11.2二次根式的乘除 学案 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册 第11单元 二次根式 11.2 二次根式的乘除——题型分类精讲 教材版本：苏科版（2024新教材）　内容范围：11.2 二次根式的乘除　难度系数：约0.65 一、核心知识点梳理 1. 二次根式的乘法法则 语言表述：两个非负因数的算术平方根的积，等于这两个因数的积的算术平方根。 逆向应用（积的算术平方根的性质）： 利用该性质可以将被开方数中的“平方数（或平方式）”开出来，从而化简二次根式。 2. 二次根式的除法法则 语言表述：两个非负因数的算术平方根的商，等于这两个因数的商的算术平方根。 逆向应用（商的算术平方根的性质）：= 3. 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： ① 被开方数不含分母（被开方数的因数是整数，因式是整式）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 要点提示：分母中含有根号不是判断最简二次根式的条件——分母有理化是对运算结果的规范要求。最终的运算结果既要是最简二次根式，又要保证分母中不含根号。 4. 分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。常用方法：将分子和分母同乘一个恰当的二次根式（分母的有理化因式），利用化去分母中的根号。 二、题型分类讲解 【题型一】最简二次根式的识别与化简 解题策略： 1、先看被开方数是否含分母（分数或小数），含分母的一定不是最简二次根式； 2、再看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（如4、9、16、25等）或因式（如 等）。 【例1·基础】 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A.　　B. 　　C. 　　D. 答案：D 变式训练1-1下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：B、C　　 变式训练1-2下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. 　B. 　C.　　D. 答案：D 变式训练1-3在，，，（ > 0）四个式子中，最简二次根式有（　　） A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 答案：A 【题型二】二次根式的乘除法运算 题型分析依据：2022版课标明确要求“能用二次根式的乘除法法则进行简单运算”，属于“掌握”层次的核心考点。近五年期末考试中该题型以解答题为主，分值约占6—10分，是整套试卷中二次根式相关题目的核心得分点。 解题策略： 乘法：系数与系数相乘，根号与根号相乘（即)，最后结果化为最简二次根式； 除法：可利用除法法则转化为被开方数相除，或写成分式形式后约分化简；分母含根号时必须进行分母有理化。 【例2·基础】二次根式的乘法运算 计算： 答案：9 变式训练2-1计算： 答案：4 变式训练2-2计算： 答案： 变式训练2-3计算： 答案： 【例3·中等】二次根式的除法运算 计算： 规范解答： 解： 变式训练3-1 计算： 答案：6 解析：= 变式训练3-2计算： 答案：3 解析： 变式训练3-3计算： 答案： 解析： 【例4·中等】综合乘除混合运算 计算： 规范解答： == 变式训练4-1 计算： 答案： 解析：= 变式训练4-2计算： 答案： 解析：= 变式训练4-3 计算： 答案：6 解析：== 【题型三】分母有理化 题型分析依据：分母有理化是二次根式运算结果规范化的核心要求，在近五年中考和期末考试中属于高频考点。常出现在化简求值题或分母含根式的运算题中，一般有单一分母有理化和复合分母有理化两种考查形式。 【例5·中等】分母有理化（分母为单项根式） 化简： 规范解答： 变式训练5-1化简： 答案： 解析：= 变式训练5-2 化简： 答案： 变式训练5-3 化简： 答案： 【例6·提优】分母有理化（分母为二项根式） 化简： 规范解答： 变式训练6-1化简： 答案： 解析： 变式训练6-2化简： 答案： 变式训练6-3 比较 与 的大小。 答案： < 解析：分别取倒数并有理化。 = 2 ， 所以， < 三、易错题型辨析 【易错点1】混淆化简方向——错误拓展公式 错例：= 当、为负数时仍沿用。 错因分析：未关注法则的成立条件，。被开方数必须非负，否则不能直接合并。 【易错点2】化简不彻底 错例：= 。若停在不化简，则结果不规范。 【易错点3】除法运算中 b = 0 错例：错误地直接运用除法法则。 错因分析：分母不能为零，且。除法法则要求 b > 0。 正确解法：使用除法法则前必须先判断 b > 0。若 b = 0，原式无意义。 四、巩固练习（19题，分层训练） 基础达标（1—7题，建议8分钟完成） 1.　下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.　计算的结果是（　　） A. 5　　B. 10　　C.　　D. 100 3.　化简的结果为 。 4.　计算：÷= 。 5.　把化为最简形式： 。 6.　计算： = 。 7.　一个长方形的长为cm，宽为cm，这个长方形的面积为 cm²。 能力提升（8—15题，建议12分钟完成） 8.　 下列计算正确的是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 9.　计算 的结果是（　　） A. 2　B. 4　　C. 　　D. 10.　若 ，求 的值。 11.　化简：\ = 。 12.　计算： = 。 13.　计算：= 。 14.　化简： = 。 15.　已知直角三角形的两条直角边长分别为和，求该直角三角形的面积和斜边长。 思维拓展（16—20题，建议10分钟完成） 16.　已知，求的值。 17.　，求正整数的值。 18.　已知为正整数，为整数，求的最小值。 19.　观察下列各式：，， （1）请你猜想第个等式（用表示）， （2）利用上述规律计算：的值。 五、巩固练习参考答案 1.　C　 2.　B　 3.　 4.　3　 5.　 6.　6　 7.　4　 8.　B　 9.　A　 10.　-1　 11.　　 12.　 13.　 14.　 15.　面积 = 斜边长 = 答：面积为 平方单位，斜边长为 16.　　 解析：=×　 17.　n = 3　 18　a = 6　 19.　（1）猜想： （2） 学科网（北京）股份有限公司 $