11.2二次根式的乘除 学案 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册 第11单元 二次根式

 

11.2 二次根式的乘除——题型分类精讲

 

教材版本：苏科版（2024新教材）　内容范围：11.2 二次根式的乘除　难度系数：约0.65

 

一、核心知识点梳理

 

1. 二次根式的乘法法则

 

语言表述：两个非负因数的算术平方根的积，等于这两个因数的积的算术平方根。

 

逆向应用（积的算术平方根的性质）：

 

利用该性质可以将被开方数中的“平方数（或平方式）”开出来，从而化简二次根式。

 

2. 二次根式的除法法则

 

语言表述：两个非负因数的算术平方根的商，等于这两个因数的商的算术平方根。

 

逆向应用（商的算术平方根的性质）：=

 

3. 最简二次根式

 

满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

 

① 被开方数不含分母（被开方数的因数是整数，因式是整式）；

 

② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

 

要点提示：分母中含有根号不是判断最简二次根式的条件——分母有理化是对运算结果的规范要求。最终的运算结果既要是最简二次根式，又要保证分母中不含根号。

 

4. 分母有理化

 

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。常用方法：将分子和分母同乘一个恰当的二次根式（分母的有理化因式），利用化去分母中的根号。

 

二、题型分类讲解

 

【题型一】最简二次根式的识别与化简

 

解题策略：

1、先看被开方数是否含分母（分数或小数），含分母的一定不是最简二次根式；

2、再看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（如4、9、16、25等）或因式（如 等）。

【例1·基础】 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）

A.　　B. 　　C. 　　D.

答案：D

 

变式训练1-1下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

答案：B、C　　

 

 

变式训练1-2下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

 

A. 　B. 　C.　　D.

答案：D

 

 

变式训练1-3在，，，（ > 0）四个式子中，最简二次根式有（　　）

A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个

答案：A

 

 

【题型二】二次根式的乘除法运算

 

题型分析依据：2022版课标明确要求“能用二次根式的乘除法法则进行简单运算”，属于“掌握”层次的核心考点。近五年期末考试中该题型以解答题为主，分值约占6—10分，是整套试卷中二次根式相关题目的核心得分点。

 

解题策略：

 

乘法：系数与系数相乘，根号与根号相乘（即)，最后结果化为最简二次根式；

除法：可利用除法法则转化为被开方数相除，或写成分式形式后约分化简；分母含根号时必须进行分母有理化。

 

 

【例2·基础】二次根式的乘法运算

计算：

 答案：9

 

 

变式训练2-1计算：

答案：4

 

 

变式训练2-2计算：

答案：

 

 

变式训练2-3计算：

 

答案：

 

 

【例3·中等】二次根式的除法运算

计算：

规范解答：

 

解：

 

 

变式训练3-1 计算：

答案：6

解析：=

 

变式训练3-2计算：

答案：3

解析：

 

 

变式训练3-3计算：

答案：