精品解析：广东揭阳市惠来县第一中学等校2025-2026学年高三下学期5月学情调研数学试题

高三年级5月份学情调研 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为实数，甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设偶函数满足当时，，则（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 7. 模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（ ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A. B. C. 区间具有较好构建度 D. 区间具有较好构建度 8. 已知正数x，y满足，则一定有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，，则（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. 曲线与相切 D. 曲线关于对称 10. 已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 恒成立 D. 在上单调递减 11. 已知抛物线：的焦点为，准线为．若动点在上且横坐标大于1，以为圆心，为半径作圆，与交于，两点．则（ ） A. 的外接圆与有两个交点 B. 的垂心到的距离恒为4 C. 的垂心的运动轨迹经平移后可与部分重合 D. 的重心的运动轨迹经平移后可与部分重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量在上的投影向量为，，则________． 13. 已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 14. 已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． （1）求； （2）求的取值范围． 16. 记为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 17. 进行抽卡游戏，现从标有1,2,3,…,10的十张数字卡牌中抽取三张不同的数字卡牌，记录它们标记的数字． （1）求标记数字的和为3的倍数的概率； （2）求标记数字的中位数等于平均数的概率． 18. 已知双曲线的离心率为2，其上有一点． （1）求E的方程； （2）直线与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在上． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：过定点． 19. 已知矩形中，，．点P在边上运动（不与重合），将沿AP翻折到，使得二面角为直二面角．在平面内作，垂足为H．记四面体的体积为V． （1）证明：平面； （2）求V的最大值及此时点P的位置； （3）若存在两个不同的位置，，使得对应的V相等，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级5月份学情调研 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得，即， 而，所以. 2. 设为实数，甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】充分性：若甲（）成立，乙（）不一定成立. 如，，此时，但，所以甲不是乙的充分条件. 必要性：若乙（）成立，甲（）不一定成立. 如，，此时，但，所以甲不是乙的必要条件. 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 根据等比数列的性质可得，则，即，解得. 同理可得，则，即，解得. 在等比数列中，，成等比数列，根据等比中项的性质可得， 则. 5. 已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆的定义确定的周长为，进而可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点， 因为是中点，是中点，所以是 的中位线， 得：  ， ， ， 所以的周长为 由椭圆定义， ， 故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. 6. 设偶函数满足当时，，则（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数的性质求出时函数的表达式，再利用对数函数的性质化简函数，最后根据对数列项求和计算. 【详解】已知当时，， 当时，， 因为是偶函数，所以 在中，都满足，代入中可得 7. 模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（ ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A. B. C. 区间具有较好构建度 D. 区间具有较好构建度 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性，结合给定的定义逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B， ，因此 ，B正确； 对于C， ， ， 因此区间不具有较好构建度，C错误； 对于D， ，而 ， 因此区间具有较好构建度，D正确. 8. 已知正数x，y满足，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原式可化为​ 设 ，，可知在单调递增，在单调递减，最大值为​， 因此 设 ，求导得 ，故在单调递增. 又因为，因此 ​ ，所以，故A正确，B错误； ，因为在单调递增，所以​，存在满足条件的正实数； 取 ，因为在单调递减，可得​，也存在满足条件的正实数； 因此C、D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，，则（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. 曲线与相切 D. 曲线关于对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用辅助角公式和正弦型函数最小正周期可求得解析式；根据正弦型函数值域可知A错误；根据正余弦函数奇偶性可知B正确；根据导数几何意义可求得C正确；根据正弦型函数对称性可知D错误. 【详解】 的最小正周期， ， ； 对于A，，，即的值域为，A错误； 对于B， ， ，是偶函数，B正确； 对于C， ， ，又， 在点处的切线为，C正确； 对于D，， 不关于对称，D错误. 10. 已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 恒成立 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】利用完全平方公式可计算出，即可得A；结合与可计算出，结合函数性质判断可得B；利用解析式可得C；结合单调性定义举出反例可得D. 【详解】对A：令 ， ，则，， 则 ，故， 即 ，故A正确； 对B： ， 则，令，定义域为， 且有，故为偶函数， 即为偶函数，故B错误； 对C： ，故C正确； 对D：由 ，则有， ， 即，故在上不单调递减，故D错误. 11. 已知抛物线：的焦点为，准线为．若动点在上且横坐标大于1，以为圆心，为半径作圆，与交于，两点．则（ ） A. 的外接圆与有两个交点 B. 的垂心到的距离恒为4 C. 的垂心的运动轨迹经平移后可与部分重合 D. 的重心的运动轨迹经平移后可与部分重合 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，求出圆的方程，判断出圆即为的外接圆，与抛物线方程联立，判断A；设出垂心坐标，根据向量垂直及两点间距离公式判断B；求出垂心的轨迹方程，结合图象平移变换判断C；设出重心坐标，求出轨迹方程，结合图象平移变换判断D. 【详解】抛物线的焦点，准线：. 设，则， . 圆的方程：. 令，代入得 ， 因为，所以 ，故圆与准线必有两个不同的交点， 设，，其中. 对于A：由题意知，，则圆即为的外接圆， 联立，整理得，解得或. 因为点在抛物线上，所以，又，所以. 代入抛物线方程得，故的外接圆与有两个交点，A正确. 对于B：设的垂心为，，. 由得 ，所以. ，， 由得 ，化简得， 代入已知得，， 因为，所以，解得，故. 所以 ，故B正确. 对于C：垂心的轨迹满足与，整理得，且. 将其向右平移4个单位长度得，可与重合一部分，故C正确. 对于D：设重心为，则，，即，. 代入抛物线方程得，即，经平移后与不重合，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量在上的投影向量为，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】平面向量在上的投影向量为， 所以 ，即. 因为，所以. 13. 已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】复数 在复平面内对应的点为， 所以且，解得， 则的取值范围为. 14. 已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析甲、乙两人看到的可能情形，可确定丙手中的球的颜色，从而得到甲手中是红球的概率. 【详解】由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙、丙两人手里的小球肯定不是两个白球； 若乙看到丙拿的是白球，甲不论拿的是什么颜色的球，则由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙自己肯定拿的是红球； 但乙不知道自己拿的是什么颜色的球，所以丙拿到的肯定是红球. 则此时甲手中是红球的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式即可求解； （2）由三角形为锐角三角形确定范围，再结合正弦定理得到，由正切函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，代入 ， 得  ， 即 得 ，即 ， 因为是三角形内角，所以， 所以 【小问2详解】 由（1），三角形内角和得：，即， 因为为锐角三角形， 三个内角均小于： ， 由正弦定理，， 得： ， 展开 ， 代入化简得：  因此，则 则， 所以的取值范围为  . 16. 记为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据的关系式进行求解，结合累乘法求出通项公式； （2）放缩得到时，，从而裂项相消法求和可得结论 【小问1详解】 ①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； 【小问2详解】 ，故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 17. 进行抽卡游戏，现从标有1,2,3,…,10的十张数字卡牌中抽取三张不同的数字卡牌，记录它们标记的数字． （1）求标记数字的和为3的倍数的概率； （2）求标记数字的中位数等于平均数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从能被3整除，除以3余1和除以3余2的角度出发，分类讨论进行求解； （2）设标记的三个数从小到大为，得到，对进行分类讨论进行求解 【小问1详解】 能被3整除的数有3,6,9，除以3余1的有1,4,7,10，除以3余2的有2,5,8， 从标有1,2,3,…,10的十张数字卡牌中抽取三张不同的数字卡牌，有种方法， 其中标记数字的和为3的倍数的情况有以下四种， 第一，3个数均能被3整除，此时有种情况； 第二，3个数均除以3余1，此时有种情况； 第三，3个数均除以3余2，此时有种情况； 第四，3个数中有1个数能被3整除，有1个数被3除余1，有1个数被3除余2， 故有种情况； 综上，标记数字的和为3的倍数的情况共有种情况； 故标记数字的和为3的倍数的概率为； 【小问2详解】 设标记的三个数从小到大为，则中位数为，， 平均数为， 若标记数字的中位数等于平均数，则，故， 若，则必有，只有1种方案； 若，有；；有2种方案； 若，有；；；有3种方案； 若，有；；；；有4种方案； 若，有；；；；有4种方案； 若，有；；；有3种方案； 若，有；；有2种方案； 若，有；有1种方案； 综上，标记数字的中位数等于平均数情况数为； 标记数字的中位数等于平均数的概率为. 18. 已知双曲线的离心率为2，其上有一点． （1）求E的方程； （2）直线与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在上． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：过定点． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，再将点代入求解； （2）（ⅰ）根据直线与曲线的两支各有一个交点，联立直线与曲线方程，利用判别式及两根之积异号可求解；（ⅱ）将直线AB与AC的斜率之和表示出来，结合韦达定理，化简求解. 【小问1详解】 由题意可知：则， 又有在曲线上，代入方程：，解得 所以E的方程：. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知直线斜率存在，假设直线： 与曲线方程联立，得 直线与曲线有两个交点 ，化简得 B，C两点分别在双曲线的左、右支， ， ，解得 所以直线斜率k的取值范围为. （ⅱ）设 （*） 整理得： 将（*）式代入得： 整理得： ，即 解得：或 当时，直线：，恒过定点； 当时，直线： ，过定点，与题意矛盾 综上：过定点. 19. 已知矩形中，，．点P在边上运动（不与重合），将沿AP翻折到，使得二面角为直二面角．在平面内作，垂足为H．记四面体的体积为V． （1）证明：平面； （2）求V的最大值及此时点P的位置； （3）若存在两个不同的位置，，使得对应的V相等，证明：． 【答案】（1）证明过程见解析 （2），此时BP=2，点P为线段BC上靠近C点的三等分点 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】(1)利用折叠性质及面面垂直证明线面垂直 (2)设自变量，利用等体积法用表示BH，构建体积与BP长度的关系函数，通过导函数来求得的最大值，最后确定点P位置 (3)利用(2)中结论，设出范围，得出的相等关系，通过变量代换比较与的大小，进而论证. 【小问1详解】 在翻折前的直角中，已知，垂足为H.将沿AP翻折至的过程中，线段的垂直关系保持不变， 所以在中有.根据题意，二面角为直二面角，即平面平面. 因为平面平面，平面，且，由面面垂直的性质定理可得平面. 【小问2详解】 设.在直角中，，由勾股定理得.由等面积法可得. 经过翻折后，四棱锥的高即为，底面的面积为矩形面积减去直角三角形面积，即. 由此可得四棱锥的体积关于的函数关系为，. 因为 ，所以当时，，单调递增；所以当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值.此时，点P为线段上靠近C点的三等分点. 【小问3详解】 由(2)，不妨令，由题意得题目等价于.由(2)中单调性可知，不妨设， 注意到，所以，即， 要比较与的大小.由于时，的分子，的分子 . 由于， 该分式分母 恒成立，只需考察分子正负即可.当时， ， 所以，由于，即. 因为，且在单调递减，所以必有，即，得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $