ． 8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则 ． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知，如图，在中，，点、分别是、的中点，连接，在上有一点，，连接，，若，则 ． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，的周长为12，点D，E在边上，的平分线垂直于，垂足为N，的平分线垂直于，垂足为M，若，则的长度为 11．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形中，，，为对角线的中点，为的中点，若，，则 ． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，则的长为 ；若为斜边上的高，点分别是的中点，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，，，连接使平分，，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 °， ． 14．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则 ． 16．（23-24八年级下·广东·期中）如图，，点E为的中点，于点F，若，，则的面积为 ． 17．（24-25下·山东德州·八年级阶段练习）如图，四边形中，点E、F、G、H分别为的中点，(1)求证：中点四边形是平行四边形； (2)如图2，点P是四边形内一点，且满足，点E、F、G、H分别为的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：；(2)求的长． 20．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长；②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $