精品解析：河南省驻马店市驿城区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年八年级下学期数学期中素养测评卷 本套试卷共23道题，满分120分 一、选择题（共10小题满分30分） 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将多项式分解因式时应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 7. 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（　　） A. 210x+90（15﹣x）≥1800 B. 90x+210（15﹣x）≤1800 C. 210x+90（15﹣x）≥1.8 D. 90x+210（15﹣x）≤1.8 8. 如图，在等腰直角中，，将绕顶点A逆时针方向旋转 后得到，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于 的不等式组 的解集是 ，则 的值为 A. B. C. D. 10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点 到点的方向平移到 的位置，， ，，平移距离为4，阴影部分的面积为（ ） A. 25 B. 26 C. 30 D. 32 二、填空题（共5小题满分15分） 11. 用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于 ”时，应先假设______________． 12. 如图，在中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，，，则 的周长是____ ． 13. 如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接 ．若，则 的度数为______． 14. 如图，函数和 的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_____________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）因式分解： （2）解不等式组： 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于坐标原点 成中心对称的． （2）若将绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标为_____． （3）设 为 轴上的一个动点，当取得最小值时，点 的坐标为_____． 18. 先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． （1）上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； （2）若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； （3）分解因式：（ 为正整数）． 19. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________， 和 是的角平分线． 求证：_________． 证明： 20. 若不等式的最小整数解是关于 的方程的解，求 的值． 21. 为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22. 如图，在中， ， 是的一个外角． 实践与操作： 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作 的平分线AM； （2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF． （3）若，，求AB的长． 23. 探究与应用 （1）【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为 边上的一点，，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段，连接 、 ，请直接写出下列结果： ①的度数为___________； ② 与 之间的数量关系为______________； （2）【类比探究】如图2，为等腰直角三角形， ，点D为 边上的一点，，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段，连接 、 ． 则线段 ，， 之间有什么数量关系？请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得， ，他在边 上取了D、E两点，并量得、，这样 、将分成三个小三角形，则________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期数学期中素养测评卷 本套试卷共23道题，满分120分 一、选择题（共10小题满分30分） 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】A、不是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故正确； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．掌握因式分解的定义，区分因式分解和整式乘法是解题关键．把多项式变为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】A．，单项式乘以多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．为单项式，这叫对单项式的拆分，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．，右边没有变为乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D．，属于因式分解且运算正确，故本选项符合题意． 故答案选：D． 3. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案． 【详解】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B不符合题意； C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C不符合题意； D、如；故D符合题意； 故选D． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱 4. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 的不等式叫做一元一次不等式. 【详解】、是一元一次不等式； 、不含未知数，不符合定义； 、含有两个未知数，不符合定义； 、未知数的次数是，不符合定义， 故选：A. 【点睛】此题考查一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 的不等式叫做一元一次不等式. 5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 把x的系数化为1得，． 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 6. 将多项式分解因式时应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数． 【详解】解：系数最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是、，应提取的公因式是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．当第一项的系数为负数时，应先提出“−”号． 7. 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（　　） A. 210x+90（15﹣x）≥1800 B. 90x+210（15﹣x）≤1800 C. 210x+90（15﹣x）≥1.8 D. 90x+210（15﹣x）≤1.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【详解】解：由题意可得 210x+90（15﹣x）≥1800， 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键． 8. 如图，在等腰直角 中，，将 绕顶点A逆时针方向旋转 后得到，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质求出，再根据旋转的性质得到和，即可得到答案． 【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， 故选：B． 9. 已知关于 的不等式组 的解集是 ，则 的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，再转化为关于a,b的方程组进行解答即可. 【详解】 由①得： 由②得： 的解集为: 解得： 故选A. 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则是解题关键.- 10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点 的方向平移到 的位置，， ，，平移距离为4，阴影部分的面积为（ ） A. 25 B. 26 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握相关知识．由平移可得：，，，推出，，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ，即， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题满分15分） 11. 用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于 ”时，应先假设______________． 【答案】三角形三个内角都大于60 °． 【解析】 【分析】写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °． 故答案为：三角形三个内角都大于60 °． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键． 12. 如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，，，则 的周长是____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质，可知，从而得到，最后计算出答案． 【详解】解：垂直平分 ， 的周长是． 故答案为：8． 13. 如图， 为钝角三角形，将 绕点A按逆时针方向旋转得到，连接 ．若 ，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，根据旋转得到：， ，进而推出，利用三角形的内角和，求出 ，利用，得到，再利用，即可得解． 【详解】解：∵将 绕点 按逆时针方向旋转得到， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，函数和 的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用自变量函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞时，直线y=kx+b都在直线y=-3x的上方，于是可得到关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集． 【详解】解：把A（m，4）代入y=-3x得-3m=4，解得m=， 即A点坐标为（，4）， 当x＞时，kx+b+3x＞0， 所以关于x的不等式kx+b+3x＞0的解集为x＞． 故答案为x＞ 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接 ，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分 点在线段 上和 的延长线上，且，勾股定理求得 即可． 【详解】如图，连接 ， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ， ， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时， 点在 上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点 的位置是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）因式分解： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式和解解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”的口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出 关于坐标原点 成中心对称的． （2）若将 绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为，，，则该旋转中心的坐标为_____． （3）设 为轴上的一个动点，当 取得最小值时，点 的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，中心对称变换，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是掌握中心对称变换，旋转变换的性质，正确作出图形． （1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （2）两组对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点即为旋转中心， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点P的坐标为． 故答案为：． 18. 先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． （1）上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； （2）若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； （3）分解因式：（ 为正整数）． 【答案】（1）提公因式法，2 （2）2025， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，同底数幂的乘法，熟练的掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解本题的关键． （1）观察分解因式的过程可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【小问1详解】 解：观察可知，上述分解因式的方法是提公因式法；第一、二步各用了一次提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2． 【小问2详解】 解： …… ， 需应用上述方法2025次，结果是． 故答案为：2025，． 【小问3详解】 解： …… 19. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在 中，_________， 和 是 的角平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】 ， ，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出 ，由角平分线的定义得到，判定，推出 ． 【详解】解：已知：在 中， ， 和是 的角平分线． 求证： ． 证明： ， ， 和是 的角平分线， ，， ， 在和 中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 故答案为： ， . 20. 若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可． 【详解】解： 最小整数解为 把 代入 21. 为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2） 设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元， ， ∵， ∴， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱． 【解析】 【分析】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【小问1详解】 设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； 【小问2详解】 略 22. 如图，在 中， ， 是 的一个外角． 实践与操作： 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作 的平分线AM； （2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF． （3）若，，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）利用作已知角的平分线的作法，即可求解； （2）利用作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，可证得，从而得到，再由勾股定理可得AO=3，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示：AM即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：AE、CF，点E即为所求； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴， ∵AM平分 ， ∴， ∵∠CAD=∠B+∠ACB=2∠ACB， ∴， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握作已知角的平分线和作已知线段垂直平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 23. 探究与应用 （1）【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为 边上的一点，，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段，连接 、 ，请直接写出下列结果： ①的度数为___________； ② 与 之间的数量关系为______________； （2）【类比探究】如图2，为等腰直角三角形， ，点D为 边上的一点，，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段，连接 、 ． 则线段 ，， 之间有什么数量关系？请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得， ，他在边 上取了D、E两点，并量得、，这样 、将分成三个小三角形，则________________． 【答案】（1）①120°； ②DE＝EF （2）AE2+DB2＝DE2；理由见解析 （3）S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2 【解析】 【分析】（1）①根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得的度数为120°；②根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得． （2）根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得AE2+DB2＝DE2． （3）将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，根据旋转及等腰三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，由全等三角形的性质推导出，，则，即得S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2． 【小问1详解】 解：①的度数为120°，理由如下： ∵线段 绕点C顺时针旋转 得到线段， ∴ ，， ∵ 为等边三角形， ∴，， ∴，即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵ 为等边三角形， ∴， ∴． ②DE＝EF，理由如下： ∵线段 绕点C顺时针旋转 得到线段， ∴， ， ∵， ∴． 在与 中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：AE2+DB2＝DE2 ，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°， 由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝90°， ∵， ∴， 即∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90°； ∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°， ∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， ∵， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 又∵AF＝DB， ∴AE2+DB2＝DE2． 【小问3详解】 解：如图，将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF， ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30°， 由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝120°， ∵， ∴， 即∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝30°，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60°； ∵∠DCF＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠FCE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， ∵， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF． ∵△DCE≌△FCE， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵△ACF≌△BCD， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ． ∵△DCE≌△FCE，△ACF≌△BCD， ∴EF=ED，AF=BD， ∴， ∵S△BCD：S△CDE：S△ACE＝， ∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $