第六章 平行四边形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版八年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章平行四边形 (高效培优单元自测强化卷) (考试时间：60分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是() A.AB=CD B.AB=BO C.BO=DO D.AD∥BC 2.如图，在口ABCD中，∠A+∠C=280°，则∠B的度数为() D C A.40° B.45° C.140° D.60° 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交AB于点M、N.分别以点M、N为 圆心，大于2MN为半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,若∠BCE=∠DCE,AD=5,则 DE长是() D E M B F 2 A.3 B.4 C.25 D.5 4.如图，在平面直角坐标系xO中，口ABC m,n 的对角线交点为原点O,若点A的坐标为 ,则点C的 坐标为() 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（m,-n) B.(m,-n) C.（m,n) D.（,-m) 5.如图，在口ABCD中，∠B=110°，点E在AB上，且AD=DE,则∠CDE的度数是() D B A.110° B.50° C.70° D.40° 6.如图，将口ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F,若∠B=7O°， ∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为() D A.660 B.60° C.54° D.50° 7.如图，在口ABCD中，点E,F在边AD上，CE平分∠BCD,BF平分∠ABC.若AD=12,EF=4, 则CD长为() E D B A.8 B.10 C.12 D.16 8.如图，在△ABC中，已知AB=8,BC=6,点D,E分别为BC,AC的中点，BF平分∠ABC交DE于 点F,则EF的长为() 2/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.1.5 C.2 D.1.8 9.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点B作BE⊥AC于点E,F为OC上一点，连接 ED,DF,FB.若BE=CF=4,DB=10,EF=6,则△AED的面积为() D A.6 B.7.5 C.8 D.10 IO.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P, 连接0E,若∠ADC=60°， 1B=5BC=2 OE=IAD 2,则下列结论：①∠CAD=30°；②4；③ S平行四边形ABCD=AB·AC ④BD=5,正确的是() A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，A,B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A,B间的距离：先在AB外选一点C,然后步 测出AC,BC的中点M,N并步测出MN的长约为40米，由此可知，A,B间的距离约为. 米 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 12.在四边形ABCD中，己知AD∥BC,则只需添加一个条件 一，可证明四边形ABCD为平行四边形. 13.如图，四边形OABC是平行四边形，顶点0，A,C的坐标分别是 0,0),(4,0),1,2) 则顶点B的坐标是 2 2马012345 14.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，己知AB=12,BC=18,且EF=3.若∠CBF=35°， 则∠ABF= B 15.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F，若平行四边形ABCD 的周长是32，OE=3,则四边形ABFE的周长为 E D 16.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD=BC, ∠A=60°，∠ABC=84°，则∠PEF的度数是_°. 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) I7.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在DA、BC延长线上，且AE=CF.求证： ∠EBF=∠FDE」 18.如图，ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形， (I)求证：AE=CF (2)若DE⊥AB,∠DAB=60°，AD=6,AB=8,求ABCD的面积. I9.如图，在△ABC中，点D,F分别为AB,BC的中点，点E在AC上，满足∠AED=∠DFB. E D B (I)求证：△ADE≌△DBF; (2)若AB=AC=10,BC=6,求点A,F之间的距离. 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图所示，D为△ABC内的一点，AD平分∠BAC,且AD⊥BD,垂足为D,延长BD交AC于点G, E为BC的中点，点F在AC上，且CF=DE E (I)求证：四边形CEDF是平行四边形： (2)求证：AB+2CF=AC, 2L.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E,F,G分别是AD,BD,DC的中点，连接EG,EF,FG. G B☑ (1)试判断△EFG的形状，并说明理由： (2)已知AB=10,BC=24,求EG的长 22.如图，口ABCD在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，OA=4,AD=6,OB=3,点C是线段 OE的中点，直线AE交线段OD于点F,交x轴于点E. B B O 备用图 (1)写出点D的坐标 点E的坐标 (2)求直线AE的表达式： (3)平面内是否存在一点G,使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标： 若不存在，请说明理由. 23.如图，在口ABCD中，∠A=60°，AB=4cm,连接BD,恰有∠ABD=90°，过点D作DE⊥BC于点 E.动点P从点D出发沿线段DA以lcm/s的速度向终点A运动，同时点O从点B出发，以3cm/s的速度沿 射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为s, 6/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P-D Q→E (I)求BD和BE的长度： (2)当t为何值时，以P,Q,C,D为顶点的四边形为平行四边形. 24.【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平 行四边形纸片4BCD中，点B为CD边上任意一点，将△ADE沿ME折叠，点D的对应点为D。 D D B B D E 图1 图2 图3 如图1，当4BC=60°，点D合好落在4B边上时， D ∠AED 的度数是 度 【问题解决】 ②如图2，当点么、P为CD边的三等分点时，连接FD并延长，交B边于点G.试判断线段4G与BG。 FD 的 数量关系，并说明理由. 3)如图3，当∠1BC=60°∠DAE=45 时，连接DD并延长，交BC边于点H,若平行四边形1BC DD D的 DH 面积为24,4D=4,请直接写出线段的长. 25.【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，我们知道：三角形中位线 定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半， 7/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B B G 图① 图② 图③ (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段 叫做梯形的中位线.如图①，EF就是梯形ABCD的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接AF并延长，交BC的延长线于点G. 经过你的分析，请写出梯形的中位线EF和两底AD、BC之间的关系，并说明理由. (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为7cm,高为6cm,则梯形面积是 cm"; (3)【拓展应用】如图③，直线I为口ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线I的垂线段 BE、AF、CG、DH,请直接写出线段BE、AF、CG、DH之间的数量关系. 8/8 第6章 平行四边形 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，的对角线，交于点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，， 故选项A、C、D正确，不符合题意； 而与不一定相等，故选项B错误，符合题意． 2．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 4．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，且交点为原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解． 解题的关键在于掌握平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征． 【详解】解： 四边形是平行四边形，且对角线交点为原点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 5．如图，在中，，点E在上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，等边对等角进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 6．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可. 【详解】解：∵将沿对角线翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 7．如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】设，结合平行四边形的性质和角平分线的定义得出和，结合，，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，已知，，点D，E分别为的中点，平分交于点F，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．1.8 【答案】A 【分析】可证明是的中位线，则可得到，，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 10．如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】首先根据平行四边形的性质，确定，，再结合角平分线的定义可得，易知为等边三角形，进而可得，，结合三角形外角的定义和性质可求得，进一步可得，可判断结论①；证明为的中位线，由三角形中位线的性质可得，易得，可判断结论②；证明，然后由，可判断结论③；证明，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后在中求得，易得，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，，，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴，即，故结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，故结论④错误． 综上所述，结论正确的有①②③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【答案】80 【分析】根据三角形中位线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵米， ∴米． 12．在四边形中，已知，则只需添加一个条件_____，可证明四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形中一组对边，根据平行四边形的判定定理，添加符合判定要求的一个条件即可． 【详解】解：已知，添加条件，即可证明四边形为平行四边形， 或添加，也可证明四边形为平行四边形． 13．如图，四边形是平行四边形，顶点的坐标分别是，则顶点的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 14．如图，为的中位线，点F在上，已知，，且．若，则______． 【答案】35 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及，进而求出的长，结合D为中点可得，利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可求解． 【详解】为的中位线， 且， ，， D为中点， ， ， ． 15．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 【答案】22 【分析】先由证明，得，，再求得，由四边形的周长，即可求得答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， 平行四边形的周长为32， ， 四边形的周长 16．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】容易判断是的中位线，则，，同理，，结合可得，．由平行线的性质和三角形外角的性质可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，能够正确使用相关性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质，可得，即可证得． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ． 18．如图，中，在上，四边形是平行四边形， (1)求证：． (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，由平行四边形的性质得出，即可得出结论； （2）设交于点，由直角三角形性质，根据长可求出的长度，再由平行四边形面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，交于点， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：∵， ∴设交于点， 在中，，， ， ，， ． 19．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 20．如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证出，利用全等三角形的性质和三角形中位线的判定得出是的中位线，最后利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）结合（1）的结论，得到，利用三角形的中位线定理和线段的和差即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， , ∵， ， 又， ， ， 即点是线段的中点， 为的中点， 是的中位线， 又 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得， ∴， 由（1）得是的中位线， ， 又， ， ∴． 21．如图，在四边形中，，点E，F，G分别是的中点，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）是直角三角形，先证明是的中位线，是的中位线，由平行线的性质结合，即可得到，即可说明； （2）由（1）知是的中位线，是的中位线，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵点E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是的中位线，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，，，，可得，，求解，可得． （2）设直线的关系式为：，再利用待定系数法可得直线的关系式：； （3）求解直线为，，分三种情况讨论：①如图所示，当为平行四边形的对角线时，②如图所示，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：设直线的关系式为：， ∵直线经过点A，点E， ∴， 解得，， ∴直线的关系式：； （3）解：∵，设直线为， ∴， 解得：，即直线为， ∴，解得：， ∴， ①如图所示，当为平行四边形的对角线时， ，， ∴结合平移的性质可得：， ②如图所示，当为平行四边形的对角线时， 则，轴， 即点的坐标为：， ③当为平行四边形的对角线时， 同理可得：． 综上，点G的坐标为：或或． 23．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为． (1)求和的长度； (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)的值为2或4 【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可； （2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得； 当时， ， ∴， 解得； 综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 24．【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，我们知道：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点． ．．．．．． 经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是__________； (3)【拓展应用】如图③，直线为外的任意一条直线，过、、、分别作直线的垂线段、、、，请直接写出线段、、、之间的数量关系． 【答案】(1)，．理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线. 利用三角形中位线定理得出结论； （2）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于，再根据梯形面积公式计算即可； （3）连接相交于，过点作于，过作交于，延长至点，过作交于，利用四边形、都是平行四边形，以及得出，同理可证，那么是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下， 如图，连接并延长，交的延长线于点， ， ，， 是梯形的中位线， ， ， ， 是的中位线， ，，即， ， ，； （2）解：梯形的中位线长为， 梯形两底和的一半等于， ； （3）解：， 证明：连接相交于，过点作于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 过作交于，延长至点，过作交于， 则四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证， ∵是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴， ∴． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $