第六章 平行四边形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章平行四边形 (高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：60分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C=240°，则∠C的度数是() A.60 B.80 C.120° D.140° 2.如图，在ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,BC=4,则CD长为() D B E A.2 B.8 C.3 D.4 3.如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若BC=10,AC=8,BD=14,则△BOC的周长为() A D A.20 B.21 C.22 D.23 4.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边 形的是() D 0 A.AD∥BC B.AB=CD,OC=OD C.0A=0C,0B=0D D.AD∥BC,AB=CD 5.如图，口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点E,若AB=3 ,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积为() A F E A.3 B.4 C.5 D.6 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，在ABC中，D是BC的中点，F为AC上一点，AE平分∠BAC,且AE⊥BF于点E,连接DE ,若AB=6,AC=9,则DE=() A.3 B.2.5 C.2 D.1.5 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,过点A作AF⊥BE,垂足为F,若 AF=5,BE=24,则CD的长为() E B A.12 B.13 C.14 D.15 8.如图，口ABCD中，点E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF,CE,CF.若△CEF是等腰直角 三角形，∠CEF=90°，AB=2,则CF的长是() H A B A.3 B.2W3 C.2√2 D.3.5 9.如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点E,连接CE,点F,G分别是BE和CE的中 点，若FG=2.5,DE=2,则CD的长为() A G B A.3 B.2 C.2.5 D.4 IO.如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,DE, BF相交于点H,射线BF交线段AD的延长线于点G,下列结论：①∠A=∠BHE;②AB=BH;③ LBHD=∠BDG;④BH+BG2=AG,其中正确的结论是() 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B H G A D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和BC,再找到AC、BC的中点D、E, 测得DE的长度为8米，则A,B两点间的距离为 D 12.如图，在平行四边形ABCD中，AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点，则EF的长为 A D E B 13.如图，口ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D都在坐标轴上，点C的坐标为7,6)，则口ABCD 面积为 D B 14.如图，GABCD中，EF过对角线的交点O,如果AB=8cm,AD=6cm,OF=2cm,则四边形BCEF 的周长为 DE C A 15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是线段AO、B0的中点，若 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC+BD=20cm,△OAB的周长是18cm,则EF的长为 cm, D B C 16.如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=4,AD=8,点H、G分别是CD、BC上动点.连接AH、HG ,点E、F分别为AH,GH中点，连接EF.则EF最小值为： A D B G 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图，∠1=∠2，AD|BC.求证：四边形ABCD是平行四边形. D 2 I8.如图，在口ABCD中，BD是它的一条对角线，过A,C两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,E、F是垂足， 求证：DE=BF. D E B 19.如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE,并延长交BA的延长线于点F,已知 DC∥AB. D B (I)求证：△AEF≌△DEC; 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AD∥BC,AE=2,求BC的长 20.如图是6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A,B,C,P各点都在格点上.请仅用无 刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图. B (I)找出格点D,连结CD,AD,使四边形ABCD是平行四边形； (2)过点P作一条直线1，使直线I平分平行四边形ABCD的周长和面积. 21.如图1，在口ABCD中，AB=8,BC=10,AC⊥AB,M为AC边上的一个动点，连接DM,过点M作 MN⊥DM交AD于点N,点A、P关于直线MN对称，连接PM、PN、DP B D 图1 备用图 备用图 (I)证明：DM平分∠CMP; (②)当∠MPN+2LPMN=90°时，求CM的长； (3)当aDMP等腰三角形时，求CM的长， 22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AB=8,BC=20,AD=15.动点P从点B出发， 沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段DA上以每秒1个单位长 的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒) B 备用图 (1)设△APQ的面积为S,请用含t的式子表示S; (②)当t为何值时，四边形ABPQ是平行四边形？ (3)当t为何值时，PQ的长度为10？ 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.已知：四边形ABCD是平行四边形，点E是BC中点，连接AE,将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE ,延长AF交BC的延长线于点P,延长EF交CD于点Q D A D B E E 图1 图2 (1)如图1，求证：△ECQ≌△EFP; (2)如图2，连接CF,若CF=CP,在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与3∠P相等 的角。 24.如图1，点C是射线BO上的一个动点，点A在射线BC的上方.现以点A,B,C为顶点构造平行四边形 ABCD(BC>AB).∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F,直线CF与BE相交于点G. F C 图1 图2 (1)如图1，求证：BE⊥CF; (②)如图2，点Q为BC中点，连接AG并延长交线段CD于点H,若AB=6,GQ=5,求DH的长； (3)如图1，在点C的运动过程中，探究线段AB,CF,BE之间的数量关系，并说明理由. 25.如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,AE=EC,连接BD交AE于点M· F B E 图1 图2 (I)如图1所示，AB=V10,BE=1,求BD的值 (2)如图2所示，F是BD的中点，过点E作EG⊥AB于点G,延长GE交DC的延长线于点H,连接FH. ①证明：△AGE≌△EHC. ②直接写出GE,AG,FH的等量关系. 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7/7 第6章 平行四边形 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，于E，于F，若，，，则长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴， 即， ∴． 3．如图，在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分，求出和的长度，再结合已知的长度，即可计算的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ， ， 的周长． 4．四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：对于选项C： ∵，，， ∴． ∴． 同理可得． ∴四边形为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件． 5．如图，中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质证明，从而得出阴影部分的面积等于的面积，即平行四边形面积的四分之一；利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出平行四边形的面积即可求解 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 6．如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，，则的长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得到，再由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 9．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 【答案】A 【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是和的中点，，， ∴， ∴. 10．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据余角的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，说明①正确；证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，判断②正确；根据，，，即可得出，判断③错误；根据勾股定理得出，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ， ， 在平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵在平行四边形中，， ∴， ，， ， ，故③错误； ∵在平行四边形中，， ∴， ， ∵， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______． 【答案】米 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵是中点，是中点， ∴是中位线， ∴， ∴（米）， ∴，两点间的距离为米． 12．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由三角形的中位线性质可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________． 【答案】42 【分析】根据平行四边形的性质得到轴，由点的坐标得到，，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴． 14．如图，中，过对角线的交点O，如果，，，则四边形的周长为________． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质得到相应条件，证明，再根据全等三角形的性质，得到 ，，再根据 求解即可． 【详解】解：根据平行四边形的性质，得，， ， 又， ， ，， ， ，， 四边形的周长为： ． 15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 16．如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， 如图，过点作于点，此时线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 在中，，． ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 19．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 20．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． (1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； (2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可． （2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可 【详解】（1）取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形． （2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积． 21．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据折叠的性质，以及同角的余角相等证明即可； （2）令与的交点为，利用平行四边形的性质和勾股定理，先求出，再结合折叠的性质，推出，进而证明，设，利用等面积法列方程求解即可． （3）当等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点作于点，证明，得到，即可得解；②当时，得出，结合垂线段最短，可得出不符合题意；③当时，结合斜边大于直角边，可得出不符合题意． 【详解】（1）证明：， ，， 由折叠的性质可得，， ， 平分； （2）解：如图，令与的交点为， 在中，， ，，， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：，即的长为； （3）解：分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， ，， 由折叠的性质可知，， 由（1）可知，平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ，不符合题意； ③当时， ，， ，不符合题意， 综上可知，的长为2． 22．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 23．已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，则可证明，由线段中点的定义得到，则，据此可证明结论； （2）根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到；则可得到，进而得到，则，，再由平行四边形对角相等可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； ∵点E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中所有与相等的角为，，，． 24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 25．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 【详解】（1）解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； （2）解：①在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $